新湘教版高中数学选择性必修·第二册第1章 导数及其应用 章末复习课 课件（共25张PPT）

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章末复习课

知识网络·形成体系

考点聚焦·分类突破

考点一导数几何意义的应用

1．导数几何意义的应用，主要考查切线方程及切点．

(1)明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．

(2)围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．

2．通过对导数几何意义的考查，提升学生的数学运算、数学抽象核心素养．

例1

(1)函数f(x)＝2ex＋的图象在点(0，f(0))处的切线方程为()

A．x＋y＋3＝0B．x＋y－3＝0

C．x－y＋3＝0D．x－y－3＝0

答案：C

解析：(1)∵f(x)＝2ex＋，

∴f(0)＝3，f′(x)＝2ex－，

∴f′(0)＝1，

故所求的切线方程为y－3＝x－0，即x－y＋3＝0.

(2)已知曲线y＝x＋(x0)的交点为P，过P点的曲线C的切线与x轴交于点Q(－a，0)，求a的值．

解析：(4)依题意解得P(a，a3－3a)．

y′＝3x2－3，

所以过P点的曲线C的切线方程为y－(a3－3a)＝(3a2－3)(x－a)．

令y＝0得切线与x轴的交点为(，0)，

则有＝－a，解得a＝±.

由已知，a>0，所以a的值为.

考点二利用导数研究函数的单调性

1．利用导数研究函数的单调性是高考中最常见的考查方式，其特点是导数f′(x)的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．

2．通过对用导数研究函数的单调性的考查，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算核心素养．

例2(1)函数f(x)＝x＋在(－∞，－1)上单调递增，则实数a的取值范围是()

A．[1，＋∞)

B．(－∞，0)

C．(0，1]

D．(－∞，0)

答案：D

解析：

(1)因为函数f(x)＝x＋，

所以f′(x)＝1－，

因为函数f(x)＝x＋在(－∞，－1)上单调递增，

所以f′(x)≥0在(－∞，－1)上恒成立，

即≤x2在(－∞，－1)上恒成立，

则≤1，解得a≥1或a1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝lna.

所以：

当0当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当1当01时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当a＝e时，f′(x)>0在定义域上恒成立，f(x)单调递增；

当a>e时，当1lna时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

综上：当a≤1时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)；

当1当a＝e时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；

当a>e时，f(x)的单调递增区间为(0，1)，(lna，＋∞)；单调递减区间为(1，lna)．

考点三利用导数研究函数的极值与最值

1．利用导数研究函数的极值与最值，主要是以lnx，ex，－x3等线性函数(或复合函数)为载体，研究函数的极值与最值问题．

2．通过对函数的极值与最值问题的考查，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算核心素养．

例3

(1)函数f(x)＝x3＋ax2－2x＋1在x∈(1，3)内存在极值点，则()

A．－≤a≤B．－C．a≤－或a≥D．a

答案：B

解析：f′(x)＝x2＋2ax－2，Δ＝4a2＋8>0，令f′(x)＝x2＋2ax－2＝0，由于x∈(1，3)，所以2a＝＝－x，y＝－x在(1，3)上递减，当x＝1时，y＝1；当x＝3时，y＝－.由于函数f(x)＝x3＋ax2－2x＋1在x∈(1，3)内存在极值点，所以－0)，则f′(x)＝，

当x∈(0，2)时，f′(x)0，f(x)单调递增，

所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)，极小值为f(2)＝ln2＋1，无极大值．

②f′(x)＝，

a．当m≥－1时，f′(x)≥0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上单调递增，

f(x)min＝f(1)＝－m＝4，解得m＝－4，不满足m≥－1，故舍去．

b．当－e0，f(x)单调递增，

f(x)min＝f(－m)＝ln(－m)＋1＝4，解得m＝－e3，不满足－e0恒成立，

∴函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)；

当a>0时，令f′(x)>0，又x∈(0，＋∞)，得x>，

令f′(x)1时，x2＋lnx0恒成立，

∴当x>1时，F′(x)>0，

∴F(x)在(1，＋∞)上为增函数，且F(1)＝>0.

∴F(x)>在(1，＋∞)上恒成立．∴F(x)>0.

∴当x>1时，x2＋lnx0，又由h>0可得r0