广东省惠州市三乡中学2022-2023学年高三数学理下学期摸底试题含解析

广东省惠州市三乡中学2022-2023学年高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线C1：y2=4x和圆C2：（x﹣1）2+y2=1，直线l经过C1的焦点F，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则的值为（）A． B．1 C．2 D．4参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】当直线过焦点F且垂直于x轴时，|AD|=2p=4，|BC|=2r=2，由抛物线与圆的对称性知：|AB|=|CD|=1，所以|AB|?|CD|=1．【解答】解：由特殊化原则，当直线过焦点F且垂直于x轴时，|AD|=2p=4，|BC|=2r=2，由抛物线与圆的对称性知：|AB|=|CD|=1，所以=|AB|?|CD|=1；故选B．2.已知集合M={x|x2﹣3x﹣4≥0}，N={x|﹣3≤x＜3}，则M∩N=（） A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1，3） C．（﹣∞，﹣4] D．（﹣∞，﹣4]∪[1，﹣3）参考答案：A【考点】交集及其运算． 【专题】计算题；集合． 【分析】求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可． 【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）≥0， 解得：x≤﹣1或x≥4，即M=（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）， ∵N=[﹣3，3）， ∴M∩N=[﹣3，﹣1]， 故选：A． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 3.数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，，则S2017=（）A．22018﹣1 B．22018+1 C．22017﹣1 D．22017+1参考答案：C【考点】8H：数列递推式．【分析】由a1=1和，可知数列{an}唯一确定，并且a2=2，a3=4，a4=8，猜测，经验证是满足题意的唯一解．利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：由a1=1和，可知数列{an}唯一确定，并且a2=2，a3=4，a4=8，猜测，经验证是满足题意的唯一解．∴S2017==22017﹣1．故选：C．4.执行如图所示的程序框图，如果输入m=30，n=18，则输出的m的值为(

)A．0 B．6 C．12 D．18参考答案：B【考点】程序框图．【专题】运动思想；试验法；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：如果输入m=30，n=18，第一次执行循环体后，r=12，m=18，n=12，不满足输出条件；第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足输出条件；第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足输出条件；故输出的m值为6，故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是中档题．5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=55，则a3+a8=（）A．5 B． C．10 D．11参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式得到S10=5（a3+a8），由此能求出a3+a8的值．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S10=55，∴S10===5（a3+a8）=55，解得a3+a8=11．故选：D．6.设，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于、两点，且满足：，则该双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.在实数集R中定义一种运算“*”，对任意给定的a，b∈R，a*b为惟一确定的实数，且具有性质：①对任意a，b∈R，a*b＝b*a；②对任意a∈R，a*0＝a；③对任意a，b∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(c*b)－2c.关于函数f(x)＝(3x)*的性质，有如下说法：①函数f(x)的最小值为3；②函数f(x)为奇函数；③函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)．其中所有正确说法的个数为()A．0 B．1

C．2 D．3参考答案：B略8.已知,满足约束条件,若的最小值为,则（

） A． B． C． D．参考答案：B9.已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=（）A．3 B．2 C．5 D．参考答案：D【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】通过复数的相等求出a、b，然后求解复数的模．【解答】解：=1﹣bi，可得a=1+b+（1﹣b）i，因为a，b是实数，所以，解得a=2，b=1．所以|a﹣bi|=|2﹣i|==．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．10.设随机变量，且，则实数的值为(

