2023年初中升学考试数学专题复习试题分类汇编之十四 最值类题

2023年中考数学试题分类汇编之十四最值类题选择题10．（2023成都）（3分）关于二次函数，下列说法正确的是A．图象的对称轴在轴的右侧 B．图象与轴的交点坐标为 C．图象与轴的交点坐标为和 D．的最小值为【解答】解：二次函数，该函数的对称轴是直线，在轴的左侧，故选项错误；当时，，即该函数与轴交于点，故选项错误；当时，或，即图象与轴的交点坐标为和，故选项错误；当时，该函数取得最小值，故选项正确；故选：．9.（2023贵阳）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（）A.无法确定 B. C.1 D.2【答案】C【详解】解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，∵∠C=90°，∴当GP⊥AB时，GP=CG=1，故答案为：C．12．（3分）（2023•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（）A．25 B．210 C．62 D．35解：设C（m，0），∵CD＝2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴AC+BD=m∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，（PM+PN=m如图1中，作点M关于原点O的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）P′M+P′N的最小值＝P′N+P′M＝P′N+P′Q＝NQ=22+∴AC+BD的最小值为210．故选：B．12．（2023山东泰安）（4分）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．2+1 B．2+12 C．22【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B的圆上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=12当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝22，∴CD＝22+∴OM=12CD=2+1故选：B．填空题25．（2023成都）（4分）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为，线段长度的最小值为．【解答】解：连接交于，连接，取的中点，连接，，过点作于．四边形是矩形，，，四边形是矩形，，，，，，，，，当点与重合时，的值最大，此时，，，，，，，，，，，，，，，的最小值为，故答案为，．15（2023河南）.如图，在扇形中，平分交狐于点．点为半径上一动点若，则阴影部分周长的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】如图，先作扇形关于对称的扇形连接交于，再分别求解的长即可得到答案．【详解】解：最短，则最短，如图，作扇形关于对称的扇形连接交于，则此时点满足最短，平分而的长为：最短为故答案为：17.（2023四川绵阳）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=BC=CD=4,点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90°，则点M到直线BC的距离的最小值为。答案：【解析】解：∵四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=BC=CD=4，∴∠DAC=∠ABC=60°∠DAC=∠CAB=30°，∴∠ACB=90°。当M在AC上时，M到AC的距离最小。如图：AC=,在RT△AMD中，AM=AD=4×=2.∴CM=AC-AM=-2=.故填：。18.（2023无锡）如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，，相交于点，则面积最大值为__________．解：如图1，作DG∥AC，交BE于点G，∴，∵,∴∵∴∴∵AB=4，∴∴若面积最大，则面积最大，如图2，当点△ABC为等腰直角三角形时，面积最大，为，∴面积最大值为+故答案为：15．（2023新疆生产建设兵团）（5分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为6．【分析】作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，依据A与A'关于BC对称，可得AD＝A'D，进而得出AD+DE＝A'D+DE，当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，依据AD+DE的最小值为3，即可得到2AD+CD的最小值为6．【解答】解：如图所示，作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH=3，AA'＝23，∠C∴Rt△CDE中，DE=12CD，即2DE＝∵A与A'关于BC对称，∴AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE，∴当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，此时，Rt△AA'E中，A'E＝sin60°×AA'=32×∴AD+DE的最小值为3，即2AD+CD的最小值为6，故答案为：6．18．（2023黑龙江龙东）（3分）如图，在边长为4的正方形中，将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为．【解答】解：如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，，．四边形是正方形，，，，，，，关于对称，，，，，，，共线，，，，四边形是平行四边形，，，，，的最小值为．16．（2023江苏连云港）（3分）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为2．解：如图，连接，取的中点，连接，过点作于．，，，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的，设交于．直线与轴、轴分别交于点、，，，，，，，，，，，，当点与重合时，△的面积最小，最小值，故答案为2．18．（3分）（2023•徐州）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为92+9【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，∵弦AB已确定，∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，∵CM⊥AB，CM过O，∴AM＝BM（垂径定理），∴AC＝BC，∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴OM＝AM=12AB∴OA=OM2∴CM＝OC+OM＝32+∴S△ABC=12AB•CM=12×故答案为：92+解答题22．（2023安徽）（12分）在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点．