福建省宁德市福鼎民族中学2022年高三数学理月考试题含解析

福建省宁德市福鼎民族中学2022年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义在区间上的函数f(x)的图象如右下图所示，记以,,为顶点的三角形的面积为，则函数的导函数的图象大致是参考答案：D略2.已知二次函数，且，均有恒成立，则实数的取值范围为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略3.若函数在上是减函数，则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：D略4.已知，，则复数的模等于

A、

B、

C、

D、参考答案：D5.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数，给出下列结论，其中正确的个数是(

)①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：D【分析】根据和确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测2019年公共图书馆业机构数.【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；由回归方程，当时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确.故选：D.【点睛】回归直线方程中的的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数决定了相关性的强弱，越接近相关性越强.6.已知函数的定义域为，且为的导函数，函数的图象如图所示，则不等式组所表示的平面区域的面积是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A由导函数的图象可得的单调增区间为，单调减区间为。又可得，则不等式组所表示的可行域如图所示，其面积为，故应选A。本题考查了不等式组所表示的平面区域及导数的应用，此题是一道图象信息题，合理通过图象信息捕捉其本质特征，可以简化推理过程。7.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（

）A.B.

C.

D.参考答案：B【知识点】导数的应用.B12

解析：f（x）=xlnx-ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．

令g（x）=lnx+1-2ax，

∵函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．

g′（x）=，当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．

当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=．

令g′（x）＞0，解得0＜x＜，此时函数g（x）单调递增；

令g′（x）＜0，解得x＞，此时函数g（x）单调递减．

∴当x=时，函数g（x）取得极大值．

当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→-∞，

要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g()=ln＞0，解得0＜a＜．

∴实数a的取值范围是(0，)．【思路点拨】f（x）=xlnx-ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．令g（x）=lnx+1-2ax，由于函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点?g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x）=-2a=．当a≤0时，直接验证；当a＞0时，利用导数研究函数g（x）的单调性可得：当x=时，函数g（x）取得极大值，故要使g（x）有两个不同解，只需要g()=ln＞0，解得即可8.已知，，则A∪B=（

）A.(－1,0) B.(0,1) C.(－1,+∞) D.(－∞,1)参考答案：D【分析】利用并集的定义可求得集合.【详解】，，因此，.故选：D.【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.9.右图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是

(

)A．

B．C．

D．参考答案：A略10.在中，，则角等于 ()．A．

B．或

C．

D．或参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于两个图形，我们将图形上的任意一点与图形上的任意一点间的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离.若两个函数图像的距离小于1，陈这两个函数互为“可及函数”.给出下列几对函数，其中互为“可及函数”的是_________.（写出所有正确命题的编号）①；

②，；③，；

④，；⑤，.参考答案：②④12.设不等式组所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为,向内随机投一个点,则该点落在内的概率为

参考答案：

13.若对于恒成立，则实数的取值范围是_______________.参考答案：考点：函数恒成立问题.【易错点睛】将不等式转化为，令，通过求导得到，从而，解出即可.本题考查了不等式的恒成立问题，考查了转化思想，是一道中档题.恒成立问题是高考的热点也是一个难点，它常常和导数和不等式联系到一起，此类题需要仔细认真.14.对于函数和，下列说法正确的是

.（1）函数的图像关于直线对称；（2）的图像关于直线对称；（3）两函数的图像一共有10个交点；（4）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于30；（5）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于24.参考答案：（2）（3）（4）15.如图，一不规则区域内，有一边长为米的正方形，向区域内随机地撒颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为

平方米.（用分数作答）参考答案：16.已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（-3，4），则sin（）=

▲

．参考答案：17.已知抛物线上一点到其焦点的距离为，的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线平行，则实数等于

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分12分)在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设.

（1）求的值；

（2）设是上的任意一点，求到平面的距离.参考答案：（1），就是异面直线与所成的角，即，

又连接，，则为等边三角形，

由，，。（2）易知平面，又是上的任意一点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离。设其为，连接，则由三棱锥的体积等于三棱锥的体积，求，的面积，的面积，所以，即到平面的距离等于。19.（本小题满分12分）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若对，都有，求的取值范围。参考答案：解：(1)，令得当时，在和上递增，在上递减；当时，在和上递减，在上递增(2)当时，；所以不可能对，都有；当时有（1）知在上的最大值为，所以对，都有即，故对，都有时，的取值范围为。略20.（本小题满分14分）已知数列满足（)，其中为数列的前n项和．(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)若数列满足：()，求的前n项和公式.参考答案：(Ⅰ)∵Sn＝1－an，①∴Sn＋1＝1－an＋1，②---------------2分②－①得，an＋1＝－an＋1＋an，∴an＋1＝an(n∈N＋)．--------------3分又n＝1时，a1＝1－a1，∴a1＝.∴an＝·()n－1＝()n，n∈N＋.---------------5分(2)∵bn＝＝n·2n(n∈N＋)，---------------6分∴Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.③∴2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1.④---------------8分③－④得，－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1，整理得，Tn＝(n－1)2n＋1＋2，n∈N＋.---------------13分21.（满分14分）已知函数（、、为正常数）最小正周期为，当时，取最小值-4.

⑴求、的值；⑵若函数在区间上存在零点，求的最小值.参考答案：⑴易得w=4，………2分由………………7分⑵令，得.............9分由题意得

………12分∴…………14分22.如图，椭圆C1：+y2=1，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．（1）求实数b的值；（2）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA、MB分别与C1相交于D、E．①证明：?=0；②记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．若=λ，求λ的取值范围．参考答案：【考点】圆锥曲线的综合．【分析】（1）确定半长轴为2，利用x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长，可求b的值；（2）①设直线的方程与抛物线方程联立，利用点M的坐标为（0，﹣1），可得kMAkMB=﹣1，从而得证；②设直线的斜率为k1，则直线的方程为y=k1x﹣1，代入抛物线方程可得x2=k1x，从而可得点A的坐标、点B的坐标，进而可得S1，同理可得S2，进而可得比值，由此可得λ的取值范围．【解答】（1）解：由题意知：半长轴为2，则有2=2

…（3分）∴b=1

…（4分）（2）①证明：由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线的方程为y=kx．与抛物线方程联立，消去y可得x2﹣kx﹣1=0，…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k，x1x2=﹣1．…（7分）又点M的坐标为（0，﹣1），所以kMAkMB=×==﹣1…（9分）故MA⊥MB，即MD⊥ME，故

…（10分）②设直线的斜率为k1，则直线的方程为y=k1x﹣1，代入抛物线方程可得x2=k1x，解得x=0或x=k1，则点A的坐标为（k1，）…（