人教版八年级数学下册第17章勾股定理全套课件

第十七章

勾股定理17.1勾股定理第1课时

勾股定理第十七章勾股定理17.1勾股定理第1课时勾股定理11课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业勾股定理勾股定理与图形的面积1课堂讲解2课时流程逐点课堂小结课后作业勾股定理2相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作3A、B、C的面积有什么关系？直角三角形三边有什么关系？ABC让我们一起探索这个古老的定理吧！A、B、C的面积有什么关系？ABC让我们一起探索这个古老的定41知识点勾股定理知1－导我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.

弦股勾图11知识点勾股定理知1－导我国古代把直角三角形5知1－导ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)图2-1图2-2(1)观察图2-1

正方形A中含有

个

小方格，即A的面积

是

个单位面积.正方形B的面积是

个单位面积.正方形C的面积是

个单位面积.99918知1－导ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)图2-6知1－导ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)图2-1图2-2分“割”成若干个直角边为整数的三角形=18(单位面积)S正方形c知1－导ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)图2-7知1－导ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)图2-1图2-2(2)在图2-2中，正方形A，B，

C中各含有多少个小方格？

它们的面积各是多少？(3)你能发现图2-1中三个正方

形A，B，C的面积之间有

什么关系吗？SA+SB=SC

即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积.知1－导ABCABC(图中每个小方格代表一个单位面积)图2-8知1－导ABCacbSa+Sb=Sc观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想:两直角边a、b与斜边c之间的关系？a2+b2=c2知1－导ABCacbSa+Sb=Sc观察所得到的各组数据，你9知1－讲┏a2+b2=c2acb

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股弦

勾股定理(毕达哥拉斯定理)知1－讲┏a2+b2=c2acb直角三10知1－讲定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.数学表达式：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则a2＋b2＝c2.知1－讲定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．11分清斜边和直角边．因为在Rt△ABC中，a，b，c是三边，所以可以用勾股定理解决问题．例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的

对边分别是a，b，c.(1)已知a＝b＝6，求c；

(2)已知c＝3，b＝2，求a；(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.知1－讲导引：分清斜边和直角边．因为在Rt△ABC中，a，b，例112(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，∴由勾股定理，得(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，∴由勾股定理，得(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.

又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，

解得b＝知1－讲解：(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，知1－讲解：13总

结知1－讲

利用勾股定理求直角三角形的边长的方法：一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”，即一分：分清哪条边是斜边，哪些是直角边；二代：将已知边长及两边之间的关系式代入a2＋b2＝c2（假设c是斜边）；三化简．总结知1－讲利用勾股定理求直角三角形的141

设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边

长为c.(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=5，b=12，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.知1－练（来自《教材》）(1)(2)(3)解：1设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边知1－15知1－练下列说法中正确的是(

)A．已知a，b，c是三角形的三边长，则a2＋b2＝c2B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的

平方C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2＋b2＝c2D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2＋b2＝c2C2知1－练下列说法中正确的是()C216知1－练3

若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，

斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(

)A．b2＝c2－a2B．a2＝c2－b2C．b2＝a2－c2

D．c2＝a2＋b2C知1－练3若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，C17知1－练【中考·东营】在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于(

)A．10B．8C．6或10D．8或10C4知1－练【中考·东营】在△ABC中，AB＝10，AC＝218知1－练【中考·陕西】如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(

)A．3B．6C．3D.A5知1－练【中考·陕西】如图，将两个大小、形状完全相同的△A19知1－练【中考·漳州】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD长为正整数，则点D的个数共有(

)A．5个B．4个C．3个D．2个C6知1－练【中考·漳州】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，B20知1－练如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离是(

)A．3

B．4

C．5

D．6A7知1－练如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠AB212知识点勾股定理与面积的关系知2－导

在一张纸上画4个与图所示的全等的直角三边形，并把它们剪下来．如图所示，用这四个直角三角形进行拼摆，将得到一个以a+b为边长的大正方形和以直角形斜边c为边长的小正方形．2知识点勾股定理与面积的关系知2－导在一张22归纳知2－导

