行列式与克莱默

§1.1

二阶、三阶行列式，全排列及其逆序数§1.2

n

阶行列式的定义§1.3

行列式的性质（1）§1.4

行列式性质（2）§1.5

克莱姆法则第1页，课件共85页，创作于2023年2月第一节二、三阶行列式全排列及其逆序数第2页，课件共85页，创作于2023年2月一、二阶行列式与三阶行列式注：该定义称之为对角线法则。第3页，课件共85页，创作于2023年2月1.全排列：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（简称排列）。2.逆序：对于n个不同的元素，先规定各元素之间的一个标准次序（如n个不同的自然数，可规定由小到大）于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素构成了一个逆序。二、全排列与逆序数第4页，课件共85页，创作于2023年2月3.逆序数：一个排列中所有逆序的总和称之为这个排列的逆序数。4.奇排列与偶排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。5.计算排列逆序数的方法：

不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序。设p1p2…pn为这n个自然数的一个排列，考虑元素pi(i=1,2,…n)，如果比pi大的且排在pi前面的元素有τi个，就说第5页，课件共85页，创作于2023年2月

pi这个元素的逆序数是i，即：

(p1p2…pn)=

1+

2+…+

n

就是这个排列的逆序数。例1求排列13…(2n

1)24…(2n)的逆序数。解：在该排列中，1～(2n1)中每个奇数的逆序数全为0，2的逆序数为(n

1)，4的逆序数为(n

2),…，(2n

2)的逆境序数为1，2n的逆序数为0，于是该排列的逆序数为第6页，课件共85页，创作于2023年2月例2在1~9构成的排列中,求j、k，使排列1274j56k9为偶排列解：由题可知，j、k的取值范围为{3，8}当j=3、k=8时，经计算可知，排列127435689的逆序数为5，即为奇排列当j=8、k=3时，经计算可知，排列127485639的逆序数为10，即为偶排列∴j=8，k=3第7页，课件共85页，创作于2023年2月例3设排列p1p2p3…pn的逆序数为k，求pn…p3p2p1的逆序数（p1p2p3…pn是1～n的某一排列）解：∵排列p1p2p3…pn与排列pn…p3p2p1的逆序数之和等于1～n这n个数中任取两个数的组合数即

：

第8页，课件共85页，创作于2023年2月第9页，课件共85页，创作于2023年2月第二节n阶行列式的定义第10页，课件共85页，创作于2023年2月设有n2个数，排成n行n列的数表作出表中位于不同行不同列的n个元素的乘积，并冠以符号(-1)τ，得形如的项，其中p1p2…pn为自然数1、2、…、n的一个一、定义第11页，课件共85页，创作于2023年2月排列，τ为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n!个，因而形如(1)式的项共有n!项。所有这n!项的代数和第12页，课件共85页，创作于2023年2月其中p1p2…pn是1～n的任一排列，是排列p1p2…pn的逆序数，即=(p1p2…pn)。二、几个特殊的行列式第13页，课件共85页，创作于2023年2月第14页，课件共85页，创作于2023年2月第15页，课件共85页，创作于2023年2月第16页，课件共85页，创作于2023年2月1.在排列中，将任意两个元素对调位置，其余元素不动，这种作出新排列的过程叫做对换。将相邻两元素对换，称为相邻对换。定理1 :对换一个排列中的任意两个元素，排列改变奇偶性。证明：该定理的证明可分为两步来证。第一步来证明相邻对换的情况,第二步证明一般情况。三、对换与排列奇偶性的关系第17页，课件共85页，创作于2023年2月由此可见，相邻对换将改变排列的奇偶性。再证一般情况，设：第18页，课件共85页，创作于2023年2月把(1)作n+1次相邻对换得(2)，把(2)再作n次相邻对换可得(3)，即共作了2n+1次相邻对换由(1)而得到(3)。由前可知，作一次相邻对换，排列的奇偶性改变一次，故由(1)到(3)排列的奇偶性就改变了2n+1次，即由原来的奇排列就变成了偶排列或由原来的偶排列变成了奇排列。▌第19页，课件共85页，创作于2023年2月定理2：n元排列共有n!个，其中奇、偶排列的个数相等，各有n!/2个。证：设奇排列有p个，偶排列有q个。将每个奇排列的头两个数对换，则得一个偶排列，说明有多少奇排列，就至少有多少个偶排列。反之亦然，因此，p=q。定理3：任意一个n元排列都可以经过一些对换变成自然排列，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。第20页，课件共85页，创作于2023年2月四、行列式的等价定义第21页，课件共85页，创作于2023年2月五、关于等价定义的说明第22页，课件共85页，创作于2023年2月第23页，课件共85页，创作于2023年2月这就表明，对换乘积项中两元素的位置，从而行标排列与列标排列同时做了相应的对换，但行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性并不改变。第24页，课件共85页，创作于2023年2月定理4第25页，课件共85页，创作于2023年2月例5写出四阶行列式中含有因子的项。例6若为四阶行列式的项，试确定i与k，使前两项带正号，后一项带负号。第26页，课件共85页，创作于2023年2月第27页，课件共85页，创作于2023年2月第三节行列式的性质(1)第28页，课件共85页，创作于2023年2月第29页，课件共85页，创作于2023年2月第30页，课件共85页，创作于2023年2月第31页，课件共85页，创作于2023年2月第32页，课件共85页，创作于2023年2月第33页，课件共85页，创作于2023年2月第34页，课件共85页，创作于2023年2月第35页，课件共85页，创作于2023年2月第36页，课件共85页，创作于2023年2月第37页，课件共85页，创作于2023年2月第38页，课件共85页，创作于2023年2月第39页，课件共85页，创作于2023年2月第40页，课件共85页，创作于2023年2月

