数学史概论第八讲：代数学的新生

数学史

代数学的新生

在18世纪后半叶，数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿新的变革．

当时数学家们面临一系列数学发展进程中自身提出的、长期悬而未决的问题，其中最突出的是：

1．高于四次的代数方程的根式求解问题；

2．欧几里得几何中平行公理的证明问题；

3．牛顿、莱布尼茨微积分算法的逻辑基础问题.

在19世纪初，这些问题已变得越发尖锐而不可回避．它们引起数学家们集中的关注和热烈的探讨，并导致了数学发展的新突破．数学在19世纪跨入了一个前所未有、突飞猛进的历史时期．

本章要介绍的是代数学中的革命性变化。

8.1代数方程的可解性与群的发现

8.1.1问题的提出

中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问．直到19世纪初，代数学研究仍未超出这个范围．不过这时数学家们的注意力集中在了五次和高于五次的代数方程上．

数学家自然要考虑一般的五次或更高次的方程能否像二、三、四次方程一样来求解，也就是说对于形如

011nnnaxax(其中)的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算的公式得到呢?5n

在解出三、四次方程后的整整两个半世纪内，很少有人怀疑五次或五次以上方程根式求解的可能性．但是所有寻求这种解法的努力都失败了．历史上，第一个明确宣布“不可能用根式解四次以上方程”的数学家是拉格朗日．

拉格朗日在1770年发表的《关于代数方程解的思考》一文，讨论了在他之前人们所熟知的解二、三、四次方程的一切解法，并且指出这些成功解法所根据的情况对于五次及更高次方程是不可能发生的．拉格朗日试图得出这种不可能性的证明，然而经过顽强的努力(他的论文长达200页)之后，拉格朗日不得不坦言这个问题“好象是在向人类的智慧挑战”．

迎接这一挑战的是在拉格朗日的文章发表过后半个多世纪，来自挪威的一位年青人．1824年，年仅22岁的数学家阿贝尔自费出版了一本小册子《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》，在其中严格证明了以下事实：

5nnaaa,,,21

如果方程的次数

，并且系数

看成是字母，那么任何一个由这些字母组成的根式都不可能是方程的根．

他还考虑了一些特殊的能用根式求解的方程，其中的一类现在被称为“阿贝尔方程”．在这一工作中，他实际上引进了“域”(field)这一重要的近世代数概念．

8.1.2阿贝尔与一般五次方程的不可解性

阿贝尔出生在挪威奥斯陆附近的芬岛，父亲S．G．阿贝尔(Abel)是个牧师．幼时，他就显露出数学上的才能．但是家庭的极端贫困，使他未能受到系统的教育．

•1815年，年仅13岁的阿贝尔进入奥斯陆的一所教会学校学习．起初，学校里缺乏生机的教育方法没有引起他对数学的兴趣．15岁(1817)时，他幸运地遇到一位优秀数学教师

洪堡(Holmboё)．后者在数学上的最大贡献也正是发现并培养了这位数学天才．

•良师耐心细致的教诲，唤起了他学习数学的愿望，使他对数学产生了兴趣．阿贝尔迅速学完了初等数学课程．然后，他在洪堡的指导下攻读高等数学，同时还自学了许多数学大师特别是欧拉(Euler)、拉格朗日(Lagran-ge)和高斯(Gauss)的著作．

•阿贝尔在中学最后两年时间里，如何求解五次方程问题吸引着他．在研读拉格朗日、高斯关于方程论著作的基础上，按高斯对二项方程的处理方法，着手探讨了高次方程的可解性问题．最初，他自认为解五次方程已获成功．洪堡与奥斯陆大学教授汉森丁(Hansteen)两人都看不出所以然，又找不出论证中的破绽．后来，只好把这篇文章寄给丹麦数学家德根(Degen)，请求他帮助在丹麦科学院出版．

•德根教授也没有发现论证本身的任何错误，只是要求阿贝尔用例子说明他的方法，并建议他把精力放到椭圆积分的研究上去．阿贝尔获悉德根的答复后，立即着手构造五次方程解的例子．但结果失望地发现，他的方法是错误的．另外，他还接受了德根关于搞椭圆积分的建议，不多几年内就基本完成了他关于椭圆函数的理论．

