新高考数学通用版总复习一轮课件第九章第5讲用样本估计总体

第5讲用样本估计总体课标要求考情分析1.通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.2.通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差.3.能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差等)，并作出合理的解释.1.高考对统计考查的覆盖面广，几乎所有的统计考点都有所涉及，包括样本的频率分布(折线图、直方图、茎叶图等)中的有关计算，样本数字特征(众数、中位数、平均数、标准差等)的计算.复习时，对于统计的任何环节都不能遗漏，最主要的是掌握好统计的基础知识，适度的题量练习.课标要求考情分析4.在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性.5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异.6.形成对数据处理过程进行初步评价的意识2.高考对频率分布直方图或茎叶图与概率相结合的题目考查日益频繁.因此，复习时要加强这方面的训练，弄清图表中有关量的含义，并从中提炼出有用的信息，为后面的概率计算打好基础(续表)1.用样本估计总体通常我们对总体作出的估计一般分成两种：(1)用样本的频率分布估计总体的分布；(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征.

2.统计图

(1)频率分布直方图

从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律.具体做法如下： ①求极差：即一组数据的最大值与最小值的差. ②决定组距和组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组，组距＝__________.

③将数据分组：通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间，也可以将样本数据多取一位小数分组.频率组距，这样得到一系列的长方形，每个长方形的面积恰好是该组的频率.这些矩形就构成了频率分布直方图，各个长方形的面积总和等于_________.1(2)频率分布折线图和总体密度曲线①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.

②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，在统计中称之为总体密度曲线.(3)茎叶图

当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录信息，给数据的记录和表示都带来方便.3.用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数、中位数、平均数①众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.

②中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在________位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.

在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.最中间(2)样本方差、标准差__________).

②标准差是反映总体波动大小的数字特征，样本方差是标准差的平方.通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差接近总体方差.平均数题组一走出误区

1.(多选题)乐乐家共有七人，已知今年这七人年龄的众数为35，平均数为44，中位数为55，标准差为19，则5年后，下列说法中正确的是()A.这七人岁数的众数变为40B.这七人岁数的平均数变为49C.这七人岁数的中位数变为60D.这七人岁数的标准差变为24

解析：根据众数、平均数、中位数的概念得5年后，每人的年龄相应增加5，而标准差不变，所以这七人年龄的众数变为40；平均数变为49；中位数变为60；标准差不变，为19.故选ABC.答案：ABC题组二走进教材2.(必修3P81A组第1题改编)已知某班级部分同学一次测验)的成绩统计如图9-5-1，则其中位数和众数分别为(

图9-5-1A.95,94B.92,86C.99,86D.95,91

解析：由茎叶图可知，此组数据由小到大排列依次是76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17个，故92为中位数，出现次数最多的为众数，故众数为86，故选B.答案：B题组三真题展现

3.(2020年江苏)已知一组数据4,2a,3－a,5,6的平均数为4，则a的值是________.

解析：∵数据4,2a,3－a,5,6的平均数为4.∴4＋2a＋3－a＋5＋6＝20，即a＝2.

答案：24.(2020年全国Ⅲ)设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为(

)

解析：因为数据axi＋b(i＝1,2，…，n)的方差是数据xi(i＝1,2，…，n)的方差的a2倍，所以所求数据方差为102×＝1，故选C.

答案：C考点1样本的数字特征自主练习

1.(2017年全国Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A.x1，x2，…，xn的平均数

B.x1，x2，…，xn的标准差C.x1，x2，…，xn的最大值

D.x1，x2，…，xn的中位数解析：刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B.答案：B

2.(2018年全国Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图9-5-2所示的饼图：

图9-5-2则下面结论中不正确的是()A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

解析：新农村建设前，种植收入占60%；新农村建设后，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，种植收入占37%.实际种植收入增加，A结论不正确，故选A.答案：A解析：对于A选项，该组数据的平均数为(1＋＋(2＋＝，方差为(1－2.5)2×＋(2－2.5)2×＋(3－2.5)2×＋(4－2.5)2×＝；对于B选项，该组数据的平均数为(1＋4)×＋(2＋3)×＝，方差为(1－2.5)2×＋(2－2.5)2×＋(3－2.5)2×＋(4－2.5)2×＝；答案：B对于C选项，该组数据的平均数为(1＋4)×＋(2＋3)×＝，方差为(1－2.5)2×＋(2－2.5)2×＋(3－2.5)2×＋(4－2.5)2×＝；对于D选项，该组数据的平均数为(1＋4)×＋(2＋3)×＝，方差为(1－2.5)2×＋(2－2.5)2×＋(3－2.5)2×＋(4－2.5)2×＝1.45.因此，B选项这一组的标准差最大.故选B.