观察图形，容易得到大正方形的边长为

a+b，所以大正方形的面积是(a+b)2．又因为大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的正方形拼成的，所以大正方形的面积又可表示成

ab×4+c2．因此有(a+b)2=ab×4+c2．整理得a2+b2=c2，即a、b、c为边的直角三角形满足两直角边的平方和等于斜边的平方．归纳知2－导观察图形，容易得到大正方23知2－讲例2观察如图所示的图形，回答问题：(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形P的面积

为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积

为________；(2)如图②，分别以直角

三角形ABC的三边长为直径向三角形外作三个半圆，

则这三个半圆形的面积之间的关系式是________；(用图中字母表示)(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你

利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．知2－讲例2观察如图所示的图形，回答问题：24知2－讲(1)根据正方形的面积公式，结合勾股定理可得DF2＝DE2＋EF2，即正方形M的面积＝9＋15＝24；(2)

另外由勾股定理可知AC2＋BC2＝AB2，所以S1＋S2＝S3；(3)阴影部分的面积＝两个小半圆形的面积和＋直角三角

形的面积－大半圆形的面积，由(2)可知两个小半圆形

的面积和＝大半圆形的面积，所以阴影部分的面积＝

直角三角形的面积．导引：知2－讲(1)根据正方形的面积公式，结合勾股定理可得导引：25知2－讲(1)24

(2)S1＋S2＝S3(3)设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，大半圆

形的面积为S3，三角形的面积为S△，

则S阴影＝S1＋S2＋S△－S3

＝S△＝×3×4＝6.解：知2－讲(1)24解：26总

结知2－讲

与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜边上的图形面积．本例考查了勾股定理及正方形的面积公式，半圆形面积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股定理．总结知2－讲与直角三角形三边相连的正方271

如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边

形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分

别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.知2－练（来自《教材》）SE＝(122＋162)＋(92＋122)

＝400＋225

＝625.解：1如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边知2－练282(中考·株洲)如图，以直角三角形的三边a，b，c为

边或直径，分别向外作等边三角形，半圆，等腰直

角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形个数是(

)A．1B．2C．3D．4知2－练D2(中考·株洲)如图，以直角三角形的三边a，b，c为29知2－练3如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面

积分别为3和4，则b的面积为(

)A．3B．4C．5D．7D知2－练3如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a30知2－练如图，已知△ABC为直角三角形，分别以直角边AC，BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为S1，△ABC的面积为S2，则S1与S2的大小关系为(

)A．S1＞S2

B．S1＜S2

C．S1＝S2

D．不能确定4C知2－练如图，已知△ABC为直角三角形，分别以直角边AC，B31知2－练【中考·温州】四个全等的直角三角形按如图所示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH，已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为(

)A．12S

B．10SC．9S

D．8S5C知2－练【中考·温州】四个全等的直角三角形按如图所示方式围321.勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角

三角形三边关系．2．由勾股定理的基本关系式：a2＋b2＝c2可得到一些

变形关系式：c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2

＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．1知识小结1.勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角1知识33

在△ABC中，边AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是(

)A．42B．32C．42或32D．不能确定C2易错小结在△ABC中，边AB＝15，AC＝13，34本题应分△ABC为锐角三角形和△ABC为钝角三角形两种情况讨论．解本题时常常容易忽略其中一种情况而出错．易错点：考虑问题不全面而漏解.本题应分△ABC为锐角三角形和△ABC为钝角三角形两种情况讨35第1节

勾股定理第1课时

勾股定理第十七章勾股定理第1节勾股定理第十七章勾股定理36123456789101112131415123456789101112131415371知识点勾股定理1．直角三角形_________________等于____________．即：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么________________．两直角边的平方和斜边的平方a2＋b2＝c2返回1知识点勾股定理1．直角三角形_______________38返回2．(中考·滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为(

)A．5 B．6C．7 D．8A返回2．(中考·滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦39返回3．(中考·荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(

)A．5 B．6C．8 D．10C返回3．(中考·荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是40返回4．若在△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长是(

)A．14 B．4C．14或4 D．无法确定C返回4．若在△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝1241返回5．(中考·漳州)如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD长为正整数，则点D的个数共有(