（1）判断点是否在直线上，并说明理由；（2）求，的值；（3）平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．【解答】解：（1）点是在直线上，理由如下：直线经过点，，解得，直线为，把代入得，点在直线上；（2）直线与抛物线都经过点，且、两点的横坐标相同，抛物线只能经过、两点，把，代入得，解得，；（3）由（2）知，抛物线为，设平移后的抛物线为，其顶点坐标为，，顶点仍在直线上，，，抛物线与轴的交点的纵坐标为，，当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为．28．（2023成都）（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为．将代入得：，解得，抛物线的解析式为，即．（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，，，，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，，，，设，则，．．当时，有最大值，最大值是．（3）符合条件的点的坐标为或．，直线的解析式为，设，①当点在直线右侧时，如图2，过点作轴于点，过点作直线于点，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，将点的坐标代入抛物线的解析式得，解得（舍去）或．．②当点在直线左侧时，由①的方法同理可得点的坐标为，．此时点的坐标为．25.（2023福建）已知直线交轴于点，交轴于点，二次函数的图象过两点，交轴于另一点，，且对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线，求证：当时，；（3）为线段上不与端点重合的点，直线过点且交直线于点，求与面积之和的最小值．【答案】（1）；（2）详见解析；（3）的最小值为．【解析】【分析】（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，B两点的坐标，再根据BC=4，得出点C的坐标，最后利用待定系数法可求二次函数的表达式；（2）利用反证法证明即可；（3）先求出q的值，利用，得出，设，然后用含t的式子表示出的面积，再利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：（1）对于，当时，，所以；当时，，，所以，又因为，所以或，若抛物线过，则当时，随的增大而减少，不符合题意，舍去．若抛物线过，则当时，必有随的增大而增大，符合题意．故可设二次函数的表达式为，依题意，二次函数的图象过，两点，所以，解得所求二次函数的表达式为．（2）当时，直线与直线不重合，假设和不平行，则和必相交，设交点为，由得，解得，与已知矛盾，所以与不相交，所以．（3）如图，因为直线过，所以，又因为直线，所以，即，所以，，所以，所以，设，则，，所以，所以所以当时，的最小值为．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知识，注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想的运用．25．(2023天津)已知点是抛物线（，，为常数，，）与轴的一个交点．（I）当，时，求该抛物线的顶点坐标；（II）若抛物线与轴的另一个交点为，与轴的交点为，过点作直线平行于轴，是直线上的动点，是轴上的动点，．①当点落在抛物线上（不与点重合），且时，求点的坐标；②取的中点，当为何值时，的最小值是？解：（1）当，时，抛物线的解析式为．抛物线经过点，．解得．抛物线的解析式为．，抛物线的顶点坐标为．（II）①抛物线经过点和，，，，．抛物线的解析式为．根据题意，得点，点．过点作于点由点，得点．在中，，，．，．解得．此时，点，点，有．点在轴上，在中，点的坐标为或．②由是的中点，得根据题意，点在以点为圆心、为半径的圆上．由点，点，得，在中，．当，即时，满足条件的点落在线段上，的最小值为，解得；当，即时，满足条件的点落在线段的延长线上，的最小值为，解得当的值为或时，的最小值是26.（2023乐山）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；②连结，求的最小值．【答案】（1）；（2）①；②．【分析】（1）先利用函数图象与x轴交点求出D点坐标，再由求出C点坐标，用待定系数法设交点式，将C点坐标代入即可求解；（2）①先求出BC的解析式，设E坐标为，则F点坐标为，进而用t表示出的面积，由二次函数性质即可求出最大值；②过点作于，由可得，由此可知当BPH三点共线时的值最小，即过点作于点，线段的长就是的最小值，根据面积法求高即可．【详解】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：，∵是抛物线的对称轴，∴，又∵，∴，即，代入抛物线的解析式，得，解得，∴二次函数的解析式为或；（2）①设直线的解析式为，∴解得即直线的解析式为，设E坐标为，则F点坐标为，∴，∴的面积∴，∴当时，的面积最大，且最大值为；②如图，连接，根据图形的对称性可知，，∴，过点作于，则在中，，∴，再过点作于点，则，∴线段的长就是的最小值，∵，又∵，∴，即，∴的最小值为．25.（2023重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）面积最大值为；（3）存在，解：（1）∵抛物线过，∴∴∴（2）设，将点代入∴过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F设点，则由铅垂定理可得∴面积最大值为（3）（3）抛物线的表达式为：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5，则平移后的抛物线表达式为：y＝x2−5，联立上述两式并解得：，故点C（−1，−4）；设点D（−2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）；①当BC为菱形的边时，点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），即−2＋1＝s且m＋3＝t①或−2−1＝s且m−3＝t②，当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，联立①③并解得：s＝−1，t＝2或−4（舍去−4），故点E（−1，2）；联立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故点E（-3，-4＋）或（-3，-4−）；②当BC为菱形的的对角线时，则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m＋t⑤，此时，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝−3，故点E（1，−3），综上，点E的坐标为：（−1，2）或或或（1，−3）．∴存在，26.（2023重庆A卷）如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）解：（1）证明如下：∵，∴，∵，，∴在和中，∴，∴，∴，在中，F为DE中点（同时），，∴，即为等腰直角三角形，∴，∵，∴；（2）由（1）得，，，∴，在中，，∵F为DE中点，∴，在四边形ADCE中，有，，∴点A，D，C，E四点共圆，∵F为DE中点，∴F为圆心，则，在中，∵，∴F为CG中点，即，∴，即；（3）设点P存在，由费马定理可得，∴，设PD，∴，又，∴，又∴．25.