2022-2023学年河北省秦皇岛市皇后寨中学高三数学理测试题含解析

2022-2023学年河北省秦皇岛市皇后寨中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知复数z满足（1+i）z=1+3i（i是虚数单位），则z的共轭复数为（）A．1﹣i B．1+i C．2﹣i D．2+i参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：（1+i）z=1+3i（i是虚数单位），∴（1﹣i）（1+i）z=（1﹣i）（1+3i），化为2z=4+2i，∴z=2+i．则z的共轭复数为2﹣i．故选：C．2.已知函数,则在[0，2]上的零点个数为A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B在同一直角坐标系内画出函数的图像，如图，由图知函数在[0，2]上的零点个数为2.

3.一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为，则下列关系中正确的为参考答案：C略4.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．5 B．6 C． D．7参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=x+2y为y=﹣．由图可知，当直线y=﹣过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为．故选：C．5.若函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，分别是这段图象的最高点和最低点，且（为坐标原点），则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.已知随机变量服从正态分布，如果，则（

）A．0.3413

B．0.6826

C.0.1587

D．0.0794参考答案：A依题意得：，．选A．7.已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若；②若；③如果相交；④若其中正确的命题是（

）

A．①②

B．②③

C．③④

D．①④参考答案：D8.若抛物线上总存在两点关于直线对称，则实数a的取值范围（）

A、

B、

C、

D、参考答案：A9.执行如图的程序框图，则输出的值为（

）A．2

B．

C．

D．参考答案：A以4作为一个周期，所以，故选A10.已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围是(

) A．（0，12） B．（4，16） C．（9，21） D．（15，25）参考答案：A考点：分段函数的应用．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜4，8＜x4＜10，由此可得的取值范围．解答： 解：函数的图象如图所示，∵f（x1）=f（x2），∴﹣log2x1=log2x2，∴log2x1x2=0，∴x1x2=1，∵f（x3）=f（x4），∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10∴=x3x4﹣2（x3+x4）+4=x3x4﹣20，∵2＜x3＜4，8＜x4＜10∴的取值范围是（0，12）．故选：A．点评：本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为

．参考答案：总事件数为，目标事件：当第一颗骰子为1,2,4,6，具体事件有，共8种；当第一颗骰子为3,6，则第二颗骰子随便都可以，则有种；所以目标事件共20中，所以。

12.的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第2项为________．参考答案：13.若奇函数在上单调递减，则不等式的解集是

参考答案：略14.某科技小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（i）男学生人数多于女学生人数．（ii）女学生人数多余教师人数．（iii）教师人数的两倍多余男学生人数．①若教师人数为，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．参考答案： 设男学生，女学生，教师人数分别为，，．由题意，建立方程组．，【注意有文字】①当时，由方程组解出，故此时女学生最多有人．②设小组总人数为，∵由上述方程组可得，即最小为才能满足条件，此时，，故，即小组人数最少为人．15.已知x+y=2（x＞0，y＞0），则x2+y2+4的最大值为．参考答案：6【考点】基本不等式．【分析】利用配方法，结合二次函数的图象与性质，即可求出的最大值．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y=2，∴2≥2，∴0＜xy≤1，当且仅当x=y=1时取“=”；∴=（x+y）2﹣2xy+4=22﹣2+2=6﹣2≤6，即的最大值是6．故答案为：6．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是基础题目．16.从，,，，…,推广到第个等式为___________参考答案：…略17.设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，则实数m的取值范围是______

__.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

已知函数

(1)求函数的单调区间；

(2)过原点分别作曲线与的切线，已知两切线的斜率互为倒数，证明或；

(3)设，当时，h(x)≥1，求实数a的取值范围．参考答案：19.（本小题共14分）如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．（I）求证：平面平面；（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；（III）求与平面所成角的最大值．参考答案：解析：解法一：（I）由题意，，，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，，又，平面，又平面．平面平面．（II）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角．在中，，，．又．在中，．异面直线与所成角的大小为．（III）由（I）知，平面，是与平面所成的角，且．当最小时，最大，这时，，垂足为，，，与平面所成角的最大值为．解法二：（I）同解法一．（II）建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，，．异面直线与所成角的大小为．（III）同解法一20.设数列的前n项和为，若为常数，则称数列为“科比数列”。

（Ⅰ）等差数列的首项为1，公差不为零，若为“科比数列”，求的通项公式；

（Ⅱ）数列的各项都是正数，前n项和为，若对任意

都成立，试推断数列是否为“科比数列”？并说明理由。参考答案：解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，，因为，则，即．整理得．

因为对任意正整数上式恒成立，则，解得．

故数列的通项公式是．

（Ⅱ）由已知，当时，．因为，所以．当时，，．两式相减，得．因为，所以=．

显然适合上式，所以当时，．于是．因为，则，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．所以不为常数，故数列不是“科比数列”21.等比数列{}的前n项和为，已知对任意的

，点，均在函数且均为常数)的图像上.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（1）求r的值；

（2）当b=2时，记

求数列的前项和参考答案：解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,

当时,,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

当时,,又因为{}为等比数列,

所以,

………………6分（2）因为公比为,

所以

当b=2时，,

则

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

相减,得

=所以………………12分略22.已知数