)A．5个

B．4个

C．3个

D．2个C返回5．(中考·漳州)如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝542返回6．(中考·丽水)我国三国时期数学家赵爽为了验证勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为________．10返回6．(中考·丽水)我国三国时期数学家赵爽为了验证勾股定理43返回2知识点勾股定理与图形的面积7．勾股定理通常是用________法来验证的，因此很多涉及直角三角形的图形面积问题，通常用________来解决．面积勾股定理返回2知识点勾股定理与图形的面积7．勾股定理通常是用____44返回8．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(

)A．48 B．60C．76 D．80C返回8．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，45返回9．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于(

)A．2π B．4πC．8π D．16πA返回9．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，分别以AC，BC为46返回10．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是(

)A．13 B．26C．47 D．94C返回10．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形47返回11．如图，将一块边长为a的正方形(最中间的小正方形)与四块边长为b的正方形(其中b＞a)拼接在一起，则四边形ABCD的面积为(

)A．b2＋(b－a)2

B．b2＋a2C．(b＋a)2

D．a2＋2abA返回11．如图，将一块边长为a的正方形(最中间的小正方形)与481题型勾股定理在求线段长中的应用12．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB＝.求：(1)DC的长；(2)AB的长．1题型勾股定理在求线段长中的应用12．如图，在△ABC中，C49解：返回(1)在Rt△BCD中，DC2＝BC2－BD2＝32－

＝

，∴DC＝.(2)在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝42－

＝

，∴AD＝.∴AB＝AD＋BD＝

＋

＝5.解：返回(1)在Rt△BCD中，DC2＝BC2－BD2＝32502题型勾股定理在求面积中的应用13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，BC＝15m，CD＝7m．求四边形ABCD的面积．2题型勾股定理在求面积中的应用13．如图，在四边形ABCD中51解：如图，连接AC.

∵∠B＝∠D＝90°，∴△ABC与△ACD都是直角三角形．在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝202＋152＝625，∴AC＝25.解：如图，连接AC.52在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AD2＝AC2－CD2＝252－72＝576，∴AD＝24.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝

AB·BC＋

AD·CD＝

×20×15＋×24×7＝234(m2)．返回在Rt△ACD中，根据勾股定理，返回533题型勾股定理在折叠问题中的应用14．如图，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的点F处．已知AB＝CD＝8cm，BC＝AD＝10cm，求EC的长．3题型勾股定理在折叠问题中的应用14．如图，将长方形纸片AB54解：根据题意，得△AFE≌△ADE，∴AF＝AD＝10cm，EF＝ED.∴EF＋EC＝DC＝8cm.在Rt△ABF中，根据勾股定理得BF2＝AF2－AB2＝102－82＝36，∴BF＝6cm.∴FC＝BC－BF＝10－6＝4(cm)．解：根据题意，得△AFE≌△ADE，55设EC＝xcm，则EF＝DC－EC＝(8－x)cm.

在Rt△EFC中，根据勾股定理得EC2＋FC2＝EF2，即x2＋42＝(8－x)2.解这个方程，得x＝3，即EC的长为3cm.返回设EC＝xcm，则EF＝DC－EC＝(8－x)cm.返56倍长中线法15．(中考·柳州)如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求BC边上高的长．倍长中线法15．(中考·柳州)如图，在△ABC中，D为AC边57解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴在Rt△BCD中，根据勾股定理得DB＝3.(2)如图，延长BD至E，使DE＝DB，连接AE.∵D是AC边的中点，∴AD＝CD.在△EDA和△BDC中，AD＝CD∠ADE＝∠CDBDE＝DB解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，AD＝CD58∴△EDA≌△BDC(SAS)．∴∠DAE＝∠DCB.∴AE∥BC.∵DB⊥BC，∴△ABC中BC边上的高的长等于BE的长．易知BE＝2BD＝6，∴BC边上的高的长为6.点拨返回∴△EDA≌△BDC(SAS)．点拨返回59返回【思路点拨】倍长中线BD，说明2BD等于△ABC中BC边上的高．返回【思路点拨】倍长中线BD，说明2BD等于△ABC中BC边60第十七章

