双曲线的简单几何性质教学课件

2.3.2

双曲线简单的几何性质

(一)2020/10/1612.3.2双曲线简单的几何性质(一)2020/10/16定义图象方程焦点a.b.c的关系||MF1|-|MF2||=2a（０<2a<|F1F2|）F(±c,0)

F(0,±c)2020/10/162定义图象方程焦点a.b.c的关系||MF1|-|MF2|

2、对称性

一、研究双曲线的简单几何性质1、范围关于x轴、y轴和原点都是对称。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)课堂新授

2020/10/1632、对称性3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点xyo-bb-aa如图，线段叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长（2）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线（3）2020/10/1643、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点xyo-M(x,y)4、渐近线N(x,y’)Q慢慢靠近xyoab（1）（2）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图（3）动画演示2020/10/165M(x,y)4、渐近线N(x,y’)Q慢慢靠近xyoab（15、离心率离心率。c>a>0e>1e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大（1）定义：（2）e的范围：（3）e的含义：2020/10/1665、离心率离心率。c>a>0e>1e是表示双曲线开口大小的（4）等轴双曲线的离心率e=?(5)2020/10/167（4）等轴双曲线的离心率e=?(5)2020/10/1xyo-aab-b（1）范围:（2）对称性:关于x轴、y轴、原点都对称（3）顶点:(0,-a)、(0,a)（4）渐近线:（5）离心率:2020/10/168xyo-aab-b（1）范围:（2）对称性:关于x轴、y轴、小结或或关于坐标轴和原点都对称性质双曲线范围对称性

顶点

渐近线离心率图象2020/10/169小结或或关于坐标性质双曲线范围对称顶点例1:求双曲线的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程。解：把方程化为标准方程可得:实半轴长a=4虚半轴长b=3半焦距c=焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率:渐近线方程:14416922=-xy1342222=-xy53422=+45==ace例题讲解

2020/10/1610例1:求双曲线的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近例2:2020/10/1611例2:2020/10/16111、若双曲线的渐近线方程为则双曲线的离心率为

。2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的夹角为

。课堂练习2020/10/16121、若双曲线的渐近线方程为例3:求下列双曲线的标准方程：例题讲解

2020/10/1613例3:求下列双曲线的标准方程：例题讲解2020/10/1法二：巧设方程,运用待定系数法.⑴设双曲线方程为,2020/10/1614法二：巧设方程,运用待定系数法.2020/10/1614法二：设双曲线方程为∴双曲线方程为∴,解之得k=4,2020/10/1615法二：设双曲线方程为∴双曲线方程为∴1、“共渐近线”的双曲线的应用λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。总结：2020/10/16161、“共渐近线”的双曲线的应用λ>0表示焦点在x轴上的双曲线2020/10/16172020/10/1617

2、求与椭圆有共同焦点，渐近线方程为的双曲线方程。

解：椭圆的焦点在x轴上，且坐标为

双曲线的渐近线方程为

解出

2020/10/16182、求与椭圆有共同焦点，渐近线方程为的双曲线方程。解：椭12=+byax222（a＞b＞0）12222=-byax(a＞0b＞0)222=+ba(a＞0b＞0)c222=-ba(a＞b＞0)c椭圆双曲线方程abc关系图象椭圆与双曲线的比较yXF10F2MXY0F1F2p小结2020/10/161912=+byax222（a＞b＞0）12222=-by关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）关于x轴、y轴、原点对称渐近线..yB2A1A2B1

xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)2020/10/1620关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率A1（-2020/10/16212020/10/16212.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点P(1,－3)且离心率为的双曲线标准方程.1.过点（1，2），且渐近线为的双曲线方程是________.2020/10/16222.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点1.过点（1，2）2.3.2

双曲线简单的几何性质

(二)2020/10/16232.3.2双曲线简单的几何性质(二)2020/10/16关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率yxOA2B2A1B1..F1F2yB2A1A2B1

xO..F2F1A1（-a，0），A2（a，0）B1（0，-b），B2（0，b）F1(-c,0)F2(c,0)F1(-c,0)F2(c,0)关于x轴、y轴、原点对称A1（-a，0），A2（a，0）渐进线无2020/10/1624关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率yxOA关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）关于x轴、y轴、原点对称渐进线..yB2A1A2B1

xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)2020/10/1625关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率A1（-1、“共渐近线”的双曲线λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。2、“共焦点”的双曲线（1）与椭圆有共同焦点的双曲线方程表示为（2）与双曲线有共同焦点的双曲线方程表示为2020/10/16261、“共渐近线”的双曲线λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；λ<复习练习：

2.

求与椭圆有共同焦点，渐近线方程为的双曲线方程。3、求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。2020/10/1627复习练习：2.求与椭圆有共同焦点，渐近线方程为的双曲线方例1、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).

