2022年湖南省岳阳市青潭中学高三数学理测试题含解析

2022年湖南省岳阳市青潭中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数，则下列选项的命题为真命题的是（

）A．

B．C．

D．参考答案：C所以A错；，所以B错；C对；D错；选C.

2.已知平面向量=（1，y），=（2，﹣1），且=0，则3﹣2=（）A．（8，1） B．（8，3） C．（﹣1，8） D．（7，8）参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由平面向量数量积的坐标计算公式可得=1×2+y×（﹣1）=0，解可得y的值，即可得向量的坐标，由向量加减法的坐标计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，=（1，y），=（2，﹣1），则有=1×2+y×（﹣1）=0，解可得y=2，则=（1，y）=（1，2）故3﹣2=（﹣1，8）；故选：C．3.如图，阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C.eAB D.参考答案：B4.如图，A、B、C是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60o，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（A）arcsin

（B）arccos（C）arcsin

（D）arccos参考答案：答案：D5.△ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线x=a将△ABC分割成面积相等的两部分,则实数a的值等于

(

）A．

B．1+

C．1+

D．2－参考答案：A6.在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为棱BC，A1C1的中点，过A，D，E的截面把三棱柱分成两部分，则这两部分的体积比为（

）A．5:3

B．2:1

C.17:7

D．3:1参考答案：C根据题中的条件，可以断定，该截面与的交点为靠近于的四等分点，所以可以得到该平面将棱柱分成了一个三棱台和一个几何体，而该三棱柱的体积为，而割出来的三棱台的体积为，所以有，所以所得的两部分的体积比为，故选C.

7.已知函数的定义域为，且满足，当时，，则函数的大致图象为（

）参考答案：A8.定义在上的函数，当时，，且对任意的满足（常数），则函数在区间上的最小值是（

）

参考答案：D9.已知在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A．π B．3π C． D．2π参考答案：B【考点】球的体积和表面积．【分析】求出P到平面ABC的距离为，AC为截面圆的直径，AC=，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，求出R，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC=，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．10.已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1，下列结论中错误的是（）A．f（x）的图象关于（，1）中心对称B．f（x）在（，）上单调递减C．f（x）的图象关于x=对称D．f（x）的最大值为3参考答案：B【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的单调性，最值性，对称性的性质分别进行判断即可．【解答】解：f（x）=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1，A．当x=时，sin（2x﹣）=0，则f（x）的图象关于（，1）中心对称，故A正确，B．由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，当k=0时，函数的递减区间是[，]，故B错误，C．当x=时，2x﹣=2×﹣=，则f（x）的图象关于x=对称，故C正确，D．当2sin（2x﹣）=1时，函数取得最大值为2+1=3，故D正确，故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知a＞0，b＞0，当（a+4b）2+取到最小值时，b=．参考答案：【考点】7F：基本不等式．【分析】根据基本不等式，，a=4b时取等号，进而得出，进一步可求出a=1，时，取到最小值，即求出了此时的b的值．【解答】解：∵a＞0，b＞0；∴，当a=4b时取“=”；∴（a+4b）2≥16ab；∴=8，当，即，a=1时取“=”；此时，b=．故答案为：．【点评】考查基本不等式，注意基本不等式等号成立的条件，不等式的性质．12.设曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数为：

.参考答案：313.若函数的反函数为，则不等式的解集为_____．参考答案：【分析】先求出，即求解即可。【详解】∵，∴有，则，必有﹣1＞0，∴2（﹣1）＜1，解得1＜．故答案为：．【点睛】本题考查了反函数的求法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.已知四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的度数为．参考答案：450【考点】二面角的平面角及求法．【分析】如图，过点P作直线l∥AB，直线l就是平面PAB与平面PCD的交线，故∠DPA就是平面PAB与平面PCD所成的二面角的平面角，在直角△PAD△中可知∠DPA=45°．【解答】解：如图，过点P作直线l∥AB，直线l就是平面PAB与平面PCD的交线，∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，∴CD⊥面PAD即CD⊥PD，∴PD⊥l，PA⊥l，故∠DPA就是平面PAB与平面PCD所成的二面角的平面角，在直角△PAD△中可知∠DPA=45°．故答案为：45015.若集合，，则=

.参考答案：因为集合，，所以=，即.16.函数的最小正周期是______________参考答案：17.若函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为a，则6的展开式中各项系数和为

（用数字作答）．参考答案：考点：二项式系数的性质；定积分．专题：计算题．分析：求解定积分得到a的值，把a的值代入二项式后，取x=1即可得到6的展开式中各项系数和．解答： 解：函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为a，如图，∴a=+==．∴6=，取x=1，得．故答案为：．点评：本题考查了定积分，考查了二项式系数的性质，体现了数学转化思想方法，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知点和过点的直线与过点的直线交于点，若直线的斜率之积为1。(1)求动点P的轨迹方程；(2)设点为点关于直线的对称点，过点的直线交曲线于轴下方两个不同的点，设过定点与的中点的直线交轴于点,求的取值范围。参考答案：略19.（12分）如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，且△ABC是的边长为4的等边三角形，AE=2，CD与平面ABDE所成角的余弦值为，F是线段CD上一点．（Ⅰ）若F是线段CD的中点，证明：平面CDE⊥面DBC；（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AB中点O，连结OC，OD，取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面CDE⊥平面DBC．（Ⅱ）求出平面DEC的一个法向量和平面BCE的一个法向量，利用向量法能求出二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AB中点O，连结OC，OD，∵DB⊥平面ABC，DB?平面ABDE，∴平面ABDE⊥平面ABC，∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，又OC?平面ABC，平面ABDE∩平面ABC=AB，∴OC⊥平面ABD，∴OD是CD在平面ABDE上的射影，∠CDO是CD与平面ABDE所成角，∵CD与平面ABDE所成角的余弦值为，∴CD与平面ABDE所成角的正弦值为，∴sin，∵OC=2，∴CD=4，BD=4，取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣2，0），B（0，2，0），C（2，0，0），D（0，2，4），E（0，﹣2，2），F（，1，2），∴=（），=（2，﹣2，0），=（0，0，4），∴，，∴EF⊥BC，EF⊥BD，∵DB，BC?平面DBC，且DB∩BC=B，∴∴EF⊥平面DBC，又EF?平面BDF，∴平面CDE⊥平面DBC．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当F是线段CD的中点时，得BF⊥平面DEC，又=（），则可取平面DEC的一个法向量==（），设平面BCE的一个法向量=（x，y，z），=（2，﹣2，0），=（2，2，﹣2），则，取x=1，得=（1，），则cos＜＞===，sin＜＞=，∴二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．20.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M是AB的中点.（1）求证：平面；（2）若是正三角形，且，求直线AB与平面所成角的正弦值．参考答案：（1）见解析.（2）.试题分析：（1）连接，设与的交点为，则为的中点，连接，通过证明可证到线面平行．（2）可求得，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.由空间向量求得线面角．试题解析：（1）连接，设与的交点为，则为的中点，连接，又是的中点，所以.又平面，平面，所以平面.（2）是的中点，是正三角形，则，，，设，则，以轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，.设是平面的法向量，则，可取平面的法向量为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.21.已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）记△的内角、、所对的边长分别为、、，若，△的面积，，求的值．参考答案：解：（1）（2）由∵，，

………………（7分）∵面积，∴，

………………（8分）∵，∴，

………………（10分）∵∴．

………………（12分）22.已知函数.（1）若在时取得极值，求的值；（2）求的单调区间；w.w.w.zxxk.c.o.m

（3）求证：当时，参考答案：解：（1），是一个