统计物理学基础

统计物理学基础第1页，课件共72页，创作于2023年2月6-1物质的微观结构热力学系统：大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观体系。外界：热力学系统以外的物体。微观粒子体系的基本特征(1)分子(或原子)非常微小。(2)热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大.(3)分子之间存在相互作用力－－分子力.(4)分子或原子的运动是杂乱无章的。第2页，课件共72页，创作于2023年2月宏观量描述热力学系统宏观整体的特征和状态的参量。如压强p、体积V、温度T等。微观量描述单个微观粒子特征和运动状态的物理量。如分子的质量、直径、速度、动量、能量

等。微观量与宏观量有一定的内在联系。一、系统状态的描述6-2

理想气体分子的动理论第3页，课件共72页，创作于2023年2月在这过程中，各点密度、温度等均不相同，这就是非平衡态。但随着时间的推移，各处的密度、压强、温度等都达到了均匀，无外界影响，状态保持不变，就是平衡态。设一容器，用隔板将其隔开，当隔板右移时，分子向右边扩散平衡态:在无外界的影响下，系统所有可观察的宏观性质不随时间改变的稳定状态。第4页，课件共72页，创作于2023年2月两点说明：平衡态是一种理想状态处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。平衡态是一种热动平衡若系统所受外界影响可以忽略，宏观性质只有很小变化时，可近似看作是平衡态。第5页，课件共72页，创作于2023年2月物态方程（状态方程）理想气体当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的函数关系：第6页，课件共72页，创作于2023年2月例：氧气瓶的压强降到106Pa即应重新充气，以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压强为1.3107Pa，若每天用105Pa的氧气400L，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。解:根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为使用时的温度为T设可供x天使用原有每天用量剩余第7页，课件共72页，创作于2023年2月分别对它们列出状态方程，有第8页，课件共72页，创作于2023年2月二、分子热运动的无序性和统计规律性什么是统计规律性？大量偶然性从整体上所体现出来的必然性。分子热运动无序性统计性单个分子运动情况具有很大的偶然性。大量分子的集体表现存在一定规律性。第9页，课件共72页，创作于2023年2月从入口投入小球与钉碰撞落入狭槽(偶然)隔板铁钉伽尔顿板实验第10页，课件共72页，创作于2023年2月再投入小球：

经一定段时间后,大量小球落入狭槽。分布情况：中间多，两边少。重复几次，结果相似。

单个小球运动是随机的,大量小球运动分布是确定的。小球数按空间位置分布曲线伽尔顿板实验第11页，课件共72页，创作于2023年2月统计规律特点:(1)只对大量偶然的事件才有意义.(2)它是不同于个体规律的整体规律.

(3)大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。统计物理学的任务:对平衡态下的热现象进行微观描述，然后运用统计的方法求得：(1)宏观量与微观量的统计平均值的关系，揭示宏观量的微观本质；(2)平衡态下微观量的统计分布。第12页，课件共72页，创作于2023年2月三、统计的基本概念1.概率如果N次试验中出现A事件的次数为NA,当N时，比值NA/N称为出现A事件的概率。(2)各种可能发生的事件的概率总和等于1.概率归一化条件概率的性质:(1)概率取值域为第13页，课件共72页，创作于2023年2月2.概率分布函数随机变量在确定条件下，一个变量以确定的不相同的概率取各种不同的值，称这个变量为随机变量。(1)离散型随机变量取值有限、分立表示方式第14页，课件共72页，创作于2023年2月随机变量x的概率密度变量取值在x—x+dx间隔内的概率概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。(2)连续型随机变量取值无限、连续又称为概率分布函数（简称分布函数）。第15页，课件共72页，创作于2023年2月3.统计平均值算术平均值统计平均值对于离散型随机变量随机变量的统计平均值等于一切可能状态的概率与其相应的取值乘积的总和。第16页，课件共72页，创作于2023年2月对于连续型随机变量统计平均值比较！第17页，课件共72页，创作于2023年2月四、理想气体的微观模型和统计假设1.理想气体微观模型分子本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略不计。除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。分子间的碰撞是完全弹性的。分子所受重力忽略不计。理想气体分子是弹性的自由运动的质点。第18页，课件共72页，创作于2023年2月2.统计假设①容器内任一位置附近单位体积内的分子数不比其他位置占优势；②分子沿任一方向的运动不比其他方向的运动占优势。①

分子数密度处处相等；②分子速度在各方向上的分量的各种平均值相等。第19页，课件共72页，创作于2023年2月五．理想气体的压强公式一定质量的处于平衡态的某种理想气体。(V,N,m

