2021-2022学年湖南省永州市西江桥中学高三数学理联考试卷含解析

2021-2022学年湖南省永州市西江桥中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得：∠AOB=90°．该几何体的体积为：V=V圆柱+V三棱锥P﹣AOB．【解答】解：由已知中的三视图，圆锥母线l==，圆锥的高h==2，圆锥底面半径为r==，∠AOB=90°．故该几何体的体积为：V=V圆柱+V三棱锥P﹣AOB=Sh+=×+=，故选：A．【点评】本题考查了圆锥与三棱锥的三视图的及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.若是任意实数，且,则下列不等式成立的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D用特殊值法，可以排除A，B，C，由函数的性质可知，D正确。3.已知函数,则(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.下列选项中与点位于直线的同一侧的是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D5.若存在正数使成立，则的取值范围是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D因为，所以由得，在坐标系中，作出函数的图象，当时，，所以如果存在，使，则有，即，所以选D.6.函数的定义域为(

）A．

B．

C．

D．参考答案：D7.若函数f（x）=2x﹣a2﹣a在（﹣∞，1]上存在零点，则正实数a的取值范围是（）A．（0，1] B．[0，1] C．（0，2] D．[0，2]参考答案：A【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用已知条件，求出2x的范围，得到不等式求解即可．【解答】解：在（﹣∞，1]上2x∈（0，2]．函数f（x）=2x﹣a2﹣a在（﹣∞，1]上存在零点，可得0＜a2+a≤2，解得a∈（0，1]．故选：A．8.为了迎接校运会，某班从5名男生和4名女生组成的田径运动员中选出4人参加比赛，则男、女生都有，且男生甲与女生乙至少有1人入选的选法有（

）种A．120

B．86

C．82

D．80参考答案：B略9.若直线2ax－by+2=0（a>0，b>0）始终平分圆x2+y2+2x－4y+1=0的面积，则a+b=（

）

A．

B．4

C．2

D．1参考答案：答案：D10.复数的共轭复数为（

）A．3i

B．3

C．－3i

D．－3参考答案：B利用复数的乘法法则化简，从而可得复数的共轭复数为，故选B.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.有一问题的算法程序是

WHILE

WEND

PRINTS

END则输出的结果是

.

Ks5u参考答案：5050略12.已知函数在时取得最小值，则____________。参考答案：略13.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如下图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是

参考答案：６００略14.已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．参考答案：（0，1）【考点】函数的零点．【分析】先把原函数转化为函数f（x）=，再作出其图象，然后结合图象进行求解．【解答】解：函数f（x）==，得到图象为：又函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，知f（x）=m有三个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．15.在中,点满足，则的值是

.参考答案：916.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1，a=2c，则sinC的最大值为______________．参考答案：【知识点】余弦定理

C8解析：由题意可知c不是最大边，再由三角形边长的关系可知，再由余弦定理可知，所以【思路点拨】由三角形中角的关系可利用余弦定理可求出结果.17.《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣（墙，读音）厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺．大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天减半）．问何日相逢，各穿几何？”在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是

：

．参考答案：59，26．【考点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和．【分析】第一天的时候，大鼠打了1尺，小鼠1尺；第二天的时候，大鼠打了2尺，小鼠打了尺；第三天设大鼠打了X尺，小鼠则打了（0.5﹣X）尺，则X÷4=（0.5﹣x）÷，由此能求出大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比．【解答】解：第一天的时候，大鼠打了1尺，小鼠1尺，一共2尺，还剩3尺；第二天的时候，大鼠打了2尺，小鼠打了尺，这一天一共打了2.5尺，两天一共打了4.5尺，还剩0.5尺．第三天按道理来说大鼠打4尺，小鼠尺，可是现在只剩0.5尺没有打通了，所以在第三天肯定可以打通．我们现在设大鼠打了X尺，小鼠则打了（0.5﹣X）尺则打洞时间相等：X÷4=（0.5﹣x）÷解方程得X=，所以大鼠在第三天打了8/17尺，小鼠打了0.5﹣=尺所以三天总的来说：大鼠打了3+=尺，小鼠打了5﹣尺，∴大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是59：26．故答案为：59，26．【点评】本题考查等差数列与等比数列在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在极坐标系下，点是曲线上的动点，，线段的中点为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求点的轨迹的直角坐标方程；（2）若轨迹上点处的切线斜率的取值范围是，求点横坐标的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）由，得

设，，则，，即，代入，得，∴；（不写累计扣1分）（Ⅱ）设，设点M处切线的倾斜角为，由斜率范围，可得，而，∴，∴，所以，点M横坐标的取值范围是．19.如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD及其矩形附属设施EFGH，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O，半径为R，矩形的一边AB在直径上，点C、D、G、H在圆周上，E、F在边CD上，且，设（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为，求的表达式；（2）当为何值时，能符合园林局的要求？

参考答案：（1）由题意，，，且为等边三角形，所以，，，

，．分（2）要符合园林局的要求，只要最小，由（1）知，令，即，解得或（舍去），令………………9分当时，是单调减函数，当时，是单调增函数，所以当时，取得最小值.………………12分答：当满足时，符合园林局要求.………………14分20.用水清洗一堆水果上残存的农药，假定用1个单位的水可清洗掉水果上残存农药量的50%。用水越多，清洗越干净，但总还有极少量农药残存在水果上。设用x个单位的水清洗一次水果后，残存的农药量与本次清洗前残存的农药量之比记为函数。

（1）请规定的值，并说明其实际意义。

（2）写出满足的条件和具有的性质。

（3）设，现有个单位的水，可以清洗一次，也可以把水等分成2份后清洗两次，说明哪种方案能使水果上残存的农药量较少。参考答案：解析：（1）设，表示未清洗时水果上残留的农药量。

（2）满足：

，，

具有的性质：

在［０，）上单调递减，且

（3）方案1：用m个单位的水，仅清洗一次

因为，所以

所以用m个单位的水，仅清洗一次，则水果上残存的农药量为

方案2：把m个单位的水等分成2份来清洗

因为

又表示用x个单位的水清洗一次后，残存的农药量与本次清洗前残存的农药量之比，所以用个单位的水清洗以后，水果上残存的农药为

；

再用个单位的水清洗后，水果上残存的农药量为

两种方案中残存的农药量之差为

于是可得下面的结论：

当时，把水分成2等份清洗，水果上残存的农药量较少；

当时，两种方案的清洗效果一样；

当时，仅清洗一次，水果上残存的农药量较少。

21.已知函数．(1)求的单调区间；(2)若,在区间恒成立,求a的取值范围．参考答案：(1)（i）,在单调增加.(ii),在单调减少，在单调增加.

(iii),在单调减少，在单调递增.

（2）.

（2）由题意得恒成立.设，

------------------------------8分则

所以在区间上是增函数，-----------------------------10分只需即

------------------------------12分考点：应用导数研究函数的单调性、最值.

略22.已知各项为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足（Ⅰ）求证：{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，求证：．参考答案：【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用数列递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（