线性系统理论数学基础

线性系统理论数学基础第1页，课件共73页，创作于2023年2月第一章数学基础1.1线性空间与线性变换1.1.1线性空间定义 在集合上赋予一定的结构或一定的要求,这个集合就称为一个特定的空间。定义1.1.1

线性空间定义（11页）： 设V是一个非空集合,P是一个数域……第2页，课件共73页，创作于2023年2月第3页，课件共73页，创作于2023年2月第4页，课件共73页，创作于2023年2月则也是实数域R上的线性空间。因此不难看出，实数域上的线性空间的本质是指他们内部的运算具有线性性。

例1.1.3

设是线性空间，则不难验证

是的子空间。它也称为由构成的子空间。第5页，课件共73页，创作于2023年2月例1.1.4

设

是线性空间

是的子空间，也称是由所生成的子空间

例1.1.5

设是线性空间，显然，那么是的子空间，称为零子空间。

中个元

或称为中的个向量，则第6页，课件共73页，创作于2023年2月1.1.2

线性空间的基和维数第7页，课件共73页，创作于2023年2月第8页，课件共73页，创作于2023年2月第9页，课件共73页，创作于2023年2月例1.1.6

在欧氏空间中选取个无关向量它们便构成的一组基。因此，也称为维欧氏空间。

第10页，课件共73页，创作于2023年2月1.1.3

线性变换第11页，课件共73页，创作于2023年2月例1.1.7

记

这里表示区间上一次可微函数的全体，表示区间上连续函数的全体。容易验证都是实数域上的线性空间。定义

也不难验证是到的线性变换，有时也称为线性算子或微分算子。

第12页，课件共73页，创作于2023年2月第13页，课件共73页，创作于2023年2月例1.1.8

令则为上的线性变换，易知是的核空间，即

第14页，课件共73页，创作于2023年2月显然，若向量构成的一组基，则由上述基的定义可知，对所有，均可以惟一表成我们称为关于基的坐标。若向量构成的另一组基，则有第15页，课件共73页，创作于2023年2月而对任意，有由此可知

我们称为基和基之间的坐标变换。容易验证，坐标变换也是上的线性变换。第16页，课件共73页，创作于2023年2月1.2

矩阵代数中的几个结果1.2.1

矩阵必秩的条件定义1.2.1

矩阵列秩:矩阵中列向量的最大线性无关组的个数；行秩:矩阵中行向量的最大线性无关组的个数。矩阵的行秩与列秩相等。矩阵A的行秩和列秩称为矩阵A的秩。第17页，课件共73页，创作于2023年2月第18页，课件共73页，创作于2023年2月1.2.2Vendermonde矩阵与友矩阵⑴Vendermonde矩阵及基性质第19页，课件共73页，创作于2023年2月第20页，课件共73页，创作于2023年2月⑵友矩阵及其性质第21页，课件共73页，创作于2023年2月第22页，课件共73页，创作于2023年2月第23页，课件共73页，创作于2023年2月1.2.3

Cayley-Hamilton定理与化零多项式第24页，课件共73页，创作于2023年2月第25页，课件共73页，创作于2023年2月1.2.4

豫解矩阵与Leverrier算法第26页，课件共73页，创作于2023年2月第27页，课件共73页，创作于2023年2月第28页，课件共73页，创作于2023年2月1.3多项式矩阵第29页，课件共73页，创作于2023年2月1.3.1

基本概念第30页，课件共73页，创作于2023年2月第31页，课件共73页，创作于2023年2月第32页，课件共73页，创作于2023年2月1.3.2初等变换多项式的初等行(列)变换,是指下列三种典型操作:①矩阵的两行(或两列)互换位置;②矩阵的某一行(或某一列)乘以非零的常数C;③矩阵的某一行(或某一列)加上另一行(或列)的Φ(s)倍,Φ(s)为一个多项式。第33页，课件共73页，创作于2023年2月第34页，课件共73页，创作于2023年2月1.3.3Smith标准型定义1.3.3

如果可以用一系列初选变换将多项式方阵A(s)化为多项式矩阵B(s),则称多项式A(s)和B(s)互相等价。等价是多项式矩阵之间的一种关系，有下述三个性质：①反身性，每一个多项式矩阵均与自身等价；②对称性，A(s)等价B(s)，B(s)等价A(s)；③传递性，A(s)等价B(s)，B(s)等价C(s)，A(s)等价C(s)

。第35页，课件共73页，创作于2023年2月第36页，课件共73页，创作于2023年2月第37页，课件共73页，创作于2023年2月第38页，课件共73页，创作于2023年2月1.4有理分式矩阵及其互质分解第39页，课件共73页，创作于2023年2月第40页，课件共73页，创作于2023年2月1.4.1互质多项式矩阵第41页，课件共73页，创作于2023年2月第42页，课件共73页，创作于2023年2月第43页，课件共73页，创作于2023年2月第44页，课件共73页，创作于2023年2月第45页，课件共73页，创作于2023年2月第46页，课件共73页，创作于2023年2月第47页，课件共73页，创作于2023年2月1.4.2有理分式矩阵的互质分解第48页，课件共73页，创作于2023年2月第49页，课件共73页，创作于2023年2月1.4.3

第50页，课件共73页，创作于2023年2月第51页，课件共73页，创作于2023年2月第52页，课件共73页，创作于2023年2月1.5Jordan分解第53页，课件共73页，创作于2023年2月1.5.1

特征值的几何重数与代数重数第54页，课件共73页，创作于2023年2月矩阵某特征值的几何重数:

矩阵的Jordan标准型与该特征值相关联的Jordan块的个数.矩阵某特征值的代数重数:

矩阵的Jordan标准型与该特征值相关所有的Jordan块的阶数之和.第55页，课件共73页，创作于2023年2月第56页，课件共73页，创作于2023年2月1.5.2

广义特征向量链第57页，课件共73页，创作于2023年2月我们可对应地将特征向量矩阵V按列做如下分块第58页，课件共73页，创作于2023年2月第59页，课件共73页，创作于2023年2月第60页，课件共73页，创作于2023年2月1.5.3Jordan分解的求取第61页，课件共73页，创作于2023年2月第62页，课件共73页，创作于2023年2月第63页，课件共73页，创作于2023年2月第64页，课件共73页，创作于2023年2月第65页，课件共73页，创作于2023年2月第66页，课件共73页，创作于2023年2月1.6广义Sylvester矩阵第67页，课件共73页，创作于2023年2月1.6.1

求解问题与假设条件第68页，课件共73页，创作于2023年2月第69页，课件共73页，创作于2023年2月1.6.2

完全解析解之一第70页，课件共73页，创作于20