2023年初中升学考试数学专题复习试题分类汇编之十四 最值类题_第1页
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2023年中考数学试题分类汇编之十四最值类题选择题10.(2023成都)(3分)关于二次函数,下列说法正确的是A.图象的对称轴在轴的右侧 B.图象与轴的交点坐标为 C.图象与轴的交点坐标为和 D.的最小值为【解答】解:二次函数,该函数的对称轴是直线,在轴的左侧,故选项错误;当时,,即该函数与轴交于点,故选项错误;当时,或,即图象与轴的交点坐标为和,故选项错误;当时,该函数取得最小值,故选项正确;故选:.9.(2023贵阳)如图,中,,利用尺规在,上分别截取,,使;分别以,为圆心、以大于为长的半径作弧,两弧在内交于点;作射线交于点,若,为上一动点,则的最小值为()A.无法确定 B. C.1 D.2【答案】C【详解】解:由题意可知,当GP⊥AB时,GP的值最小,根据尺规作图的方法可知,GB是∠ABC的角平分线,∵∠C=90°,∴当GP⊥AB时,GP=CG=1,故答案为:C.12.(3分)(2023•荆门)在平面直角坐标系中,长为2的线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动,A(0,2),B(0,4),连接AC,BD,则AC+BD的最小值为()A.25 B.210 C.62 D.35解:设C(m,0),∵CD=2,∴D(m+2,0),∵A(0,2),B(0,4),∴AC+BD=m∴要求AC+BD的最小值,相当于在x轴上找一点P(m,0),使得点P到M(0,2)和N(﹣2,4)的距离和最小,(PM+PN=m如图1中,作点M关于原点O的对称点Q,连接NQ交x轴于P′,连接MP′,此时P′M+P′N的值最小,∵N(﹣2,4),Q(0,﹣2)P′M+P′N的最小值=P′N+P′M=P′N+P′Q=NQ=22+∴AC+BD的最小值为210.故选:B.12.(2023山东泰安)(4分)如图,点A,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为坐标平面内一点,BC=1,点M为线段AC的中点,连接OM,则OM的最大值为()A.2+1 B.2+12 C.22【解答】解:如图,∵点C为坐标平面内一点,BC=1,∴C在⊙B的圆上,且半径为1,取OD=OA=2,连接CD,∵AM=CM,OD=OA,∴OM是△ACD的中位线,∴OM=12当OM最大时,即CD最大,而D,B,C三点共线时,当C在DB的延长线上时,OM最大,∵OB=OD=2,∠BOD=90°,∴BD=22,∴CD=22+∴OM=12CD=2+1故选:B.填空题25.(2023成都)(4分)如图,在矩形中,,,,分别为,边的中点.动点从点出发沿向点运动,同时,动点从点出发沿向点运动,连接,过点作于点,连接.若点的速度是点的速度的2倍,在点从点运动至点的过程中,线段长度的最大值为,线段长度的最小值为.【解答】解:连接交于,连接,取的中点,连接,,过点作于.四边形是矩形,,,四边形是矩形,,,,,,,,,当点与重合时,的值最大,此时,,,,,,,,,,,,,,,的最小值为,故答案为,.15(2023河南).如图,在扇形中,平分交狐于点.点为半径上一动点若,则阴影部分周长的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】如图,先作扇形关于对称的扇形连接交于,再分别求解的长即可得到答案.【详解】解:最短,则最短,如图,作扇形关于对称的扇形连接交于,则此时点满足最短,平分而的长为:最短为故答案为:17.(2023四川绵阳)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=60°,AD=BC=CD=4,点M是四边形ABCD内的一个动点,满足∠AMD=90°,则点M到直线BC的距离的最小值为。答案:【解析】解:∵四边形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=60°,AD=BC=CD=4,∴∠DAC=∠ABC=60°∠DAC=∠CAB=30°,∴∠ACB=90°。当M在AC上时,M到AC的距离最小。如图:AC=,在RT△AMD中,AM=AD=4×=2.∴CM=AC-AM=-2=.故填:。18.(2023无锡)如图,在中,,,点,分别在边,上,且,连接,,相交于点,则面积最大值为__________.解:如图1,作DG∥AC,交BE于点G,∴,∵,∴∵∴∴∵AB=4,∴∴若面积最大,则面积最大,如图2,当点△ABC为等腰直角三角形时,面积最大,为,∴面积最大值为+故答案为:15.(2023新疆生产建设兵团)(5分)如图,在△ABC中,∠A=90°,∠B=60°,AB=2,若D是BC边上的动点,则2AD+DC的最小值为6.【分析】作点A关于BC的对称点A',连接AA',A'D,过D作DE⊥AC于E,依据A与A'关于BC对称,可得AD=A'D,进而得出AD+DE=A'D+DE,当A',D,E在同一直线上时,AD+DE的最小值等于A'E的长,依据AD+DE的最小值为3,即可得到2AD+CD的最小值为6.