)A．4

B．6

C．8

D．10参考答案：A由题意知二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）按如图的程序框图运行后，输出的S应为．参考答案：40【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i＞5，计算输出S的值．解：由程序框图知：第一次运行i=1，T=3×1﹣1=2，S=0+2=2，i=2，不满足条件i＞5，循环，第二次运行i=2，T=3×2﹣1=5，S=5+2=7，i=3，不满足条件i＞5，循环，第三次运行i=3，T=3×3﹣1=8，S=7+8=15，i=4，不满足条件i＞5，循环，第四次运行i=4，T=3×4﹣1=11，S=15+11=26，i=5，不满足条件i＞5，循环，第五次运行i=5，T=3×5﹣1=14，S=26+14=40，i=6，满足条件i＞5，程序终止，输出S=40．故答案是：40【点评】：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．比较基础．12.在等比数列{an}中，a1=，a4=-4，则公比q=______________；____________。参考答案：；本题考查了等比数列的概念以及等比数列的求和，难度中等．由，可得；因此，数列是首项为，公比为２的等比数列，所以．13.如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为、，则、的大小关系是_____________.(填，，之一)．参考答案：略14.设为实数，不等式组表示区域，若指数函数的图像上存在区域上的点，则实数的取值范围是

.参考答案：15.设Sn为等比数列{an}的前n项和，，则__________．参考答案：.【分析】设等比数列的公比为，由，解得，进而可求解的值，得到答案.【详解】由题意，设等比数列的公比为，由，即，解得，又由，即.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16.直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数.下列函数：①；②；③；④其中是一阶格点函数的有

（填上所有满足题意的序号）．参考答案：①②④17.已知函数的图像为曲线C，若曲线C存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是_______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知函数(1)求的最小正周期；

(2)当时,若求的值.

参考答案：解析：(1)

……2分

………………5分∴

…………7分(2)

由得，∵

∴，∴或……11分∴或…………………12分19.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其左、右焦点分别为、，短轴长为，点在椭圆上，且满足的周长为6．（1）求椭圆的方程；；（2）设过点的直线与椭圆相交于A、B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M使恒为定值？若存在求出该定值及点M的坐标，若不存在请说明理由．参考答案：解：（1）

所以椭圆的方程为（2）假设存在这样的定点，设，直线方程为则=联立

消去得令即

，当轴时，令,仍有所以存在这样的定点，使得

略20.（本小题满分10分）在三棱锥S—ABC中,底面是边长为2的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是BC的中点,侧棱SA和底面成45°角．(1)若D为侧棱SA上一点，当为何值时，BD⊥AC；(2)求二面角S—AC—B的余弦值大小．参考答案：以O点为原点,OC为x轴,OA为y轴,OS为z轴建立空间直角坐标系．因为是边长为的正三角形，又与底面所成角为，所以∠，所以．所以O(0,0,0)，C(,0,0)，A(0,3,0)，S(0,0,3)，B(－,0,0)．……2分（1）设AD=a，则D(0,3－a,a)，所以=(－,3－a,a)，=(,－3,0)．若BD⊥AC，则·=3－3(3－a)=0，解得a=2，而AS=3，所以SD=，所以．………5分(2)因为=(0,－3,3)，=(2,0,0)设平面ACS的法向量为n1=(x,y,z),则令z=1，则x=，y=1，所以n1=(,1,1)………7分而平面ABC的法向量为n2=(0,0,1),

………………8分所以cos<n1,n2>=，又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为.……………10分21.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象经过点（0，），且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（）﹣cosA=，且bc=1，b+c=3，求a的值．参考答案：【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）把已知点坐标代入求出φ的值，根据题意确定出周期，利用周期公式求出ω的值，即可确定出函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性确定出单调递增区间即可；（Ⅱ）由第一问确定出的解析式，表示出f（），代入已知等式求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入，变形后将bc与b+c的值代入即可求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）把（0，）代入解析式得：sinφ=，∵0＜φ＜，∴φ=，∵相邻两条对称轴间的距离为，∴函数的周期为π，即ω=2，∴函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（Ⅱ）由第一问得：f（）=sin（A+），代入得：sin（A+）﹣cosA=sinA+cosA﹣cosA=sinA﹣cosA=sin（A﹣）=，∴A﹣=或，即A=或A=π（舍去），∵bc=1，b+c=3，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=9﹣3=6，则a=．【点评】此题考查了余弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．22.（本小题满分14分）若函数h(x)满足（1）h(0)=1，h(1)=0；（2）对任意，有h(h(a))=a；（3）在（0,1）上单调递减。则称h(x)为补函数。已知函数（1）判函数h(x)是否为补函数，