•1821年秋，阿贝尔在一些教授资助下进入了奥斯陆大学．大学期间他把主要精力用在进一步研究上，他写出了许多有价值的论文．1823年，他完成了一篇题为“用定积分解某些问题”

中首次给出了积分方程的解，这是历史上出现最早的积分方程，但长时期没有引起人们的重视．

•1824年，他证明了五次或五次以上的代数方程没有一般的用根式求解的公式．该证明写进了“论代数方程——证明一般五次方程的不可解性”的著名论文中，从而结束了一般代数方程求根式通解的企图．他深知其结果的重要性，决定先以小册子形式自费出版它．为了节省经费，他把小册子压缩到6页，叙述很简洁，以致许多学者难以读懂．“数学王子”高斯也不相信一个青年能用这么短的篇幅，解决连他本人都尚未解决的难题．总之，这篇论文在当时没有得到任何一位外国数学家的重视．

•1825年，阿贝尔大学毕业．他到了德国柏林．结识了一位很有影响的工程师克雷尔(Crelle)．克雷尔虽不是数学家，但对数学有浓厚的兴趣．克雷尔于1826年创办了著名的数学刊物《纯粹与应用数学》杂志后被称为克雷尔杂志．它的第一卷刊登了5篇阿贝尔的文章，其中有关于一般五次方程不能用根式求解的证明．克雷尔杂志头三卷发表了阿贝尔包括方程论、无穷级数、椭圆函数等方面的开创性论文．从此，欧洲大陆数学家才开始注意他的工作．

•1826年7月，阿贝尔从柏林来到巴黎，他写了一篇题为“关于一类极为广泛的超越函数的一个一般性质”的文章，于1826年10月30日提交给法国科学院．当时科学院的秘书傅里叶(Fourier)读了论文的引言，然后委托勒让德和柯西对论文作出评价．这篇论文很长而且难懂，因为它包含了许多新概念．柯西把它放在一边，醉心于自己的工作．勒让德也把它忘了．

•1827年5月20日，阿贝尔回到奥斯陆．回国后更失望，仍然没有找到职位的希望，他不得不靠作家庭教师维生．在贫病交迫中，他并没有倒下去，仍在坚持研究，取得了许多重大成果．他写下了一系列关于椭圆函数的文章.•1829年4月6日晨，这颗耀眼的数学新星便过早地殒落了。阿贝尔死后两天，克雷尔的一封信寄到，告知柏林大学已决定聘请他担任数学教授。

•此后荣誉和褒奖接踵而来，1830年6月28日，他和雅可比(Jacobi)共同获得了法国科学院大奖．

8.1.3伽罗瓦与置换群

在阿贝尔的工作之后，数学家所面临的一个问题就是：什么样的特殊方程能够用根式来求解?这个问题稍后被一位同样年青的法国数学家伽罗瓦(1811-1832)解决．

伽罗瓦

伽罗瓦在1829—1831年间完成的几篇论文中，建立了判别方程根式可解的充分必要条件，从而宣告了方程根式可解这一经历了三百年的难题的彻底解决．

伽罗瓦的思想是将一个

次方程

n011nnnaxax的

个根(由代数基本定理可知)作为一个整体来考察，并研究它们之间的排列或称“置换”．

nnxxx,,,21

为了容易理解起见,我们以四次方程的四个根

为例，在包含这些

的任何表达式中交换

和

就是一个置换，用

4321,,,xxxxix1x2x431243211xxxxxxxxP来表示．另一个置换用

214343212xxxxxxxxP表示．第一个置换后再实行第二个置换，等价于实行第三个置换

213443213xxxxxxxxP

)

，由第

直接变换

.我们说头两个置换按上述顺序作成的“乘积”就是第三个置换，即对于四次方程的情形，易知共有4!=24个可能的置换．这些置换的全体构成一个集合，而其中任意两个置换的乘积仍是原来集合中的一个置换，伽罗瓦称之为“群”。伽罗瓦正是利用他提出的群的概念来解决方程根式可解性问题的．