【解答】解:如图所示,作点A关于BC的对称点A',连接AA',A'D,过D作DE⊥AC于E,∵△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=2,∴BH=1,AH=3,AA'=23,∠C∴Rt△CDE中,DE=12CD,即2DE=∵A与A'关于BC对称,∴AD=A'D,∴AD+DE=A'D+DE,∴当A',D,E在同一直线上时,AD+DE的最小值等于A'E的长,此时,Rt△AA'E中,A'E=sin60°×AA'=32×∴AD+DE的最小值为3,即2AD+CD的最小值为6,故答案为:6.18.(2023黑龙江龙东)(3分)如图,在边长为4的正方形中,将沿射线平移,得到,连接、.求的最小值为.【解答】解:如图,连接,作点关于直线的对称点,连接,,.四边形是正方形,,,,,,,关于对称,,,,,,,共线,,,,四边形是平行四边形,,,,,的最小值为.16.(2023江苏连云港)(3分)如图,在平面直角坐标系中,半径为2的与轴的正半轴交于点,点是上一动点,点为弦的中点,直线与轴、轴分别交于点、,则面积的最小值为2.解:如图,连接,取的中点,连接,过点作于.,,,点的运动轨迹是以为圆心,1为半径的,设交于.直线与轴、轴分别交于点、,,,,,,,,,,,,当点与重合时,△的面积最小,最小值,故答案为2.18.(3分)(2023•徐州)在△ABC中,若AB=6,∠ACB=45°.则△ABC的面积的最大值为92+9【解答】解:作△ABC的外接圆⊙O,过C作CM⊥AB于M,∵弦AB已确定,∴要使△ABC的面积最大,只要CM取最大值即可,如图所示,当CM过圆心O时,CM最大,∵CM⊥AB,CM过O,∴AM=BM(垂径定理),∴AC=BC,∵∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°,∴OM=AM=12AB∴OA=OM2∴CM=OC+OM=32+∴S△ABC=12AB•CM=12×故答案为:92+解答题22.(2023安徽)(12分)在平面直角坐标系中,已知点,,,直线经过点,抛物线恰好经过,,三点中的两点.(1)判断点是否在直线上,并说明理由;(2)求,的值;(3)平移抛物线,使其顶点仍在直线上,求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值.【解答】解:(1)点是在直线上,理由如下:直线经过点,,解得,直线为,把代入得,点在直线上;(2)直线与抛物线都经过点,且、两点的横坐标相同,抛物线只能经过、两点,把,代入得,解得,;(3)由(2)知,抛物线为,设平移后的抛物线为,其顶点坐标为,,顶点仍在直线上,,,抛物线与轴的交点的纵坐标为,,当时,平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为.28.(2023成都)(12分)在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于,两点,与轴交于点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,点为第四象限抛物线上一点,连接,交于点,连接,记的面积为,的面积为,求的最大值;(3)如图2,连接,,过点作直线,点,分别为直线和抛物线上的点.试探究:在第一象限是否存在这样的点,,使.若存在,请求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)设抛物线的解析式为.将代入得:,解得,抛物线的解析式为,即.(2)过点作轴于点,交于点,过点作轴交的延长线于点,,,,,设直线的解析式为,,解得,直线的解析式为,,,,设,则,..当时,有最大值,最大值是.(3)符合条件的点的坐标为或.,直线的解析式为,设,①当点在直线右侧时,如图2,过点作轴于点,过点作直线于点,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,将点的坐标代入抛物线的解析式得,解得(舍去)或..②当点在直线左侧时,由①的方法同理可得点的坐标为,.此时点的坐标为.25.(2023福建)已知直线交轴于点,交轴于点,二次函数的图象过两点,交轴于另一点,,且对于该二次函数图象上的任意两点,,当时,总有.(1)求二次函数的表达式;(2)若直线,求证:当时,;(3)为线段上不与端点重合的点,直线过点且交直线于点,求与面积之和的最小值.【答案】(1);(2)详见解析;(3)的最小值为.【解析】【分析】(1)先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A,B两点的坐标,再根据BC=4,得出点C的坐标,最后利用待定系数法可求二次函数的表达式;(2)利用反证法证明即可;(3)先求出q的值,利用,得出,设,然后用含t的式子表示出的面积,再利用二次函数的性质求解即可.