勾股定理17.1勾股定理第2课时

勾股定理的实际应用第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时勾股定理611课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业求实际中长（高）度的应用求实际中的最短距离的应用1课堂讲解2课时流程逐点课堂小结课后作业求实际中长（高）度的62

如图所示，一棱长为3cm的正方体．把所有的面都分成3×3个小正方形，假若一只蚂蚁每秒爬2cm，则它从下底面A点，沿表面爬行至右侧的B点，最少要花几秒?如图所示，一棱长为3cm的正方体．把所有的631知识点求实际中长（高）度的应用问题

如图所示，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索?知1－导1知识点求实际中长（高）度的应用问题如图所64归纳知1－导

应用勾股定理解决实际问题，首先需要构造直角三角形，把问题转化为已知两边求直角三角形中第三边的问题.然后确定好直角边和斜边，根据勾股定理a2＋b2=c2求出待求的线段长度，即三角形的边长.勾股定理在生活中有广泛应用，例如长度，高度，距离，面积，体积等问题都可以利用勾股定理来解答.归纳知1－导应用勾股定理解决实际问题65可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过.门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度.求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过.在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5.AC=≈2.24.因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过.例1一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，

宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通

过？为什么？知1－讲（来自《教材》）分析：解：可以看出，木板横着或竖着都不能从门例1一个门框的尺寸66总

结知1－讲

实际问题经常转化为数学问题，也就是建立直角三角形模型，利用勾股定理来解答.总结知1－讲实际问题经常转化为数学问题67解：可以看出，BD=OD-OB.

在Rt△AOB中，根据勾股定理，

OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.OB==1.

在Rt△COD中，根据勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4

-0.5)2=3.15.OD

=≈1.77,

BD=OD-OB≈l.77-1=0.77.

所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外

移0.5m，而是外移约0.77m.例2如图,一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的

墙AO上，这时AO为2.4m.如果梯子的顶端A沿

墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？知1－讲（来自《教材》）解：可以看出，BD=OD-OB.例2如图,一架2.68总

结知1－讲

生活中的一些实际问题常常通过构建数学模型(直角三角形)来求解，勾股定理在生活中应用面广，建立的模型有时并不是已知两边求第三边，而只是告诉了其中的一些关系，一般可设未知数，用未知数表示它们之间的关系，然后根据勾股定理列方程解决问题．总结知1－讲生活中的一些实际问题常常通691

如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成

直角的AC方向上一点，测得BC=60m，AC=20m.求A，B两点间的距离(结果取整数).知1－练（来自《教材》）在Rt△BAC中，BC＝60m，AC＝20m，由勾股定理，得AB＝

＝≈57(m)．答：A，B两点间的距离约为57m.解：1如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成知1－702

如图，在平面直角坐标系中有两点

A(5，0)和B(0，4).求这两点之间的距离.知1－练（来自《教材》）由点A(5，0)，B(0，4)可知OA＝5，OB＝4，又因为∠BOA＝90°，所以根据勾股定理，得AB＝

＝解：2如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)和知713(中考·安顺)如图，有两棵树，一棵高10米，另一

棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树

顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行(

)A．8米

B．10米

C．12米

D．14米知1－练B3(中考·安顺)如图，有两棵树，一棵高10米，另一知172【中考·绍兴】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(

)A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米知1－练4C【中考·绍兴】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在73【中考·黄冈】在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD(如图所示)，已知标语牌的高AB＝5m，在地面的点E处，测得标语牌点A的仰角(即∠AEB)为30°，在地面的点F处，测得标语牌点A的仰角(即∠AFB)为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．(计算结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73)知1－练5【中考·黄冈】在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的74知1－练如图，作FH⊥AE于H.由题意可知∠HAF＝∠HFA＝45°，∴AH＝HF，设AH＝HF＝xm，则EF＝2xm，EH＝

xm，在Rt△AEB中，∵∠E＝30°，AB＝5m，∴AE＝2AB＝10m，∴x＋

x＝10，∴x＝5－5，∴EF＝10－10≈7.3(m)，答：点E与点F之间的距离约为7.3m.解：知1－练如图，作FH⊥AE于H.解：752知识点求实际中的最短距离的应用知2－导如图1所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(1)自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？问题图12知识点求实际中的最短距离的应用知2－导如图76知2－导(2)如图2所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？(3)蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(4)若蚂蚁先从点A直接爬到点C，然后再从点C沿地面直径爬到点B，这样爬的总路程与沿圆柱侧面爬行的最短路程比较，哪一条更短些？图2知2－导(2)如图2所示，将圆柱侧图277归纳知2－导