4.(2020年新高考Ⅱ)(多选题)我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，如图9-5-3是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是()

图9-5-3A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量

解析：由题图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11天复工指数减少，第7天到第9天复产指数减少，故A错误；

第1天的复产指数与复工指数的差大于第11天的复产指数与复工指数的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误；第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确；第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确.答案：CD

【题后反思】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.考点2茎叶图的应用师生互动

[例1](1)(2017年山东)如图9-5-4所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件).若这两组数据的)中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为(

图9-5-4A.3,5B.5,5C.3,7D.5,7

解析：甲组中位数为65，所以乙组中位数也为65，故y＝5，乙组平均数为66，所以56＋62＋65＋74＋70＋x＝66×5，x＝3.故选A.答案：A

(2)某APP报告显示，除夕至初五，该APP红包收发总量达到460亿个，同比去年增长43.3%.据统计，春节期间，甲、乙两个抢红包群抢红包的金额(单位：元)的茎叶图如图9-5-5，其中甲群抢得红包金额的平均数是88元，乙群抢得红包金额的中位数是89元，则m，n的等差中项为________.图9-5-5解析：甲群抢得红包金额的平均数是88元，88＝78＋86＋84＋88＋95＋(90＋m)＋92 7，m＝3；乙群抢得红包金额的中位数是89元，所以n＝9.则m，n的等差中项为3＋9 2＝6.答案：6

【题后反思】当两组数据表示在一个茎叶图中时，往往可不通过计算便能迅速得出相应的统计结论，从而提升解题效率.此时可从数据分布的对称性及数据主要集中在哪个茎上两个方面来进行.一般地，若数据大致对称，数据的集中趋势较强，则数据的稳定情况较好，即方差或标准差较小；若数据更多地集中在茎中较大的几个数所在的行，则往往平均数也较大.

【考法全练】

1.(多选题)某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据(单位：cm)如下面的茎叶图9-5-6所示，则下列结论正确的是()图9-5-6B.女生身高的极差为12 D.男生身高的方差较小A.女生身高的中位数为165C.男生身高的均值较大答案：BC

2.(2019年广西南宁模拟)如图9-5-7是甲、乙两人在10天中每天加工零件个数的茎叶图，若这10天甲加工零件个数的极差为a，乙加工零件个数的平均数为b，则a＋b＝________.图9-5-7解析：由茎叶图，知甲加工零件个数的极差a＝35－18＝3＋17＋11＋2)＝23，则a＋b＝40.答案：40考点3频率分布直方图的绘制及其应用多维探究

[例2](1)(2020年天津)从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5,35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如图9-5-8所示频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为(

)图9-5-8解析：根据直方图，直径落在区间[5.43,5.47)之间的零件频率为＋＝，则区间[5.43,5.47)内零件的个数为＝18.故选B.答案：B

(2)(2019年全国Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如图9-5-9所示的直方图：图9-5-9记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.①求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；②分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表).解：①由题意得a＋＋＝，解得a＝0.35.由＋b＋＝1－P(C)＝1－，解得b＝0.10.

②由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为×2＋×3＋×4＋×5＋×6＋×7＝4.05.乙离子残留百分比的平均值为0.05×3＋0.10×4＋0.15×5＋0.35×6＋0.20×7＋0.15×8＝6.

【题后反思】用频率分布直方图解决相关问题时，应正确理解图表中各个量的意义，识图掌握信息是解决该类问题的关键.频率分布直方图有以下几个要点：①纵轴表示频率组距；

②频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比； ③直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，所有的小矩形的面积之和等于1，即频率之和为1.【考法全练】

1.(2016年宁夏固原模拟)某小区共有

1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图9-5-10，则该小区居民用电量的中位数为________，平均数为________.图9-5-10答案：155

2.为了解某校九年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图9-5-11所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是()图9-5-11A.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为B.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为C.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为320D.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为32

解析：由频率分布直方图可知，中位数是频率分布直方图面积等分线对应的数值，是；众数是最高矩形的中间值；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为，所以估计1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为320；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为，所以估计1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为160.故D错误.答案：D⊙函数思想在统计中的应用在高考中常以频率分布直方图或茎叶图的形式出现，考查统计与概率的知识，这也是近几年高考出题的热点.

[例3](2016年全国Ⅰ)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到柱状图9-5-12：图9-5-12

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数.(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于，求n的最小值；

(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解：(1)当x≤19时，y＝3800；当x>19时，y＝3800＋500(x－19)＝500x－5700.所以y与x的函数解析式为

(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为，不大于19的频率为，故n的最小值为19. (3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300,10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为

1100×(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000.

若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000,10台的费用为4500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为

1100×(4000×90＋4500×10)＝4050.

比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.

【策略指导】本题把统计与函数结合在一起进行考查，有综合性但难度不大，求解关键是读懂题意，所以提醒考