线性控制系统的动态分析

线性控制系统的动态分析第1页，课件共32页，创作于2023年2月状态转移矩阵线性定常系统状态方程的求解线性时变连续系统状态方程的求解线性离散时间系统状态方程的求解第2页，课件共32页，创作于2023年2月

一、

状态转移矩阵1、状态转移矩阵的基本定义对于线性定常连续系统，当初时刻时，满足如下矩阵微分方程和初始条件：

解为线性定常连续系统的状态转移矩阵。特点：1）概念易于推广2）更好地刻画系统状态运动变化的规律

第3页，课件共32页，创作于2023年2月

2、状态转移矩阵的计算方法级数展开法

拉普拉斯变换法齐次状态方程两边取拉普拉斯变换：第4页，课件共32页，创作于2023年2月

得：

为初始时刻的初始状态。约当规范型法（1）方阵A的n个特征值互异，A可以对角化

第5页，课件共32页，创作于2023年2月

得：

P是由A的特征向量[]来构造（2）方阵A有n重特征值时，A不能变换为对角线标准型，只能使相似变换后的矩阵为约当标准型J，即

第6页，课件共32页，创作于2023年2月

为方阵A的重特征值，且

第7页，课件共32页，创作于2023年2月

则

赛尔维斯特内插法

1）凯莱-哈密顿定理A的特征方程：

凯莱-哈密顿定理指出，矩阵A满足其自身的特征方程，即

第8页，课件共32页，创作于2023年2月

2）最小多项式

定义nn维矩阵A的最小多项式为最小阶次的多项式即

使

则

最小多项式的求解步骤：

a.根据伴随矩阵，写出作为分解多项式的各元素。

b.确定各元素的最高公约式，选取的最高阶次系数为1，若不存在公约式，则

c.根据公式得到

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3）赛尔维斯特内插法

基本思想：化为A的有限项，然后通过求待定时间函数获得的方法。设A的最小多项式阶数为m，则通过求解行列式

（3-1）

得到。此外，也可采用如下等价方法：

将（3-1）按最后一行展开，得到：

（3-2）第10页，课件共32页，创作于2023年2月

通过求解下列方程组

可确定出，进而代入式（3-2）即可求得

二、线性定常系统状态方程的求解

1、线性定常系统齐次状态方程的解齐次状态方程是研究系统本身的自由运动，不考虑输入项。

齐次状态描述

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解得方程的解为：

将称为状态转移矩阵，并记为

当初始状态给定后，状态转移矩阵包含了自由运动的全部信息。2、线性定常系统非齐次状态方程的解

状态描述方程，即：

求解非齐次状态方程是为了研究输入作用下系统强迫运动的规律，下面介绍求解的几种方法：第12页，课件共32页，创作于2023年2月

1）直接求解法

将非齐次方程改写为：作如下变换：

积分两边左乘得：

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若则对应的初始状态方程的解为：

2）拉普拉斯变换法对式（3-3）求拉普拉斯变换，并移项整理

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利用卷积分公式有

3）状态方程解得意义线性定常系统有两部分叠加而成，它们分别是系统初始状态的初始运动和由输入引起的系统的强迫运动，其中强迫运动的值为输入函数与矩阵函数的卷积。通过选择适当的输入控制信号来达到期望的状态变化规律。第15页，课件共32页，创作于2023年2月三、线性时变连续系统状态方程的求解

严格地说，实际控制对象都是时变系统，其系统结构或参数随时间变化。由于时变系统的数学模型复杂，不易于分析，优化和控制，在实际工程准许的情况下，可将慢时变系统作定常系统处理。对高精度控制系统需作时变系统处理。

1、线性时变连续系统齐次状态方程的解时变齐次状态方程为：

式（3-4）的解为：表示了系统自由运动的特性，代表初始状态的转移，转移特性完全由决定。第16页，课件共32页，创作于2023年2月2、线性时变连续系统的状态转移矩阵1、状态转移矩阵的求解线性时变连续系统的状态转移矩阵是下列微分方程和初始条件的的解

对（3-6）在时间域内进行积分有：

第17页，课件共32页，创作于2023年2月将按式展开，这样继续迭代下去并将各展开式代入中：

时变系统矩阵与满足矩阵乘法的可交换条件时，状态转移矩阵可表示为第18页，课件共32页，创作于2023年2月

可交换的充分必要条件是：

3、线性时变连续系统非齐次状态方程的解

状态描述方程为：

该非齐次状态方程的解为

第19页，课件共32页，创作于2023年2月比较线性定常连续系统与线性时变连续系统状态方程的解的表示形式定常系统：时变系统：

1）解的结构和形式相同，都是零输入和零状态响应的线性叠加。

2）在为时不变时，时变系统的即为定常系统的。第20页，课件共32页，创作于2023年2月四、线性离散时间系统状态方程的求解

图3-1连续系统离散化的实现1、线性连续系统状态方程的离散化第21页，课件共32页，创作于2023年2月

线性连续系统的时间离散化问题的数学实质,就是在一定的采样方式保持方式下,由系统的连续状态空间模型来导出等价的离散状态空间模型。

1、线性定常连续系统的离散化

1）精确离散化连续系统的状态方程的求解公式如下:考虑在采样时刻和时刻之间的状态响应，,于是

第22页，课件共32页，创作于2023年2月

线性连续系统的时间离散化问题的数学实质,就是在一定的采样方式保持方式下,由系统的连续状态空间模型来导出等价的离散状态空间模型。

1、线性定常连续系统的离散化

1）精确离散化连续系统的状态方程的求解公式如下:考虑在采样时刻和时刻之间的状态响应，,于是

第23页，课件共32页，创作于2023年2月考虑到u(t)在采样周期内保持不变的假定,所以有

对上式作变量代换令,则上式可记为比较,可知两式对任意的和成立的条件为将上式与线性定常离散系统的状态方程第24页，课件共32页，创作于2023年2月

上式即为精确离散化的计算式。2）近似离散化

所谓线性定常连续系统状态方程的近似离散化方法是指在采样周期较小,且对离散化的精度要求不高的情况下,用状态变量的差商代替微商来求得近似的差分方程。当采样周期较小时，有

代入连续系统的状态方程，有

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与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比较，得近似离散化的计算公式：

将上述近似离散法和精确离散法比较知,由于I+AT和BT分别是eAT和eAtdtB的Taylor展开式中的一次近似,因此近似离散化方法其实是取精确离散化方法的相应计算式的一次Taylor近似展开式。一般说来,采样周期T越小,则离散化精度越高。考虑实际的误差等因素，T不宜过小。第26页，课件共32页，创作于2023年2月

2、线性时变连续系统的离散化线性时变连续系统状态空间