2023年人教版九年级上册第21章《一元二次方程》单元测试卷 含解析

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2023年人教版九年级上册第21章《一元二次方程》单元卷

一、选择题（共30分）

1．下列方程是一元二次方程的是（）

A．B．

C．D．

2．在一元二次方程中，常数项为（）

A．2B．C．5D．-5

3．用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（）

A．B．C．D．

4．若是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（）

A．B．C．D．

5．关于x的一元二次方程的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定

6．用公式法解一元二次方程时，计算的结果为（）

A．B．C．D．

7．方程的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长是（）

A．12B．15C．12或15D．18或9

8．某地区2023年投入教育经费1000万元，为了发展教育事业，该地区之后每年教育经费的年增长率均为，预计2025年将投入2500万元，则下列方程正确的是（）

A．B．

C．D．

9．有一人感染了某种病毒，若不及时控制就会传染其他人，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，经过两轮传染后共有64人感染，则的值是（）

A．8B．7C．6D．5

10．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（）

A．5B．1C．D．

二、填空题（共18分）

11．关于x的方程是一元二次方程，则的取值范围为．

12．关于x的一元二次方程，化为一般形式是．

13．一元二次方程的一个解是，则该方程的另一个解是．

14．若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为．

15．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽米，则可列方程为．

16．某学校组织篮球比赛，实行单循环制，共有36场比赛，则参加的队数为．

三、解答题（共52分）

17．（6分）将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：

(1)；

(2)．

18．（6分）解方程：

(1)（用配方法）

(2)（用适当的方法）

19．（8分）（1）解方程：；

（2）解方程：．

20．（7分）（1）解方程：．

（2）下面是小米同学的错题本的一部分，请你仔细阅读，帮助她补充完整．

解方程：

解：第一步

第二步

第三步

分析：第________步开始出现错误．

按照小米同学的思路改正：

反思：此方程除了本种解法外，其它解法可以有________．（写出两种名称即可）

21．（8分）已知关于的方程．

(1)若方程总有两个实数根，求的取值范围；

(2)若两实数根满足，求的值．

22．（8分）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台3月份的销售量是10万件，5月份的销售量是14.4万件．

(1)该平台3月份到5月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？

(2)经市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为80元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出5件．为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利700元，则售价应降低多少元？

23．（9分）如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为秒．

(1)填空：______，______（用含的代数式表示）

(2)当为何值时，的长度等于？

(3)是否存在，使得五边形的面积等于？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．A

【分析】根据一元二次方程的定义，逐一判断即可．

【详解】∵一元二次方程：等式两边都是等式，只含一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的方程，

∴A、属于一元二次方程，符合题意；

B、不是等式方程，不符合题意；

C、含有个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；

D、，当时，不是一元二次方程，不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的定义，学会识别一元二次方程．

2．B

【分析】直接根据一元二次方程（，，是常数且a≠0）的、、分别是二次项系数、一次项系数、常数项进行求解．

【详解】解：一元二次方程的常数项为：．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的基本定义，掌握常数项的定义是解题的关键．

3．A

【分析】先将常数项移到等号右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理成完全平方式即可．

【详解】解：

移项得：，

方程两边同时加上得：，

整理得：，

故选：A．

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程．

4．B

【分析】把代入关于的一元二次方程中推出，然后整体代入所求式子中求解即可．

【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个实数根，

∴，

∴，

∴，

∴，

故选B．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．

5．A

【分析】先计算判别式的值，再配方得到，从而可判断方程根的情况．

【详解】解：，

整理得：，

，

∴方程有两个不相等的实数根，

故选A．

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

6．A

【分析】根据方程的系数可得出，，的值，再将其代入中即可求出结论．

【详解】解：对于一元二次方程，

，，，

，

故选：．

【点睛】本题考查了根的判别式，牢记根的判别式，准确找到方程中的，，的值是解答本题的关键．

7．B

【分析】先利用因式分解的方程求出一元二次方程的两个根，然后分别讨论两个根为底边时能否构成三角形，最后求解即可．

【详解】解：∵，

∴，

解得：，

∵当底为，腰为时，由于，不符合三角形三边关系，

∴等腰三角形的腰为，底为，

∴周长为，

故选B．

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程和构成三角形的条件，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

