广东省惠州市横河中学高二数学理上学期期末试卷含解析

广东省惠州市横河中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为(

)A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】系统抽样方法．【专题】计算题；概率与统计．【分析】求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=6．设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，所以x=3．故选：B．【点评】本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．2.观察式子：，，，，则可归纳出式子为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：C3.当时，则下列大小关系正确的是(

)ks5uA、

B、C、

D、

参考答案：D略4.已知等比数列的前项和为，，，设，那么数列的前10项和为（

）A．

B．

C．50

D．55参考答案：D5.已知一个平面，那么对于空间内的任意一条直线，在平面内一定存在一条直线，使得直线与直线（

)A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直参考答案：D【知识点】点线面的位置关系【试题解析】因为当直线垂直于平面时，直线与平面内任一条直线垂直，直线不垂直于平面时，作在平面内的射影，在平面内一定存在一条直线，使得直线的射影与直线垂直

所以，

故答案为：D6.若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，则关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根的概率是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】CF：几何概型；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（a，b）对应图形的面积，及满足条件“关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：如下图所示：试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}（图中矩形所示）．其面积为6．构成事件“关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根”的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}（如图阴影所示）．所以所求的概率为=．故选B【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．7.曲线在处切线的斜率等于（）．A． B． C． D．参考答案：A【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，然后求解切线的斜率即可．【解答】解：曲线，可得，曲线在处切线的斜率：．故选：．8.等差数列的前n项和为，若，则A、21B、24

C、28

D、7（

）参考答案：C略9.函数,则（

）.A.

B.

C.

D.参考答案：B略10.为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是()A．中位数为83

B．平均数为85

C．众数为85D．方差为19参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数，且函数f(x)为奇函数，则________.参考答案：－6【分析】根据奇函数求值.【详解】因为为奇函数令，故.【点睛】本题考查根据函数奇偶性求值，属于基础题.12.已知a为实数，若复数是纯虚数，则a=__________．参考答案：-3【分析】利用复数的除法、乘法运算整理可得：，利用复数是纯虚数列方程可得：，问题得解。【详解】若复数是纯虚数，则解得：故填：－3【点睛】本题主要考查了复数的乘法、除法运算，还考查了纯虚数的概念及方程思想，属于基础题。13.如图，在正方体中，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角

.

参考答案：60°14.已知点，抛物线的焦点是，若抛物线上存在一点，使得最小，则最小值为__________；此时点的坐标为__________．参考答案：；.解：由抛物线定义，到到焦点的距离等于它到准线的距离，设点到准线的距离为，则所求的最小值，即为的最小值，当、、三点共线时，最小，∴最小值为到准线的距离此时最小值为，的纵坐标为，代入抛物线中，解出的横坐标为，得．15.下面关于棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中的四个命题：

①与AD1成600角的面对角线的条数是8条；②

直线AA1与平面A1BD所成角的余弦值是；③从8个顶点中取四个点可组成10个正三棱锥；④点到直线的距离是。其中,真命题的编号是-----------------参考答案：①③.略16.已知三条线段的大小关系为：，若这三条线段能构成钝角三角形，则的取值范围为_______________．参考答案：略17.若以直角坐标系的轴的非负半轴为极轴，曲线的极坐标系方程为，直线的参数方程为（为参数），则与的交点A的直角坐标是

；

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.函数（1）

求曲线在处的切线方程；（2）

求证：在上存在唯一的极值点；（3）

当时，若关于的不等式恒成立，求

的取值范围。参考答案：（1）

切线方程为（2）令则

在上至少有一零点。

又在上有唯一零点。

在上存在唯一的极值点。

（3）整理得：令

令

则

在上增，

在上增。

略19.(本题满分13分)如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；(3)求二面角的余弦值．参考答案：(1)证明：取CE的中点G，连接FG、BG.∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝DE，∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB.……………（2分）又AB＝DE，∴GF＝AB.又DE＝2AB，[来源:Z_xx_k.Com]∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，∴AF∥平面BCE.…………（4分）

(2)证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE.…………（6分）∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.……………（7分）∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.……………（8分）（3）过A作直线面ABF，以A为原点，分别以直线、、分别为轴，建立空间直角坐标系（如图）：设则，,,所以，,,,…（9分）设平面的法向量为，平面的法向量为由，令得：同理可得：，…（11分）所以…（12分）故所求的二面角的余弦值为：…（13分）20.某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[160,165)，第2组[165,170)，第3组[170,175)，第4组[175,180)，第5组[180,185]，得到的频率分布直方图如图所示．

(1)求第3,4,5组的频率；

(2)为了了解最优秀学生的情况，该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3,4,5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．参考答案：解：(1)由题设可知，第3组的频率为0.06×5＝0.3，第4组的频率为0.04×5＝0.2，

第5组的频率为0.02×5＝0.1.

……6(2)第3组的人数为0.3×100＝30，第4组的人数为0.2×100＝20，第5组的人数为0.1×100＝10.因为第3,4,5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取

的人数分别为：第3组：×6＝3，第4组：×6＝2，第5组：×6＝1，

所以第3,4,5组分别抽取3人，2人，1人.

……………12分

略21.(本小题满分7分)已知平面内一点与两个定点和的距离的差的绝对值为2．（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）设过的直线与曲线交于，两点，且（为坐标原点），求直线的方程．参考答案：解：（Ⅰ）根据双曲线的定义，可知动点的轨迹为双曲线，

其中，，则．所以动点的轨迹方程：．

………………2分（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，不满足题意．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，由方程组得．