【详解】解:(1)对于,当时,,所以;当时,,,所以,又因为,所以或,若抛物线过,则当时,随的增大而减少,不符合题意,舍去.若抛物线过,则当时,必有随的增大而增大,符合题意.故可设二次函数的表达式为,依题意,二次函数的图象过,两点,所以,解得所求二次函数的表达式为.(2)当时,直线与直线不重合,假设和不平行,则和必相交,设交点为,由得,解得,与已知矛盾,所以与不相交,所以.(3)如图,因为直线过,所以,又因为直线,所以,即,所以,,所以,所以,设,则,,所以,所以所以当时,的最小值为.【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知识,注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想的运用.25.(2023天津)已知点是抛物线(,,为常数,,)与轴的一个交点.(I)当,时,求该抛物线的顶点坐标;(II)若抛物线与轴的另一个交点为,与轴的交点为,过点作直线平行于轴,是直线上的动点,是轴上的动点,.①当点落在抛物线上(不与点重合),且时,求点的坐标;②取的中点,当为何值时,的最小值是?解:(1)当,时,抛物线的解析式为.抛物线经过点,.解得.抛物线的解析式为.,抛物线的顶点坐标为.(II)①抛物线经过点和,,,,.抛物线的解析式为.根据题意,得点,点.过点作于点由点,得点.在中,,,.,.解得.此时,点,点,有.点在轴上,在中,点的坐标为或.②由是的中点,得根据题意,点在以点为圆心、为半径的圆上.由点,点,得,在中,.当,即时,满足条件的点落在线段上,的最小值为,解得;当,即时,满足条件的点落在线段的延长线上,的最小值为,解得当的值为或时,的最小值是26.(2023乐山)已知抛物线与轴交于,两点,为抛物线的顶点,抛物线的对称轴交轴于点,连结,且,如图所示.(1)求抛物线的解析式;(2)设是抛物线的对称轴上的一个动点.①过点作轴的平行线交线段于点,过点作交抛物线于点,连结、,求的面积的最大值;②连结,求的最小值.【答案】(1);(2)①;②.【分析】(1)先利用函数图象与x轴交点求出D点坐标,再由求出C点坐标,用待定系数法设交点式,将C点坐标代入即可求解;(2)①先求出BC的解析式,设E坐标为,则F点坐标为,进而用t表示出的面积,由二次函数性质即可求出最大值;②过点作于,由可得,由此可知当BPH三点共线时的值最小,即过点作于点,线段的长就是的最小值,根据面积法求高即可.【详解】解:(1)根据题意,可设抛物线的解析式为:,∵是抛物线的对称轴,∴,又∵,∴,即,代入抛物线的解析式,得,解得,∴二次函数的解析式为或;(2)①设直线的解析式为,∴解得即直线的解析式为,设E坐标为,则F点坐标为,∴,∴的面积∴,∴当时,的面积最大,且最大值为;②如图,连接,根据图形的对称性可知,,∴,过点作于,则在中,,∴,再过点作于点,则,∴线段的长就是的最小值,∵,又∵,∴,即,∴的最小值为.25.(2023重庆A卷)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与直线AB相交于A,B两点,其中,.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点,连接PA,PB,求面积的最大值;(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线,平移后的抛物线与原抛物线相交于点C,点D为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点E,使以点B,C,D,E为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)面积最大值为;(3)存在,解:(1)∵抛物线过,∴∴∴(2)设,将点代入∴过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F设点,则由铅垂定理可得∴面积最大值为(3)(3)抛物线的表达式为:y=x2+4x−1=(x+2)2−5,则平移后的抛物线表达式为:y=x2−5,联立上述两式并解得:,故点C(−1,−4);设点D(−2,m)、点E(s,t),而点B、C的坐标分别为(0,−1)、(−1,−4);①当BC为菱形的边时,点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B,同样D(E)向右平移1个单位向上平移3个单位得到E(D),即−2+1=s且m+3=t①或−2−1=s且m−3=t②,当点D在E的下方时,则BE=BC,即s2+(t+1)2=12+32③,当点D在E的上方时,则BD=BC,即22+(m+1)2=12+32④,联立①③并解得:s=−1,t=2或−4(舍去−4),故点E(−1,2);联立②④并解得:s=-3,t=-4±,故点E(-3,-4+)或(-3,-4−);②当BC为菱形的的对角线时,则由中点公式得:−1=s−2且−4−1=m+t⑤,此时,BD=BE,即22+(m+1)2=s2+(t+1)2⑥,联立⑤⑥并解得:s=1,t=−3,故点E(1,−3),综上,点E的坐标为:(−1,2)或或或(1,−3).