A′A0xC′CB′By131225例题讲解

2020/10/1628例1、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线A′A0xC′CBxyOlF引例：点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线的距离比是常数(c>a>0)，求点M的轨迹.M解：设点M(x,y)到l的距离为d，则即化简得(c2－a2)x2－

a2y2=a2(c2

－a2)设c2－a2=b2，(a>0,b>0)故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.b2x2－a2y2=a2b2即就可化为:M点M的轨迹也包括双曲线的左支.一、第二定义

2020/10/1629xyOlF引例：点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和双曲线的第二定义

平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线。

定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.对于双曲线是相应于右焦点F(c,0)的右准线类似于椭圆是相应于左焦点F′(-c,0)的左准线xyoFlMF′l′点M到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义.2020/10/1630双曲线的第二定义平面内，若定点F不在想一想：中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的？xyoF相应于上焦点F(c,0)的是上准线相应于下焦点F′(-c,0)的是下准线F′2020/10/1631想一想：中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的？例2、点M（x,y）与定点F（5,0），的距离和它到定直线：的距离的比是常数,求点M的轨迹.

y0d2020/10/1632例2、点M（x,y）与定点F（5,0），的距离y0d2020例3、

已知双曲线F1、F2是它的左、右焦点.

设点A(9,2),在曲线上求点M，使的值最小,并求这个最小值.xyoF2MA由已知：解：a=4,b=3,c=5,双曲线的右准线为l:作MN⊥l,AA1⊥l,垂足分别是N,A1,NA1当且仅当M是

AA1与双曲线的交点时取等号,令y=2,解得:2020/10/1633例3、已知双曲线F1、F2是它的左、右焦点.归纳总结1.双曲线的第二定义

平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线。

定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。2.双曲线的准线方程对于双曲线准线为对于双曲线准线为注意:把双曲线和椭圆的知识相类比.2020/10/1634归纳总结1.双曲线的第二定义平面内椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法∆<0∆=0∆>0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）复习:相离相切相交二、直线与双曲线的位置关系2020/10/1635椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法∆<0∆=0∆>0（11)位置关系种类XYO种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)2020/10/16361)位置关系种类XYO种类:相离;相切;相交(0个交点，一2)位置关系与交点个数XYOXYO相离:0个交点相交:一个交点相交:两个交点相切:一个交点2020/10/16372)位置关系与交点个数XYOXYO相离:0个交点相交:一个交3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐进线平行相交（一个交点）

计算判别式>0=0<0相交相切相离2020/10/16383)判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。重合：无交点；平行：有一个交点。2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,Δ>0直线与双曲线相交（两个交点）

Δ=0直线与双曲线相切

Δ<0直线与双曲线相离2020/10/1639(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0②相切一点:△=0③相离:△＜0

注:①相交两点:△＞0

同侧：＞0

异侧:＜0

一点:直线与渐进线平行2020/10/1640②相切一点:△=0注:①相交两点:特别注意直线与双曲线的位置关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支2020/10/1641特别注意直线与双曲线的一解不一定相切，相交不一定两解，两解不例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线(1)没有公共点;(2)有两个公共点;(3)只有一个公共点;(4)交于异支两点；(5)与左支交于两点.(3)k=±1，或k=±

；(4)-1＜k＜1；(1)k＜或k＞；(2)＜k＜；2020/10/1642例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k1.过点P(1,1)与双曲线

只有共有_______条.

变题:将点P(1,1)改为1.A(3,4)2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎样的?41.两条;2.三条;3.两条;4.零条.交点的一个直线XYO（1，1）。2020/10/16431.过点P(1,1)与双曲线只有共2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_________3.过原点与双曲线交于两点的直线斜率的取值范围是2020/10/16442.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意例4、如图，过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。三、弦长问题2020/10/1645例4、如图，过双曲线2020/10/16462020/10/1646－－韦达定理与点差法例.已知双曲线方程为3x2-y2=3,求：

(1)以2为斜率的弦的中点轨迹；

(2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹；

(3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程.(4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗？说明理由；2020/10/1647－－韦达定理与点差法例.已知双曲线方程为3x2-y2=3,方程组无解，故满足条件的L不存在。2020/10/1648方程组无解，故满足条件的L不存在。2020/10/1648分析：只需证明线段AB、CD的中点重合即可。证明:(1)若L有斜率，设L的方程为:y=kx+b2020/10/1649分析：只需证明线段AB、CD的中点重合即可。证明:(1)若1.位置判定2.弦长公式3.中点问题4.垂直与对称5.设而不求(韦达定理、点差法)小结：2020/10/16501.位置判定小结：2020/10/1650拓展延伸2020/10/1651拓展延伸2020/10/16511.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点.(1)当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点；

(2)是否存在这样的实数a,使A、B关于y=2x对