（2023重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，且A点坐标为(−2,0)，直线BC的解析式为（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD//BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC.求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；（3）将抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)向左平移2个单位，已知点M为抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点.在(2)中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.提示：（1）易得B(32,0)，C(0,2)，又A(−2,所以易求抛物线的解析式为y=−1（2）易求AD的解析式为y=−23x−23，进而D(42,−103).CD的解析式为：y=−223x+2.则CD与x轴的交点F为(322,0).所以易求△BCD当x=322时，四边形BECD面积最大，其最大值为2524，此时E(3（3）存在.N的坐标为(−322，76)，或(−22，5注：抛物线y=−13x2+223x+2的顶点是(2，0)，设M(2，m)，N(xn，yn)，又A(−2,根据平行四边形对角线互相平分及中点公式.分类：①当AM为对角线时，则xn解得xn=−322，代入解析式得yn所以N(−322对角线交点坐标为(0,116)，M坐标为(2,113②当AE为对角线时，则xn解得xn=−22，代入解析式得yn=所以N(−22，对角线交点坐标为(24,54)，M坐标为(2,0③当AN为对角线时，则xn解得xn=722，代入解析式得yn=所以N(722，−11对角线交点坐标为(524,−114)，M坐标为(26.（2023重庆B卷）△ABC为等边三角形，AB=8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE=23.以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN.当30°<α<120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积.提示：（1）易得∠CGE=90°，NG=12CE，CD=4，DE=23.答案：NG=（2）∠DNM的为定值120°.连CF，BE，BE交AC于H，DN交AC于G，如图.易得：BE∥DN，MN∥CF，△ABE≌△ACF.因此∠DGC=∠BHC，∠ENM=∠ECF，∠ABE=∠ACF又∠BHC=∠ABE+∠BAH=∠ABE+60°∴∠DGC=∠ABE+60°=∠ACF+60°又∠DGC=∠DNC+∠GCN=∠DNC+∠ACF-∠ECF∴∠DNC=60°+∠ECF=60°+∠ENM∴∠DGE=180°-∠DNC=120°-∠ENM∴∠DNM=∠DNE+∠ENM=120°.（3）△AND的面积为7如图，取AC中点P，因为BP+PN≥BN，所以当B、P、N在一直线上，BN最大.易得BN=BP+PN=BP+12AE=设BP与AD交于O，NQ⊥AD于Q，如图.易得BO=23BP=833，ON=733，BD=4，△ONQ∽△OBD∴△AND的面积为：12×AD×NQ=726．（8分）（2023•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y=mx（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△DPQ面积的最大值．【解答】解：（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，b=−42k+b=0，解得，k=2∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，∴点C（3，2），∵点C在反比例函数的图象上，∴k＝3×2＝6，∴反比例函数的关系式为y=6答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y=6（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，∴点P（n，6n），点Q（n，2n∴PQ=6n−∴S△PDQ=12n[6n−（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（∴当n＝1时，S最大＝4，答：△DPQ面积的最大值是4．25．（13分）（2023•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x=12，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），则x=12=12（2t故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，∵﹣1＜0，故DF有最大值，此时m＝1，点D（1，2）；（3）存在，理由：点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OD＝m，DE＝﹣m2+m+2，以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则DEOE=OBOC或OCOB，即DE解得：m＝1或﹣2（舍去）或1+334或故m＝1或1+3324．（2023山东滨州）（13分）某水果商店销售一种进价为40元千克的优质水果，若售价为50元千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当售价为55元千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？【解答】解：（1）当售价为55元千克时，每月销售水果千克；（2）设每千克水果售价为元，由题意可得：，解得：，，答：每千克水果售价为65元或75元；（3）设每千克水果售价为元，获得的月利润为元，由题意可得：，当时，有最大值为9000元，答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．26．（2023山东滨州）（14分）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，点为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线是过点且垂直于轴的定直线，若抛物线上的任意一点到直线的距离为，求证：；（3）已知坐标平面内的点，请在抛物线上找一点，使的周长最小，并求此时周长的最小值及点的坐标．【解答】（1）解：由题意抛物线的顶点，可以假设抛物线的解析式为，抛物线经过，，，抛物线的解析式为．（2）证明：，，，，，，，，，．（3）如图，过点作直线于，过点作直线于．的周长，是定值，的值最小时，的周长最小，，，根据垂线段最短可知，当，，共线时，的值最小，此时点与重合，点在线段上，的最小值为6，的周长的最小值为，此时．24．（2023•怀化）如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标．（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0