∴存在,26.(2023重庆A卷)如图,在中,,,点D是BC边上一动点,连接AD,把AD绕点A逆时针旋转90°,得到AE,连接CE,DE.点F是DE的中点,连接CF.(1)求证:;(2)如图2所示,在点D运动的过程中,当时,分别延长CF,BA,相交于点G,猜想AG与BC存在的数量关系,并证明你猜想的结论;(3)在点D运动的过程中,在线段AD上存在一点P,使的值最小.当的值取得最小值时,AP的长为m,请直接用含m的式子表示CE的长.【答案】(1)证明见解析;(2);(3)解:(1)证明如下:∵,∴,∵,,∴在和中,∴,∴,∴,在中,F为DE中点(同时),,∴,即为等腰直角三角形,∴,∵,∴;(2)由(1)得,,,∴,在中,,∵F为DE中点,∴,在四边形ADCE中,有,,∴点A,D,C,E四点共圆,∵F为DE中点,∴F为圆心,则,在中,∵,∴F为CG中点,即,∴,即;(3)设点P存在,由费马定理可得,∴,设PD,∴,又,∴,又∴.25.(2023重庆B卷)如图,在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),且A点坐标为(−2,0),直线BC的解析式为(1)求抛物线的解析式;(2)过点A作AD//BC,交抛物线于点D,点E为直线BC上方抛物线上一动点,连接CE,EB,BD,DC.求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标;(3)将抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)向左平移2个单位,已知点M为抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)的对称轴上一动点,点N为平移后的抛物线上一动点.在(2)中,当四边形BECD的面积最大时,是否存在以A,E,M,N为顶点的四边形为平行四边形,若存在,直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.提示:(1)易得B(32,0),C(0,2),又A(−2,所以易求抛物线的解析式为y=−1(2)易求AD的解析式为y=−23x−23,进而D(42,−103).CD的解析式为:y=−223x+2.则CD与x轴的交点F为(322,0).所以易求△BCD当x=322时,四边形BECD面积最大,其最大值为2524,此时E(3(3)存在.N的坐标为(−322,76),或(−22,5注:抛物线y=−13x2+223x+2的顶点是(2,0),设M(2,m),N(xn,yn),又A(−2,根据平行四边形对角线互相平分及中点公式.分类:①当AM为对角线时,则xn解得xn=−322,代入解析式得yn所以N(−322对角线交点坐标为(0,116),M坐标为(2,113②当AE为对角线时,则xn解得xn=−22,代入解析式得yn=所以N(−22,对角线交点坐标为(24,54),M坐标为(2,0③当AN为对角线时,则xn解得xn=722,代入解析式得yn=所以N(722,−11对角线交点坐标为(524,−114),M坐标为(26.(2023重庆B卷)△ABC为等边三角形,AB=8,AD⊥BC于点D,E为线段AD上一点,AE=23.以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF,连接CE,(1)如图1,EF与AC交于点G,连接NG,求线段NG的长;(2)如图2,将△AEF绕点A逆时针旋转,旋转角为α,M为线段EF的中点,连接DN,MN.当30°<α<120°时,猜想∠DNM的大小是否为定值,并证明你的结论;(3)连接BN,在△AEF绕点A逆时针旋转过程中,当线段BN最大时,请直接写出△ADN的面积.提示:(1)易得∠CGE=90°,NG=12CE,CD=4,DE=23.答案:NG=(2)∠DNM的为定值120°.连CF,BE,BE交AC于H,DN交AC于G,如图.易得:BE∥DN,MN∥CF,△ABE≌△ACF.因此∠DGC=∠BHC,∠ENM=∠ECF,∠ABE=∠ACF又∠BHC=∠ABE+∠BAH=∠ABE+60°∴∠DGC=∠ABE+60°=∠ACF+60°又∠DGC=∠DNC+∠GCN=∠DNC+∠ACF-∠ECF∴∠DNC=60°+∠ECF=60°+∠ENM∴∠DGE=180°-∠DNC=120°-∠ENM∴∠DNM=∠DNE+∠ENM=120°.(3)△AND的面积为7如图,取AC中点P,因为BP+PN≥BN,所以当B、P、N在一直线上,BN最大.易得BN=BP+PN=BP+12AE=设BP与AD交于O,NQ⊥AD于Q,如图.易得BO=23BP=833,ON=733,BD=4,△ONQ∽△OBD∴△AND的面积为:12×AD×NQ=726.