1

进一步考虑一个方程根的置换群中某些置换组成的“子群”(最大正规子群)。

的全部有理系数有理分式的集合．这个集合，现在叫方程的“基本域”，并

,Q为有理数域．

设法找到一个方程的根的以

的元素为系数的代数关系式,且对“子群”

中的一切置换保持不变．由最大正规子群的性质判断方程的可解性

我们以四次方程为例来说明这个重要的概念．

F设方程

024qpxx其中

是独立的，令

是

的有理表达式形成的域(基本域)，

qp,Fqp,这个方程的四个根：

,24,242221qppxqppx,24,242423qppxqppx是我们已经知道的，并且容易看出这些根的系数在

中的下列两个关系成立：

F.0,04321xxxx可以验证，在方程根的所有24个可能置换中，下面8个置换

43214321xxxxxxxxE431243211xxxxxxxxE342143212xxxxxxxxE341243213xxxxxxxxE214343214xxxxxxxxE2413443215xxxxxxxxE124343216xxxxxxxxE123443217xxxxxxxxE都能使上述两个关系在

中保持成立，并且这8个置换是24个置换中，使根之间在域

中的

代数关系

都保持不变的仅有的置换．

这8个置换就是方程在域

中的群，即伽罗瓦群．

FFF.0,04321xxxx

需要指出，保持根的代数关系不变，就意味着在此关系中根的地位是对称的．因此，伽罗瓦群刻画了方程的根的对称性．伽罗瓦于是指出，方程的群(即伽罗瓦群)与它是否根式可解存在着本质联系，对方程的群的认识，是解决全部根式可解问题的关键．伽罗瓦证明，当且仅当方程的群满足一定的条件(即方程的群是可解群)时，方程才是根式可解的，也就是说他找到了方程根式可解的充分必要条件．

在伽罗瓦之前，拉格朗日已经讨论过方程根的置换,并意识到置换理论是“整个问题的真正哲学”，但他却未能继续前进．只是伽罗瓦通过引进全新的群的概念，才明确指出了其间的实质联系，从而解决了包括欧拉，拉格朗日等许多大数学家都感到棘手的问题．

伽罗瓦(E.Galois，1811—1832)1811年出生于巴黎附近，他是一个小镇镇长的儿子。刚过十五岁生日，他就显示出非凡的数学天才。他两次报考高等工艺学院，两次落榜，因为他不能满足考官们的死板的要求，他们根本理解不了伽罗瓦的天才。伽罗瓦坚持不懈，终于在1829年进了师范学院，准备当个教师。但第二年因参加反对波旁王朝的“七月革命”而被校方开除，

以后又因参加政治活动被捕入狱．释放后不久，在1832年5月的一天，伽罗瓦在爱情纠葛而挑起的一场手枪决斗中身亡，死时不到21岁．

伽罗瓦

在中学时

伽罗瓦熟练地掌握他那个时候的数学课本，继而攻读勒让德、雅科比和阿贝尔的重要论文，而后搞他自己的数学创作。在他的第十七个年头里，获得很重要的成果，但是，他送给法国科学院的两篇研究报告被法国科学院不可原谅地丢失了，第一次所交论文被柯西遗失了，第二次则被傅立叶遗失，这对他又是一个挫折。1831年1月，伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院。这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作，当时负责审查的数学家泊阿松为理解这篇论文绞尽脑汁。最后结论是“完全不能理解”。

•在伽罗瓦意识到很可能被杀的这场决斗的前夕，他以给一个朋友的信的形式写了他的科学遗嘱。这遗嘱，只有伟大的数学家才能理解，它实际上包含关于群论和方程的所谓伽罗瓦理论。方程的伽罗瓦理论，奠定了群论的概念基础，提供了用根式解代数方程的可能性的判别准则

伽罗瓦的思想大大超出了他的时代．他的工作可以看成是近世代数的发端．这不只是因为它解决了方程根式可解这样一个难题，更重要的是群的概念的引进导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革．