8．B

【分析】利用该地区预计到2025年将投入的教育经费金额等于该地区2023年投入的教育经费金额×(1+该地区每年教育经费的年增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】解：设该地区每年教育经费的年增长率均为，则2024年的教育经费为，

所以2025年的教育经费为，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

9．B

【分析】根据经过两轮传染后共有64人感染，可列方程求解即可．

【详解】由题意得：

，

解得：或（舍去）．

答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；

故选：B．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解题关键．

10．C

【分析】根据根与系数的关系求出，即可．

【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，

∴，，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．

11．

【分析】根据定义可得二次项系数为零，一次项系数不等于，解之即可．

【详解】根据一元一次方程的定义可得：，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．

12．

【分析】根据等式的基本性质和一元二次方程的一般式进行求解即可．

【详解】由原式得，．

故答案为：．

【点睛】本题考查等式的性质，一元二次方程的基本形式，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．

13．

【分析】采用因式分解法解方程即可求解．

【详解】

，

即，，

一个解是，则该方程的另一个解是，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程的知识，掌握因式分解法是解答本题的关键．

14．9

【分析】由题意知，，解得，然后代入求值即可．

【详解】解：由题意知，，解得，

∴，

故答案为：9．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

15．

【分析】可借助平移性质得到长为、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可．

【详解】解：根据题意，草坪的面积为，

故所列方程为，

故答案为：．

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解答的关键．

16．9

【分析】设有个球队参加比赛，那么第一个队和其他队打场球，第二个队和其他队打场，以此类推可以知道共打场，然后列出方程求解．

【详解】解：设邀请个球队参加比赛，

依题意得，

即，

，

或（不合题意，舍去）．

故答案为：9．

【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，该题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．

17．(1)二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2

(2)二次项系数为，一次项系数为1，常数项为

【分析】（1）一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且），a，b，c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可；

（2）一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且），a，b，c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可．

【详解】（1）解：∵化为一般形式为，

∴二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2；

（2）∵化为一般形式为，

∴二次项系数为，一次项系数为1，常数项为．

【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

18．(1)

(2)

【分析】（1）利用配方法解方程即可；

（2）利用因式分解法解方程即可．

【详解】（1）解：∵

∴，

∴，

∴，

∴，

解得；

（2）解：∵，

∴，

∴或，

解得．

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．

19．（1），

（2），．

【分析】（1）用公式法或配方法求解即可；

（2）用因式分解法求解即可．

【详解】解法1：在这里，，．

．

∴．

∴，．

解法2：原方程可变形为．

配方，得．

即：．．

∴．

∴，．

（2）解方程：．

解：原方程可变形为．

∴或．

∴，．

【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种常规解法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法是解题的关键，注意：要根据方程的特点，选择恰当的解法，使运算更简便．

20．（1），；（2）一，见解析，公式法和因式分解法．

【分析】利用公式法求解二元一次方程，再根据平方根的性质可知第一步开始出现错误，按照，可以得出方程的两个根，除了本题给出的方法还可以用公式法和因式分解法解这个方程．

【详解】（1）解：，

，

，，，

，

方程有两个不相等的实数根，

，

，；

（2）第一步开始出现错误．

按照小米同学的思路改正：

，

，

或，

，，

反思：此方程除了本种解法外，其它解法可以有公式法和因式分解法，

①

整理得：，

，

，；

②，

整理得：，

，

，，

此方程除了本种解法外，其它解法可以有公式法和因式分解法．

【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法，直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

21．(1)

(2)

【分析】（1）由方程求出判别式即可；

（2）由一元二次方程根与系数的关系，用含代数式表示两根之和及两根之积，由此即可求解．

【详解】（1）解：，

∵方程总有两个实数根，

∴，

∴．

（2）解：由，

∵，，

∴原式即为：，整理得，，

∴解得（舍）或．

【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是将熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系及两根之积与两根之和．

22．(1)

(2)元

【分析】（1）设月平均增长率是x，利用即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出y的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低20元．

【详解】（1）设月平均增长率为x．根据题意，得

，

解得，（舍去）

答：月平均增长率是是.

（2）售价应降低y元．根据题意，得

，

化简，得，

解得，．

∵要尽量减少库存，

∴．

答：售价应降低元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

23．(1)；

(2)当或时，的长度等于

(3)不存在；理由见解析

【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度；

（2）根据勾股定理可得，代入相应数据解