最短路径问题要转化到平面图形上，建立直角三角形模型，利用勾股定理解答.归纳知2－导最短路径问题要转化到平面图78知2－讲例3如图所示的长方体的高为4cm，底面是长为5cm，宽

为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出

发沿长方体的表面爬到顶点B.求：(1)蚂蚁经过的最短路程；(2)蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一

条棱)的最长路程．(1)蚂蚁爬行的最短路线可放在平面内，根据“两点之间，

线段最短”去探求，而与顶点A，B相关的两个面展开共

有三种方式，先根据勾股定理求出每一种方式下蚂蚁

爬行的最短路程，从而可知蚂蚁经过的最短路程．(2)最长路线应该是依次经过长为5cm，4cm，5cm，4cm，3cm，4cm，5cm的棱．导引：知2－讲例3如图所示的长方体的高为4cm，底面是长为79知2－讲(1)将长方体与顶点A，B相关的两个面展开，共有三

种方式，如图所示．若蚂蚁沿侧面爬行，如图①，

则爬行的最短路程为

若蚂蚁沿侧面和上面爬行，如图②③，

解：

知2－讲(1)将长方体与顶点A，B相关的两个面展开，共有三解80知2－讲

则爬行的最短路程分别为

因为

＜4＜3，

所以蚂蚁经过的最短路程是cm.(2)5＋4＋5＋4＋3＋4＋5＝30(cm)，所以蚂蚁沿着棱

爬行的最长路程是30cm.知2－讲则爬行的最短路程分别为81总

结知2－讲

几何体的表面上两点间的最短路程问题的解决方法是将几何体表面展开，即将立体问题转化为平面问题，然后利用“两点之间，线段最短”去确定路线，最后利用勾股定理计算．总结知2－讲几何体的表面上两点间的最短82知2－练如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，P是母线BC上一点，且PC＝

BC.一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的侧面爬行到点P的最短距离是(

)A.cm

B．5cm

C．3cm

D．7cm1B知2－练如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，83知2－练【中考·营口】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为(

)A．4B．5C．6D．72B知2－练【中考·营口】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A84知2－练【中考·安徽】如图，在长方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝

S长方形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA＋PB的最小值为(

)A.B.C．

D.3D知2－练【中考·安徽】如图，在长方形ABCD中，AB＝5，851.勾股定理从边的角度刻画了直角三角形的重要特征，

应用勾股定理可以求出直角三角形中的直角边或者

斜边的长度，在实际应用中要注意：(1)勾股定理的应用是以直角三角形存在(或容易构造

直角三角形)为基础；(2)表示直角三角形边长的a,b,c不是固定不变的，c不一定是斜边的长.1知识小结1.勾股定理从边的角度刻画了直角三角形的重要特征，862.在直线上找一点，使其到直线同侧的两点的距离之

和最短的方法：先找到其中一个点关于这条直线的

对称点，连接对称点与另一个点的线段与该直线的

交点即为所找的点，对称点与另一个点的线段长就

是最短距离之和．以连接对称点与另一个点的线段

为斜边，构造出一个两条直角边已知的直角三角形，

然后利用勾股定理即可求出最短距离之和．2.在直线上找一点，使其到直线同侧的两点的距离之87

如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C

的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A

爬到点B，需要爬行的最短距离是(

)A．5

B．25

C．10＋5

D．35B2易错小结易错点：求最短路径时对立体图形展开情况考虑不全面

导致错解.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点88第1节

勾股定理第2课时

勾股定理的实际应用第十七章勾股定理第1节勾股定理第十七章勾股定理8912345678910111213141234567891011121314901知识点求实际中长(高)度的应用返回1．建立实际问题的数学模型时，关键是画出符合题意的图形，把实际问题转化为几何中的直角三角形问题，运用________定理求解．勾股1知识点求实际中长(高)度的应用返回1．建立实际问题的数学模91返回2．如图，在校园内有两棵树，相距12m，一棵树高13m，另一棵树高8m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞________m.13返回2．如图，在校园内有两棵树，相距12m，一棵树高13923．(中考·荆州)《九章算术》中的“折竹抵地”问题(如图)：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？3．(中考·荆州)《九章算术》中的“折竹抵地”问题(如图)：93设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为(