19世纪后半叶，数学家们认识到，“群”可以是一个更加普遍的概念，而不必仅限于置换群．凯莱(A.Cayley)在1849—1854年间指出矩阵在乘法下、四元数在加法下都构成群．1868—1869年间，若尔当(C.Jordan)开展了无限群(即有无限多个元素的群)的系统研究．若尔当的工作又影响克莱因(F.Klein)关于几何分类中的无限变换群的研究．1874—1883年间，挪威数学家李(S.Lie)又研究了无限连续变换群．到19世纪80年代，关于各种不同类型的群的研究使数学家们有了足够的积累来形成抽象群的概念。

经过抽象定义的群，可以理解为一类对象的集合，这些对象之间存在着类似于加法或乘法那样的二元运算关系，这种运算(不妨称它为乘法，用·表示)满足如下的性质：

1．封闭性.集合中任意两个元素的乘积仍属于该集合；

2．结合性．对于集合中任意三个元素

满足结合律

cba,,);()(cbacba3．存在单位元

，使对该集合中任意元素

，有

IaaIaaI4．对该集合中任意元素

，存在唯一的逆元素

，使得

a1a.11Iaaaa

这种定义，在19世纪末已得到公认．在这样定义的群中，集合元素本身的具体内容无关紧要，关键是联系这些元素的运算关系．这样建立起来的一般群论是描写其他各种数学和物理现象的对称性质的普遍工具．

代数学由于群的概念的引进和发展而获得了新生．它不再仅仅是研究代数方程，而更多地是研究各种抽象的“对象”的运算关系.8.2从四元数到超复数

8.2.1哈密顿与四元数

四元数的发现是继伽罗瓦提出群的概念后19世纪代数学最重大的事件．四元数是推广平面复数系结构的产物．

我们知道，向量的概念在物理学上十分重要，力、速度或加速度这些有大小和方向的量都是向量，而人们很早就已知道向量的合成服从平行四边形法则．数学家们发现两个复数相加的结果正好对应于用平行四边形法则相加的向量的和．用复数来表示向量及其运算的一个很大优点，就是人们不一定要几何地作出这些运算，但能够代数地研究它们，就像是曲线的方程能用来表示曲线和研究曲线而带给人们便利一样．

但是数学家不久就发现，复数的利用是受到限制的．例如，当几个力作用于一个物体时，这些力不一定在一个平面上．为了能从代数上处理这些力，就需要复数的一个三维类似物．然而，虽然我们能很容易地用三维笛卡儿坐标表示从原点到该点的向量，但数学家很快认识到，不存在三元数组的运算来表示向量的运算．

对复数的类似推广作出重要贡献的是爱尔兰数学家哈密顿．

哈密顿推广复数的工作是从他把复数处理成实数的有序数偶开始的．哈密顿在1837年发表的一篇文章中指出，复数a+bi不是2+3意义上的一个真正的和，加号的使用是历史的偶然，而a是不能加到bi

上去的，复数a+bi,不过是有序实数偶(a,b)

哈密顿给这种数偶定义了加法和乘法，如：

)),,(),(),(dbcadcba),,(),(),(bcadbdacdcba

并且证明这两种运算具有封闭性、交换性和结合性．

哈密顿下一步试图要做的事就是推广有序实数偶的思想．他考虑会不会有一种三元数组作为复数的三维类似物，它具有实数和复数的基本性质．

但是经过长期的努力之后，哈密顿发现他所要找的新数应包含四个分量，而且必须放弃乘法的交换性．他把这种新数命名为四元数．

哈密顿的四元数形如a+bi+cj+dk,其中a,b,c,d

为实数,i,j,k

满足

,1222kji,,1,jikkikjjkkjiij

两个四元数相乘可以根据上面的规则仿照复数乘法那样去做，例如设

,234,4321kjiqkjip则

,1224612)234)(4321(kjikjikjipq,2241612)4321)(234(kjikjikjiqp

，但哈密顿证明了四元数乘法具有“结合性”．

四元数也是历史上第一次构造的不满足乘法交换律的数系．它本身虽无广泛的应用，但它对于代数学的发展来说是革命性的，从此数学家们可以更加自由地构造新的数系，通过减弱、放弃或替换普通代数中的不同定律和公理(如交换律、结合律等)，就为众多代数系的研究开辟了道路．