在利用行列式性质(1)进行行列式计算时，基本的思路是把行列式化成三角行列式，当然在化的过程中也要兼顾其它性质的应用。第41页，课件共85页，创作于2023年2月第42页，课件共85页，创作于2023年2月第43页，课件共85页，创作于2023年2月第44页，课件共85页，创作于2023年2月第45页，课件共85页，创作于2023年2月第46页，课件共85页，创作于2023年2月第47页，课件共85页，创作于2023年2月第48页，课件共85页，创作于2023年2月第49页，课件共85页，创作于2023年2月第50页，课件共85页，创作于2023年2月第51页，课件共85页，创作于2023年2月第52页，课件共85页，创作于2023年2月第四节行列式的性质(2)第53页，课件共85页，创作于2023年2月在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aij余子式，记作Mij；记Aij=(-1)i+jMij，Aij叫做元素aij的代数余子式。一、余子式与代数余子式第54页，课件共85页，创作于2023年2月第55页，课件共85页，创作于2023年2月二、k阶子式及其余子式和代数余子式在n阶行列式D中任选k行k列，位于这k行k列的交叉点处的k2个元素按原来的位置组成的k阶行列式M叫做D的一个k阶子式。在D中划去M所在的行与列，剩下的元素按原来的位置组成的n-k子式N叫做M的余子式。设M所在的行数与列数依次为i1<i2<…<ik，j1<j2<…<jk，M的余子式N乘以叫做M的代数余子式。第56页，课件共85页，创作于2023年2月M是D的一个2阶子式，N是M的一个余子式，A是M的一个代数余子式第57页，课件共85页，创作于2023年2月第58页，课件共85页，创作于2023年2月第59页，课件共85页，创作于2023年2月第60页，课件共85页，创作于2023年2月证明：第61页，课件共85页，创作于2023年2月证明：第62页，课件共85页，创作于2023年2月第63页，课件共85页，创作于2023年2月第64页，课件共85页，创作于2023年2月第65页，课件共85页，创作于2023年2月第66页，课件共85页，创作于2023年2月第67页，课件共85页，创作于2023年2月第68页，课件共85页，创作于2023年2月第69页，课件共85页，创作于2023年2月第70页，课件共85页，创作于2023年2月第五节克莱姆法则第71页，课件共85页，创作于2023年2月一、线性方程组第72页，课件共85页，创作于2023年2月二、克莱姆法则第73页，课件共85页，创作于2023年2月第74页，课件共85页，创作于2023年2月第75页，课件共85页，创作于2023年2月第76页，课件共85页，创作于2023年2月第77页，课件共85页，创作于2023年2月第78页，课件共85页，创作于2023年2月定理1：方程组(1)一定有解，且解是唯一的充要条件是线性方程组(1)的系数行列式D≠0。定理2：如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必等于零，即D=0。定理3：齐次方程组(2)只有零解，而没有非零解的充要条件是齐次线性方程组(2)的系数行列式D≠0。定理4：齐次方程组(2)有非零解的充要条件是齐次线性方程组(2)的系数行列式D=0。三、几个相关定理第79页，课件共85页，创作于2023年2月第80页，课件共85页，创作