(8分)(2023•徐州)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,﹣4)、B(2,0),交反比例函数y=mx(x>0)的图象于点C(3,a),点P在反比例函数的图象上,横坐标为n(0<n<3),PQ∥y轴交直线AB于点Q,D是y轴上任意一点,连接PD、(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)求△DPQ面积的最大值.【解答】解:(1)把A(0,﹣4)、B(2,0)代入一次函数y=kx+b得,b=−42k+b=0,解得,k=2∴一次函数的关系式为y=2x﹣4,当x=3时,y=2×3﹣4=2,∴点C(3,2),∵点C在反比例函数的图象上,∴k=3×2=6,∴反比例函数的关系式为y=6答:一次函数的关系式为y=2x﹣4,反比例函数的关系式为y=6(2)点P在反比例函数的图象上,点Q在一次函数的图象上,∴点P(n,6n),点Q(n,2n∴PQ=6n−∴S△PDQ=12n[6n−(2n﹣4)]=﹣n2+2n+3=﹣(∴当n=1时,S最大=4,答:△DPQ面积的最大值是4.25.(13分)(2023•烟台)如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,且OA=2OB,与y轴交于点C,连接BC,抛物线对称轴为直线x=12,D为第一象限内抛物线上一动点,过点D作DE⊥OA于点E,与AC交于点F,设点D的横坐标为(1)求抛物线的表达式;(2)当线段DF的长度最大时,求D点的坐标;(3)抛物线上是否存在点D,使得以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)设OB=t,则OA=2t,则点A、B的坐标分别为(2t,0)、(﹣t,0),则x=12=12(2t故点A、B的坐标分别为(2,0)、(﹣1,0),则抛物线的表达式为:y=a(x﹣2)(x+1)=ax2+bx+2,解得:a=﹣1,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+x+2;(2)对于y=﹣x2+x+2,令x=0,则y=2,故点C(0,2),由点A、C的坐标得,直线AC的表达式为:y=﹣x+2,设点D的横坐标为m,则点D(m,﹣m2+m+2),则点F(m,﹣m+2),则DF=﹣m2+m+2﹣(﹣m+2)=﹣m2+2m,∵﹣1<0,故DF有最大值,此时m=1,点D(1,2);(3)存在,理由:点D(m,﹣m2+m+2)(m>0),则OD=m,DE=﹣m2+m+2,以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似,则DEOE=OBOC或OCOB,即DE解得:m=1或﹣2(舍去)或1+334或故m=1或1+3324.(2023山东滨州)(13分)某水果商店销售一种进价为40元千克的优质水果,若售价为50元千克,则一个月可售出500千克;若售价在50元千克的基础上每涨价1元,则月销售量就减少10千克.(1)当售价为55元千克时,每月销售水果多少千克?(2)当月利润为8750元时,每千克水果售价为多少元?(3)当每千克水果售价为多少元时,获得的月利润最大?【解答】解:(1)当售价为55元千克时,每月销售水果千克;(2)设每千克水果售价为元,由题意可得:,解得:,,答:每千克水果售价为65元或75元;(3)设每千克水果售价为元,获得的月利润为元,由题意可得:,当时,有最大值为9000元,答:当每千克水果售价为70元时,获得的月利润最大值为9000元.26.(2023山东滨州)(14分)如图,抛物线的顶点为,与轴交于点,点为其对称轴上的一个定点.(1)求这条抛物线的函数解析式;(2)已知直线是过点且垂直于轴的定直线,若抛物线上的任意一点到直线的距离为,求证:;(3)已知坐标平面内的点,请在抛物线上找一点,使的周长最小,并求此时周长的最小值及点的坐标.【解答】(1)解:由题意抛物线的顶点,可以假设抛物线的解析式为,抛物线经过,,,抛物线的解析式为.(2)证明:,,,,,,,,,.(3)如图,过点作直线于,过点作直线于.的周长,是定值,的值最小时,的周长最小,,,根据垂线段最短可知,当,,共线时,的值最小,此时点与重合,点在线段上,的最小值为6,的周长的最小值为,此时.24.(2023•怀化)如图所示,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,点M为抛物线的顶点.(1)求点C及顶点M的坐标.(2)若点N是第四象限内抛物线上的一个动点,连接BN、CN求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标.(3)若点D是抛物线对称轴上的动点,点G是抛物线上的动点,是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出点G的坐标;若不存在,试说明理由.(4)直线CM交x轴于点E,若点P是线段EM上的一个动点,是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)令y=x2﹣2x﹣3中x=0

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