“一例贯通”在高三数学章节复习中的应用

精品文档-下载后可编辑“一例贯通”在高三数学章节复习中的应用一、问题提出

著名数学教育家波利亚曾说过：“一个有意义的题目的求解，为解此题所花的努力和由此得到的结论和见解，可以打开通向一门新的学科，甚至通向一个科学新纪元的门户.”在高三数学的章节复习中，能否避免题海战术费时费力又低效的做法，另辟蹊径，找到一种“解一题，通一章”、符合新课标“轻负高质”精神的复习方法呢？为此，笔者尝试了“一例贯通”法.

二、概念界定

所谓“一例贯通”，就是指在高三数学章节复习中，针对新课程对某一章节提出的相关学习目标，精心设计一个例题，并对该题进行全方位、多角度的挖掘和转换，从不同的角度来设计变式，让学生在逐一对例题和变式的思考和解决中，把零散的知识点串成线、连成面，以达到对该章节知识、能力融会贯通的目的.

三、实践操作

（一）“一例贯通”设计原则

常规性原则.习题的常规解法，往往能更好地突出教材、课程标准以及考纲所要求的基本数学思想和方法.因此，在“一例贯通”例题和变式的设计中，不要一味追求新、奇、巧，而忽略了学生对常规习题及其解法的掌握.

典型性原则.所选择的例题，要有典型性和可变性.这里的例题相当于一个母题，经过变式后能覆盖本章绝大部分的知识点，同时，也能通过该例题及变式的分析和解答，使学生牢固掌握常用的技能技巧、思维方法以及注意事项等.

梯度性原则.围绕母题设计的变式，要有梯度，要按照“最近发展区”理论，尽可能注意到学生原有知识和技能方面的储备，由浅入深、由易到难、由简单到复杂、由特殊到一般层层递进，让学生在问题的解决中找到知识之间的联系，并生成新的数学思维和能力，从而达到复习巩固的目的.

（二）“一例贯通”设计步骤

“一例贯通”在章节复习中，一般分“三步走”.

第一，“内容学情一张网”，即尽可能全面地了解课程标准或高考考纲对本章节的教学要求，以确保学生在对例题和变式的解决中，掌握本章绝大部分的知识点；同时，也要整体了解学生对该章节知识点的掌握情况.

第二，“例题设计一个点”.这里的例题相当于一个原点，具有一定的发散性和生发性，围绕这个原点能生发出大量的变式.

第三，“变式生成一把尺”.变式生成的难易要有“度”，要围绕新课程对本章节的教学要求和具体学情，由浅入深、层层递进地呈现给学生.

下面以《线性规划》章节复习为例，谈一谈“一例贯通”的设计.

第一步：以导学案的形式提前布置给学生.

【高考考纲要求】

1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型；

2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；

3.会从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决.

【知识复习与自学质疑】

1.二元一次不等式表示的平面区域

在平面直角坐标系中，设有直线Ax+By+C=0（B不为0）及点P（x0，y0），则：

（1）若B>0，Ax0+By0+C>0，则点P在直线的上方，此时不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0上方的区域；

（2）若B>0，Ax0+By0+C

（3）若B0（或

2.线性规划

（1）满足线性约束条件的解（x，y）叫可行解；所有可行解组成的集合叫可行域.

（2）使目标函数z=ax+by取得最大值或最小值的解（x，y）叫最优解，这里约束条件和目标函数都是x，y的一次式，所以把这类问题叫线性规划.

3.线性规划解题步骤

（1）设出变量，列出约束条件及目标函数；

（2）画出可行域；

（3）观察平行直线系z=ax+by的运动，求出目标函数的最值.

4.基础小练

（1）已知点A（1，-1），B（5，-3），C（4，-5），则表示ABC的边界及其内部的约束条件是.

（2）已知不等式组x-y+2≥0，x+y-4≥0，2x-y-5≤0.

①求z=x+2y的最大值和最小值；

②求z=yx的取值范围；

③求z=x2+y2的最大值和最小值.

（3）若当z=ax+y+2取最大值的最优解有无穷多个，求a的值.

第二步：根据学生预习情况，精心设计母题和生成变式.

【例题】已知关于x，y的不等式组x≥1x+y-4≤0，2x-y-2≤0

求z=2x+y+2的最小值.

变式1：已知……（同例题），求z=|2x+y+2|的最小值.

变式2：已知……（同例题），求z=x2+y2+2的最小值.

变式3：已知……（同例题），求z=y+3x+1的最小值.

变式4：已知……（同例题），求z=2x+y+2x+1的最小值.

评注：变式1、2、3、4是目标函数的最值问题，主要考查学生对目标函数的几何意义的理解，以及转化思想的掌握程度.

变式5：若x，y满足约束条件x≥1x+y-4≤0，2x-y-2≤0

目标函数z=ax+y仅在（1，3）处取得最大值，求a的取值范围.

变式6：若A为不等式组x≥1x+y-4≤02x-y-2≤0

表示的平面区域，则a从1连续变化到3时，动直线x+y=a扫过A中那部分区域的面积为多少？

变式7：已知A为不等式组x≥1x+y-4≤02x-y-2≤0

表示的平面区域，若直线y=kx-2k+2将区域A分成面积相等的两部分，求k的值.

评注：变式5、6、7是目标函数含参问题，要根据解析几何知识，确定求解目标的几何意义，从而结合解析几何知识解决问题，或转化为函数问题解决.适当变换目标函数可以使其几何意义更加明确.

变式8：若满足x≥1x+y-4≤0ax-y-2≤0

的点P（x，y）构成一个三角形区域，求实数a的取值范围.

变式9：若满足x≥1x+y-4≤0ax-y-2≤0

的点P（x，y）构成一个面积为252的平面区域，求实数a的值.

变式10：已知实数x，y满足x≥1x+y-4≤0bx-by+c≤0

，且目标函数z=2x+y+2的最大值为9，最小值为2，求a∶b∶c的值.

评注：变式8、9、10是不等式组含参问题，要根据参数的变化趋势确定区域的形状，或根据区域面积、目标函数的最值，从而求得参数范围.

变式11：已知点A（a，b）在不等式组x≥1x+y-4≤02x-y-2≤0

表示的平面区域内，求点M（a+b，a-b）所在的平面区域面积，并求a+2b的最大值.

评注：本题涉及点的轨迹，通过点A与点M的等量关系，运用代换法，得到点M的区域，从而求得该区域的面积.

变式12：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时2h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天至少可从配件厂获得4个A配件，且生产甲产品数的两倍与生产乙产品数之差不超过2个，按每天工作不超过8h计算，该厂所有可能的日生产安排是多少？

评注：本题是含有实际背景的线性规划问题，考查学生能否从实际问题中归纳出不等式组，从而可转化成求整点问题.

第三步：总结反思（包括规律总结、方法提炼）.

1.给定平面区域求解一些非线性目标的最值或范围时，要根据解析几何知识确定求解目标的几何意义，结合解析几何知识解决问题，或转化成函数问题解决（如变式1～4）.

2.线性规划问题是在约束条件是线性的、目标函数也是线性的情况下的一类最优解问题.在约束条件是线性情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或边界上取得最值.在解答选择题或填空题时，可以根据可行域的顶点直接进行检验（如变式5～7）.

3.当不等式组中含有参数时，要根据参数的变化趋势确定区域的可能形状；当求解目标中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件（如变式8～11）.

4.含有实际背景的线性规划问题的解题关键是找到制约目标函数的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数.在解题时要注意题目中的各种制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数（如变式12）.

这样，学生基本掌握和巩固了《线性规划》一章所涉及的知识、能力、