2021年北京门楼庄中学高三数学理月考试卷含解析

2021年北京门楼庄中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.实数满足不等式组，且

取最小值的最优解有无穷多个,则实数a的取值是（

）Ks5u

A．

B．1

C．2

D．无法确定参考答案：B2.（多选题）已知函数,则下列结论中正确的是(

)A.函数f(x)是周期为π的偶函数B.函数f(x)在区间上是减函数C.若函数f(x)的定义域为,则值域为D.函数f(x)的图像与的图像重合参考答案：BD【分析】根据余弦函数的性质一一验证即可得解.【详解】解：错，函数是周期为的函数，但不是偶函数；B正确，当时,，所以函数在区间上是减函数；C错，若函数的定义域为，则，其值域为；D正确，，故D正确.故选：【点睛】本题考查余弦函数的性质的应用，属于中档题.3.平面的斜线AB交于点B，斜线AB与平面成角，过定点A的动直线l与斜线AB成的角，且交于点C，则动点C的轨迹是

（）A．圆

B．椭圆

C．抛物线

D．双曲线参考答案：答案：D4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=（

）.A.

B.

C.

D.参考答案：A略5.已知cos（+α）=，|α|＜，则tanα等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．参考答案：A【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用诱导公式可求sinα，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值．【解答】解：∵cos（+α）=﹣sinα=，|α|＜，∴sinα=﹣，cosα==，∴tanα==﹣2．故选：A．6.已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝

()A．{－1,0}

B．{0,1}

C．{－2，－1,0,1} D．{－1,0,1,2}

参考答案：D7.对于函数，若存在区间，使得，则称区间M为函数的一个“稳定区间”，现有四个函数：

①②③④

其中存在“稳定区间”的函数为

（

）

A．①

B．①②

C．①②③

D．①②④参考答案：D略8.设锐角的内角对边分别为，若则的取值范围是（）A．

B．

C．

D．

参考答案：C略9.根据下列算法语句,当输入x为60时,输出y的值为A．61 B．31

C．30 D．25参考答案：B10.若集合,,则【

】.A.

B.

C.

D.参考答案：A集合,,所以.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知双曲线的左右焦点，是双曲线右支上一点，在上投影的大小恰好为，且它们夹角为，则双曲线离心率是

.参考答案：12.数列对任意的正整数满足，则数列的通项公式

。参考答案：13.若实数x、y满足不等式组，则x+y的最大值为_____________．参考答案：9略14.抛物线y2=4x的焦点为F，过点(0,3)的直线与抛物线交于A,B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，若，则点D的坐标为

参考答案：（4,0）15.在三个数中，最小的数是_______．参考答案：【知识点】对数与对数函数指数与指数函数【试题解析】

故答案为：16.等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则公比q=______参考答案：17.函数在定义域内的零点的个数为

参考答案：2个三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分15分）已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．

（I）求椭圆的方程；

（II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．参考答案：解析：（I）由题意得所求的椭圆方程为，（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，设线段MN的中点的横坐标是，则，设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．19.“五一”期间,为了满足广大人民的消费需求,某共享单车公司欲投放一批共享单车,单车总数不超过100辆,现有A,B两种型号的单车:其中A型车为运动型,成本为400元/辆,骑行半小时需花费0.5元;B型车为轻便型,成本为2400元/辆,骑行半小时需花费1元.若公司投入成本资金不能超过8万元,且投入的车辆平均每车每天会被骑行2次,每次不超过半小时(不足半小时按半小时计算),问公司如何投放两种型号的单车才能使每天获得的总收入最多，最多为多少元？参考答案：解:根据题意,设投放A型号单车辆,B型号单车辆,单车公司可获得的总收入为元;…1分目标函数为.……………2分，满足的约束条件为：,即……………5分该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分所示.

；

……………8分考虑，将它变形为：，这是斜率为，随变化的一族平行直线.为直线在轴上的截距,当取最大值时，的值最大，所以由上图可知，当直线经过可行域中的点时，截距最大，即最大.……………11分解方程组得点的坐标为.……………12分所以的最大值为元.

答：公司投放A型号单车80辆,B型号单车20辆时每天获得的总收入最多，最多为120元.……………13分20.已知函数.（1）0当时，求不等式的解集；（2）若，的最小值为2，求的最小值.参考答案：(1)(2)【分析】（1）通过分类讨论得到解析式，求解不等式得到结果；（2）根据绝对值三角不等式可得，再利用基本不等式求得最小值.【详解】（1）当，时，可得的解集为（2）因为，又最小值为所以，又，

所以当且仅当，时取等号故的最小值为【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式、绝对值三角不等式的应用、利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够构造出符合积为定值的两数之和的形式，从而利用基本不等式求得结果.21.手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端(通常是手机)对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：(年龄单位：岁)年龄段[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频率0.10.320.280.220.050.03使用人数828241221(1)若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关?

年龄低于45岁年龄不低于45岁使用手机支付

不使用手机支付

(2)若从年龄在[55，65)，[65，75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考数据：P(K2≥k0)0.0250.0100.0050.001k03.8416.6357.87910.828

参考公式：.参考答案：（1）见解析.（2）见解析【分析】（1）根据频数分布表完成列联表，计算卡方，得出结论；（2）先确定的所有可能取值，再分别求解其概率，然后可求分布列和期望.【详解】解：（1）由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人，可得列联表如下：

年龄低于45岁年龄不低于45岁使用手机支付6015不使用手机支付1015于是有的观测值.

故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关.（2）由题意可知，的所有可能取值为，相应的概率为：，，，，于是的分布列为:0123P

所以.【点睛】本题主要考查独立性检验和随机变量分布列及期望，侧重考查数学建模，数据分析和数学运算的核心素养.22.（本题满分12分）已知函数=,=,若曲线和曲线都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线．(Ⅰ)求,,,的值；(Ⅱ)若时，≤，求的取值范围．参考答案：(Ⅰ)由已知得,而=,=,∴=4,=2,=2,=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,设函