)平衡态下器壁各处压强相同，选A1面求其所受压强。第20页，课件共72页，创作于2023年2月i分子与器壁碰撞一次动量增量i分子对器壁的冲量i分子相继与A1面碰撞的时间间隔单位时间内i分子对A1面的碰撞次数单位时间内i分子对A1面的冲量i分子对A1面的平均冲力第21页，课件共72页，创作于2023年2月所有分子对A1面的平均作用力压强第22页，课件共72页，创作于2023年2月——分子的平均平动动能平衡态下第23页，课件共72页，创作于2023年2月六、分子的平均平动动能与温度的关系温度是气体分子平均平动动能大小的量度第24页，课件共72页，创作于2023年2月气体分子的方均根速率大量分子速率的平方平均值的平方根气体分子的方均根速率与气体的热力学温度的平方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反比。第25页，课件共72页，创作于2023年2月例:在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从270C升到1770C，体积减少一半，这时气体分子的平均平动动能变化多少？解：第26页，课件共72页，创作于2023年2月1.自由度确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例七、能量按自由度均分定理单原子分子平动自由度t=3双原子分子平动自由度t=3转动自由度r=2第27页，课件共72页，创作于2023年2月三原子或三原子以上的分子平动自由度t=3转动自由度r=3实际气体不能看成刚性分子，因原子之间还有振动.第28页，课件共72页，创作于2023年2月2.能量按自由度均分定理气体分子沿x,y,z三个方向运动的平均平动动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能均匀分配在每个平动自由度上。第29页，课件共72页，创作于2023年2月平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可能自由度的平均动能都是.能量按自由度均分定理如果某种气体的分子有t个平动自由度,r个转动自由度,s个振动自由度.则分子具有：平均平动动能平均转动动能平均振动动能常温下，气体分子振动动能可忽略，则分子的平均动能为第30页，课件共72页，创作于2023年2月八、理想气体的内能分子间相互作用可以忽略不计分子间相互作用的势能=0理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和1mol理想气体的内能为一定质量理想气体的内能为温度改变，内能改变量为第31页，课件共72页，创作于2023年2月例

就质量而言，空气是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩尔质量为28.910-3kg，试计算1mol空气在标准状态下的内能。解：在1摩尔空气中N2质量摩尔数O2质量摩尔数第32页，课件共72页，创作于2023年2月1mol空气在标准状态下的内能Ar质量摩尔数第33页，课件共72页，创作于2023年2月麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布函数一、麦克斯韦速率分布律1859年由麦克斯韦应用统计概念从理论上推导出理想气体速率分布定律。6-3麦克斯韦分子速率分布律第34页，课件共72页，创作于2023年2月f(v)f(vp)vvpv1v2分子出现在v1~v2区间内的概率曲线下的总面积恒等于1归一化条件第35页，课件共72页，创作于2023年2月下列各表达式的物理意义：？思考第36页，课件共72页，创作于2023年2月第37页，课件共72页，创作于2023年2月f(v)v速率分布曲线从原点出发，经一极大值后，随速率的增加而渐近于横坐标轴。即速率很大和很小的分子所占比率实际上都很小，具有中等速率的分子所占比率较大。第38页，课件共72页，创作于2023年2月1、最概然速率与分布函数f(v)的极大值相对应的速率极值条件分子速率的三个统计值第39页，课件共72页，创作于2023年2月2、平均速率大量分子速率的统计平均值速率是连续型随机变量第40页，课件共72页，创作于2023年2月3、方均根速率大量分子速率的平方平均值的平方根第41页，课件共72页，创作于2023年2月f(v)v都与成正比，与（或）成反比第42页，课件共72页，创作于2023年2月1、温度与分子速率温度越高，分布曲线中的最概然速率vp增大，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度增大，高度降低。麦克斯韦分布曲线的性质f(v)f(vp3)vf(vp1)f(vp2)T1T3T2第43页，课件共72页，创作于2023年2月1273K273K73Kf(v)50010001500vO2氧气分子分布函数和温度的关系第44页，课件共72页，创作于2023年2月2、质量与分子速率分子质量越大，分布曲线中的最概然速率vp越小，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度减小，高度升高。f(v)f(vp3)vf(vp1)f(vp2)M1M2M3第45页，课件共72页，创作于2023年2月例：有N个气体分子，其速率分布函数为试求:(1)常数A；(2)最概然速率，平均速率和方均根速率；(3)速率介于0~v0/3之间的分子数；(4)速率介于0~v0/3之间的气体分子的平均速率。解：(1)气体分子的分布曲线如图由归一化条件第46页，课件共72页，创作于2023年2月(2)最概然速率由决定，即平均速率方均根速率第47页，课件共72页，创作于2023年2月(3)速率介于0~v0/3之间的分子数(4)速率介于0~v0/3之间的气体分子平均速率为第48页，课件共72页，创作于2023年2月讨论速率介于v1~v2之间的气体分子的平均速率的计算对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为第49页，课件共72页，创作于2023年2月氮气分子在270C时的平均速率为476m.s-1.矛盾气体分子热运动平均速率高，但气体扩散过程进行得相当慢。克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。气体分子平均速率二、平均碰撞频率和平均自由程第50页，课件共72页，创作于2023年2月在相同的t时间内，分子由A到B的位移大小比它的路程小得多扩散速率(位移量/时间)平均速率(路程/时间)分子自由程:气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。分子碰撞频率:在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。第51页，课件共72页，创作于2023年2月大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计分布规律。可以求出平均自由程和平均碰撞次数。假定每个分子都是有效直径为d的弹性小球。只有某一个分子A以平均速率运动，其余分子都静止。Adddvv第52页，课件共72页，创作于2023年2月运动方向上，以d为半径的圆柱体内的分子都将与分子A碰撞球心在圆柱体内的分子一秒钟内:分子A经过路程为相应圆柱体体积为圆柱体内分子数一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数Adddvv第53页，课件共72页，创作于2023年2月一切分子都在运动一秒钟内分子A经过路程为一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数平均自由程与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比.当温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比.第54页，课件共72页，创作于2023年2月例