)A．x2－6＝(10－x)2

B．x2－62＝(10－x)2C．x2＋6＝(10－x)2

D．x2＋62＝(10－x)2D返回设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为()D返回94返回4．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙脚C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下移了(

)A．0.9米 B．1.3米C．1.5米 D．2米B返回4．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这95返回5．小亮准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为(

)A．2m B．2.5mC．2.25m D．3mA返回5．小亮准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边196返回2知识点求实际中的最短距离的应用6．求实际中的最短距离的实质是将实际问题转化为几何中的两点间的距离或点到直线的距离的模型，然后利用_________________或____________进行说理，最后利用__________________来求出这个最短距离．两点之间线段最短垂线段最短勾股定理返回2知识点求实际中的最短距离的应用6．求实际中的最短距离的97返回类型1展开图中的最短距离7．如图，一只蚂蚁沿着棱长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短路径的长为________．返回类型1展开图中的最短距离7．如图，一只蚂蚁沿着棱长为298返回8．(中考·东营)如图，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是(

)A． B．C. D．C返回8．(中考·东营)如图，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝99返回9．(中考·营口)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为(

)A．4 B．5C．6 D．7类型2对称点中的最短距离B

返回9．(中考·营口)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠AC100返回10．(中考·安徽)如图，在长方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝

S长方形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为(

) B.C．5 D.D返回10．(中考·安徽)如图，在长方形ABCD中，AB＝5，10111．有一辆装满货物的卡车，高5m，宽3.2m(货物的顶部是水平的)，要通过如图所示的截面的上半部分是半圆，下半部分是长方形的隧道，已知半圆的直径为4m，长方形竖直的一条边长是4.6m.1题型勾股定理在求高度中的应用11．有一辆装满货物的卡车，高5m，宽3.2m(货物的顶102(1)这辆卡车能否通过此隧道？请说明理由；(2)为了减少交通拥堵，交通部门想把该隧道改为双向二车道，这时这辆卡车能通过这条隧道吗？(1)这辆卡车能否通过此隧道？请说明理由；103(1)能通过．理由如下：如图，设O为半圆的圆心，AB为半圆的直径，在OB上截取OE＝3.2÷2＝1.6(m)，过E作EF⊥AB交半圆于F，连接OF.在Rt△OEF中，OF2＝OE2＋EF2，即22＝1.62＋EF2，EF＝1.2m，1.2＋4.6＝5.8(m)>5m，所以这辆卡车能通过此隧道．解：(1)能通过．理由如下：解：104(2)当把该隧道改为双向二车道时，4÷2＝2(m)<3.2m，所以这时这辆卡车不能通过这条隧道．返回(2)当把该隧道改为双向二车道时，返回1052题型勾股定理在求圆柱上两点最短距离中的应用12．为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆柱形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图所示．已知圆柱的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在侧面上均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？2题型勾股定理在求圆柱上两点最短距离中的应用12．为筹备迎接106解：返回将圆柱形灯罩侧面展开如图所示．在Rt△ABC中，AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)．根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452，所以AB＝45cm.所以整个油纸的长为45×4＝180(cm)．故应裁剪180cm长的油纸．解：返回将圆柱形灯罩侧面展开如图所示．1073题型勾股定理在求圆锥上两点最短距离中的应用13．如图，有一个高为12cm，底面直径为10cm的圆锥．现有一只蚂蚁在圆锥的顶点M处，它想吃圆锥底部N处的食物，求蚂蚁需要爬行的最短路程．3题型勾股定理在求圆锥上两点最短距离中的应用13．如图，有一108解：如图，设O为圆锥底面圆的圆心，连接MO，NO，MN.则MO⊥NO，MN就是蚂蚁爬行的最短路程．由题意知MO＝12cm，NO＝5cm，所以在Rt△MNO中，MN2＝122＋52，即MN＝13cm.答：蚂蚁需要爬行的最短路程为13cm.返回解：如图，设O为圆锥底面圆的圆心，返回109方程思想14．如图，在一棵树的10m高的B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树，走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘A处(假设它经过的路线为直线)．如果两只猴子所经过的路程相等，求这棵树的高．方程思想14．如图，在一棵树的10m高的B处有两只猴子，其110解：设BD＝xm，由题意知BC＋AC＝BD＋AD，∴AD＝(30－x)m.∴(10＋x)2＋202＝(30－x)2，解得x＝5，∴x＋10＝15.答：这棵树的高为15m.点拨返回解：设BD＝xm，由题意知BC＋AC＝BD＋AD，∴AD＝111返回【思路点拨】通过设未知数，根据两只猴子经过的路程相等表示出AD的长度，再利用勾股定理列方程求解．返回【思路点拨】通过设未知数，根据两只猴子经过的路程相等表示112第十七章

