江苏省常州市二十四中学高三数学理联考试题含解析

江苏省常州市二十四中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若是等差数列的前n项和，且,则(

)A.12

B.18

C.22

D.44参考答案：C略2.已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，平面区域Ω：，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（）A．5 B．29 C．37 D．49参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】画出不等式组对应的平面区域，利用圆C与x轴相切，得到b=1为定值，此时利用数形结合确定a的取值即可得到结果．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为（a，b），半径为1．∵圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，∴b=1，则a2+b2=a2+1，∴要使a2+b2的取得最大值，则只需a最大即可，由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，由，解得，即B（6，1），∴当a=6，b=1时，a2+b2=36+1=37，即最大值为37，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．3.抛物线y=4x的焦点坐标为

A．(2，0)

B．(1，0)

C．(0，-4)

D．(-2，0)

参考答案：B略4.（5分）过抛物线C：x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则线段|AF|=（）A．1B．2C．3D．4参考答案：A【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：利用抛物线C在点B处的切线斜率为1，求出B的坐标，可得直线l的方程，利用抛物线的定义，即可求出|AF|．解：∵x2=2y，∴y′=x，∴抛物线C在点B处的切线斜率为1，∴B（1，），∵x2=2y的焦点F（0，），准线方程为y=﹣，∴直线l的方程为y=，∴|AF|=1．故选：A．【点评】：本题考查抛物线的简单性质，考查导数知识，正确运用抛物线的定义是关键．5.若集合A={x|﹣1≤2x+1≤3}，，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】根据已知条件我们分别计算出集合A，B，然后根据交集运算的定义易得到A∩B的值．【解答】解：∵A={x|﹣1≤2x+1≤3}={x|﹣1≤x≤1}，={x|0＜x≤2}故A∩B={x|0＜x≤1}，故选B6.如图，大正方形靶盘的边长为5，四个全等的直角三角形围成一个小正方形，即阴影部分．较短的直角边长为3，现向大正方形靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为A.

B.

C.

D.参考答案：A7.i为虚数单位，

（A）0

（B）2i

（C）-2i

（D）4i参考答案：A本题主要考查了复数代数形式的四则运算，难度较小。，故选A。8.已知，则下列不等式一定成立的是（

）

A．

B．C． D．参考答案：C试题分析：由得：．取，，代入每个选项，得：选项A，，不成立；选项B，，不成立；选项C，，成立；选项D，，不成立．故选C．考点：不等式的性质．9.若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有(

)(A)个

(B)个

(C)个

(D)个参考答案：C略10.定义在R上的可导函数f（x）满足f（1）=1，且2f′（x）＞1，当x∈[﹣，]时，不等式f（2cosx）＞﹣2sin2的解集为（）A．（，） B．（﹣，） C．（0，） D．（﹣，）参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣，可得g（x）在定义域R上是增函数，且g（1）=0，进而根据f（2cosx）＞﹣2sin2可得2cosx＞1，解得答案．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣，则g′（x）=f′（x）＞0，∴g（x）在定义域R上是增函数，且g（1）=f（1）=0，∴g（2cosx）=f（2cosx）﹣cosx=f（2cosx）﹣cosx，令2cosx＞1，则g（2cosx）＞0，即f（2cosx）＞+cosx，又∵x∈[﹣，]，且2cosx＞1∴x∈（﹣，），故选：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线的位置关系为

参考答案：相交或相切略12.已知，若，则

。参考答案：-213.若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为

．参考答案：3【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3．14.已知实数满足约束条件，则的最小值是

．参考答案：约束条件表示的平面区域为封闭的三角形，求出三角形的三个顶点坐标分别为、、，带入所得值分别为、、，故的最小值是.另，作出可行域如下：由得，当直线经过点时，截距取得最大值，此时取得最小值，为.15.若是奇函数，则

．

参考答案：16.已知点在椭圆上运动，则最小值是

．参考答案：

17.设变量满足，则的取值范围是

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点，直线l和曲线C交于A、B两点，求的值．参考答案：（1），；（2）.【分析】(1)利用三角恒等式消参得到曲线C的普通方程，利用极坐标公式得到直线l的直角坐标方程；（2）先证明点P在直线l上，再利用直线参数方程t的几何意义解答.【详解】（1）因为曲线C的参数方程为（为参数），所以曲线C的普通方程为.因为，所以.所以直线的直角坐标方程为.（2）由题得点在直线l上，直线l的参数方程为，代入椭圆的方程得，所以，所以.【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.（本小题满分14分）如图，已知DE⊥平面ACD,DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DEAB=2，且F是CD的中点．⑴求证：AF//平面BCE；⑵求证：平面BCE⊥平面CDE.⑶求的值.参考答案：⑴解：取CE中点P，连结FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP//DE，且FP=

…………2分又AB//DE，且AB=

∴AB//FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP.

又∵AF平面BCE，BP平面BCE，

∴AF//平面BCE.

…………4分

⑵∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，∴DE⊥AF

又AF⊥CD，CD∩DE=D，

∴AF⊥平面CDE.

…………7分又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。

…………8分又∵BP平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.

…………9分⑶

AB⊥平面ACD

∴AB是三棱锥B-ACF的高，

=

………11分取AD中点Q，连结CQ∵DE⊥平面ACD,DE平面ABED,

∴平面ACD⊥平面ABED,∵△ACD为正三角形，∴CQ⊥AD,平面ACD∩平面ABED=AD

CQ平面ACD,∴CQ⊥平面ABED，∴CQ是四棱锥C-ABED的高

…………12分VC-ABED=

…………13分故=

…………14分k$s#5u

略20.（本小题满分16分）如图，焦点在轴上的椭圆的离心率为上顶点，下顶点为B，已知定直线l：，若点P是椭圆上异于点A、B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点，连接PB并延长交直线l于点M，（1）求MN的最小值；（2）证明以MN为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．参考答案：21.（本小题满分13分）已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求的表达式．参考答案：（Ⅰ）.

（Ⅱ）.

考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质；3.等差数列的通项公式；4.“裂项相消法”.22.（10分）（2015?泰州一模）如图，EA与圆O相切于点A，D是EA的中点，过点D引圆O的割线，与圆O相交于点B，C，连结EC．求证：∠DEB=∠DCE．参考答案：【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：