计算空气分子在标准状态下的平均自由程和平均碰撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知空气的平均分子量为29。解：已知空气摩尔质量为2910-3kg/mol空气分子在标准状态下的平均速率第55页，课件共72页，创作于2023年2月若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中气体分子在空间位置不再呈均匀分布三、玻耳兹曼能量分布定律粒子数按势能分布为势能等于零处的分子数密度第56页，课件共72页，创作于2023年2月按近代理论，粒子所具有的能量在有些情况下只能取一系列分立值E1

,E2

,…Ei,…EN

能级处于Ei状态的粒子数对于两个任意能级在正常状态下，粒子总是优先占据低能级状态。粒子数分布服从玻尔兹曼分布第57页，课件共72页，创作于2023年2月例

氢原子基态能级E1=-13.6eV，第一激发态能级E2=-3.4eV，求出在室温T=270C时原子处于第一激发态与基态的数目比。解：在室温下，氢原子几乎都处于基态。第58页，课件共72页，创作于2023年2月重力场中粒子按高度的分布由气体状态方程重力场中粒子按高度的分布规律等温气压公式式中p0为h=0处的大气压强，p为h处的大气压强，m是大气分子质量。第59页，课件共72页，创作于2023年2月大气密度和压强随高度增加按指数规律减小（高空空气稀薄，气压低）两边取对数测知地面和高空处的压强与温度，可估算所在高空离地面的高度。第60页，课件共72页，创作于2023年2月一、表面张力和表面能表面张力:

液体的表面如紧张的膜，有收缩成面积最小的趋势液体的表面层：6-4液体的表面现象分子作用球：10-9m的球形r0=10-10md=10-9m第61页，课件共72页，创作于2023年2月表面张力系数与液体表面能表面张力系数大小等于增加单位表面积时所增加的表面能。表面张力系数f=Lf

L第62页，课件共72页，创作于2023年2月不同的液体α值不同，密度小的、容易蒸发的液体的表面张力系数较小，同一种液体的α值随温度的升高而减小。第63页，课件共72页，创作于2023年2月二、曲面下的附加压强液体表面层相当于一个拉紧的膜。如果液面是水平的，则表面张力也是水平的。若液体表面是曲面，则表面张力有拉平液面的趋势液面内和液面外有一压强差，附加压强。第64页，课件共72页，创作于2023年2月凹面的一方压强大大小小液块边线所具有的总张力的向下分量为：附加压强作用于液块的向上的压力平衡时两部分力大小相等第65页，课件共72页，创作于2023年2月C点的压强pC比B点的压强pB高2α/R1，而B点的压强pB比A点的压强pA高2α/R2，液膜内外的压强差为4α/R小泡不断变小，而大泡却不断变大第66页，课件共72页，创作于2023年2月三、毛细现