勾股定理17.1勾股定理第3课时

勾股定理的几何应用第十七章勾股定理17.1勾股定理第3课时勾股定理1131课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业用勾股定理在数轴上表示实数勾股定在几何问题中的应用1课堂讲解2课时流程逐点课堂小结课后作业用勾股定理在数轴上表114

某拍卖行贴出了如下的一个土地拍卖广告：

如下图，有面积为560英亩的土地拍卖，土地共分三个正方形，面积分别为74英亩、116英亩、370英亩．三个正方形恰好围着一个池塘，如果有人能计算出池塘的准确面积．则池塘不计入土地价钱白白奉送．英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题，你能解决吗?某拍卖行贴出了如下的一个土地拍卖广告：1151知识点用勾股定理在数轴上表示数

我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示

的点吗？

如果能画出长为

的线段，就能在数轴上画出表示

的点.容易知道，长为

的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边.长为

的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的斜边吗？知1－讲1知识点用勾股定理在数轴上表示数我们知道数轴116知1－讲

利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2,3的直角三角形的斜边长为

.由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示

的点.

如图,在数轴上找出表示3的点A，则OA=3,过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示

的点.知1－讲利用勾股定理，可以发现，直角边的长为117总

结知1－讲

类似地，利用勾股定理，可以作出长为

…的线段(图1).按照同样方法，可以在数轴上画出表示

…的点(图2).

图1图2总结知1－讲类似地，利用勾股定理，可118利用

a＝

可以作出．如图2，先作出与已知线段AB垂直，且与已知线段的端点A相交的直线l，在直线l上以A为端点截取长为2a的线段AC，连接BC，则线段BC即为所求．如图2，BC就是所求作的线段．例1如图1，已知线段AB的长为a，请作出长为

a的

段．(保留作图痕迹，不写作法)知1－讲图1图2导引：解：利用a＝可119总

结知1－讲

这类问题要作的线段一般是直角三角形的斜边，根据勾股定理由要作的线段确定两直角边的长是解题的关键．总结知1－讲这类问题要作的线段一般是直角三角形1201在数轴上做出表示的点.知1－练（来自《教材》）如图所示．作法：(1)在数轴上找出表示4的点A，则OA＝4；(2)过A作直线l垂直于OA；(3)在直线l上取点B，使AB＝1；(4)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与

数轴的交点C即为表示

的点．解：1在数轴上做出表示的点.知1－练（1212如图，点C表示的数是(

)A．1B.C．1.5D.知1－练D2如图，点C表示的数是()知1－练D122如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于(

)A．－4和－3之间B．3和4之间C．－5和－4之间D．4和5之间知1－练3A如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为1232知识点勾股定在几何问题中的应用知2－讲例2如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC

＝10.求BC的长．导引：题中没有直角三角形，可以通

过作高构建直角三角形；过点A作AD⊥BC于D，图中会出现

两个直角三角形——Rt△ACD和Rt△ABD，这两

个直角三角形有一条公共边AD，借助这条公共边，

可建立起直角三角形之间的联系．2知识点勾股定在几何问题中的应用知2－讲例2如图，在124知2－讲解：如图，过点A作AD⊥BC于D.∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，∴CD＝

AC＝5.

在Rt△ACD中，AD

在Rt△ABD中，BD∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.知2－讲解：如图，过点A作AD⊥BC于D.125总

结知2－讲

利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合已知条件，采用推理或列方程的方法解决问题．总结知2－讲利用勾股定理求非直角三角形1261

如图，等边三角形的边长是6.求：(1)高AD的长；(2)这个三角形的面积.知2－练（来自《教材》）(1)由题意可知，在Rt△ADB中，

AB＝6，BD＝

BC＝3，∠ADB＝90°.

由勾股定理，

得AD＝(2)S△ABC＝

BC·AD＝×6×3

＝解：1如图，等边三角形的边长是6.求：知2－练（来自《教127如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为

的线段________条．知2－练28如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的128知2－练3如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC中，

长为无理数的边有(

)A．0条

B．1条

C．2条

D．3条C知2－练3如图，每个小正方形的边长均为1，则△AB129知2－练4如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为(

)A．4cmB．5cmC．6cmD．10cmB知2－练4如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝130【2017·宜宾】如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是(

)A．3B.C．5D.知2－练5C【2017·宜宾】如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝131如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC边上的高AD＝6cm，腰AB上的高CE＝8cm，则△ABC的周长等于________cm.知1－练6如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC边上的高AD＝61321．勾股定理与三角形三边平方关系的综合应用：单一应用：先由三角形三边平方关系得出直角三角形后，

再求这个直角三角形的角度和面积：综合应用：先用勾股定理求出三角形的边长，再由三角形

平方关系确定三角形的形状，进而解决其他问题；逆向应用：如果一个三角形两条较小边长的平方和不等于

最大边长的平方，那么这个三角形就不是直角三角形.1知识小结1．勾股定理与三角形三边平方关系的综合应用：1知识小结1332．应用勾股定理解题的方法：(1)添线应用，即题中无直角三角形，可以通过作垂线，构

造直角三角形，应用勾股定理求解；(2)借助方程应用，即题中虽有直角三角形，但已知线段的

长不完全是直角三角形的边长，可通过设未知数，构建

方程，解答计算问题；(3)建模应用，即将实际问题建立直角三角形模型，通过勾

股定理解决实际问题．2．应用勾股定理解题的方法：134如图，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则长方形ABCD的面积为________．115.22易错小结如图，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰135在Rt△PFH中，FH＝

＝10，∴BC＝BF＋FH＋CH＝PF＋FH＋PH＝8＋10＋6＝24.设△PFH的边FH上的高为h，则h＝

＝4.8，∴S长方形ABCD＝24×4.8＝115.2.在Rt△PFH中，FH＝136易错点：忽视题目中条件而求不出答案.解此题时要灵活运用折叠前后对应线段相等，从而求出BC的长，然后再运用面积法求出△PFH中FH边上的高，本题容易因忽视条件而求不出答案．易错总结：易错点：忽视题目中条件而求不出答案.解此题时要灵活运用折叠前137第1节

勾股定理第3课时

勾股定理的几何应用第十七章勾股定理第1节勾股定理第十七章勾股定理13812345678910111213123456789101112131391知识点用勾股定理在数轴上表示实数1．在数轴上找表示无理数的点，其实质是确定两直角边长分别为正整数的直角三角形的斜边的长．例如：在数轴上找表示±的点时，是以原点O为圆心，以两直角边长分别为________的直角三角形的________为半径画弧，与数轴的两个交点即为表示±

的点．3，2斜边长返回1知识点用勾股定理在数轴上表示实数1．在数轴上找表示无理数的140返回2．(中考·台州)如图，数轴上的点O，A，B分别表示数0，1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M表示的数是(

) B.C. D.B返回2．(中考·台州)如图，数轴上的点O，A，B分别表示数01413．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点A，B在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为(

)A．2 B.C.

D.C返回3．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点A，B在142返回4．(中考·吉林)如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为________．(－1，0)返回4．(中考·吉林)如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)143返回5．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，且PP1＝1，得OP1＝

；再过P1作P1P2⊥OP1，且P1P2