在英国数学家中哈密顿(W.R.Hamilton，1805—1865)的声誉仅次于牛顿，而且和牛顿一样，他作为一个物理学家甚至比作为一个数学家在当时更有名．

哈密顿l805年出生于都柏林。才一岁时，就被委托给一个叔叔教育，这位叔叔热心给他侧重在语言上的教育。哈密顿是个神童，他在十三岁时，就能流利地讲十三种外文。他逐步喜爱上了古典文学，沉醉于诗的写作，然而没有真正的成就。

哈密顿

直到15岁，哈密顿的兴趣才转变，爱上了数学。这变化是由他认识美国快速心算家科尔伯恩(ZerahColburn)引起的。不久以后，哈密顿偶尔见到牛顿《通用算术》的抄本。他贪婪地读它，然后又掌握解析几何和微积分。继而，他读牛顿(Newton)的《自然哲学的数学原理》并接着读欧洲大陆的数学巨著。他读了拉普拉斯的《天体力学》，指出其中一个数学错误，1823年，他写了一篇关于这件事的论文，受到相当的注意。第二年，他进了都柏林的三一学院。

哈密顿在大学的经历是独一无二的:□1828年，当他才21岁还是大学生时，就无异议地被任命为爱尔兰的皇家天文学者、邓辛克天文台台长和大学的天文学教授。

□不久以后，仅从数学理论方面，预见到二轴晶体中圆锥形的折射，后来，由物理学家们戏剧般地从实验上加以肯定。

□1833年，他把自己有价值的论文送给爱尔兰科学院，在这篇论文中，复数的代数被看作有序实数对的代数。

□1835年，他被封为爵士。

继他1833年的论文之后，哈密顿许多年断断续续地考虑实数的有序三元数组和有序四元数组的代数，但总是在如何定义乘法，使得保持人们熟悉的运算定律上处于困境。

最后，在1843年一闪念间[那时，他正在都柏林城外皇家运河边散步，直觉地想到：要求得太多了，必须牺牲交换律，于是，四元数的代数，第一个非交换的代数，突然诞生．

在生命的最后二十多年中，哈密顿花费了大部分时间和精力推演其四元数，他认为这将在数学物理中引起巨大的变革。他的伟大著作《论四元数》发表于1853年.四元数这个课题曾一度获得许多坚定的支持者。但是，由于后来有了美国物理学家和数学家、耶鲁大学的吉布斯的更方便的向量分析，有了格拉斯曼的更一般的有序n元数组，四元数理论被淹没而成为数学史上一件有趣的古董．

物理学者常见到哈密顿的名字:哈密顿函数和动力学的哈密顿—雅科比微分方程;在矩阵理论中的哈密顿—凯利定理;在数学游戏中，有在十二面体上玩的哈密顿博奕。

8.2.2格拉斯曼超复数（

N维向量空间）

在哈密顿之后，各种新的超复数像雨后春笋般涌现出来．一位德国数学家格拉斯曼(H.G.Grassmann)也在对复数作出推广．与哈密顿相比，格拉斯曼的推广更为大胆，1844年，格拉斯曼出版了他的《线性扩张论》．但由于他把神秘的教义和本来就抽象难懂的数学内容揉合在一起，再加上语言晦涩，所以这本书影响很小．直到1862年，格拉斯曼对他的书作了修订、简化，他的理论的独创性才逐渐为人所知．

n

格拉斯曼

HermannGrassmann

格拉斯曼实际上涉及的是n维

向量空间．他所说的“扩张的量”就是一种有n个分量的超复数。格拉斯曼定义了两个超复数的加减法和两种乘法，一种称为内积，另一种称为外积。对于外积，没有交换律。

将四元数改造成物理学家所需要的工具的第一步，是由英国数学物理学家麦克斯韦迈出的．他区分了四元数的数量部分和向量部分．在—个四元数

dkcjbia中，称

为数量部分，称

为向量部分．

adkcjbi

麦克斯韦

三.

布尔代数19世纪中后叶，代数学还开拓了另一个完全不同的领域，即布尔代数。前奏--莱布尼茨的工作：早在17世纪，莱布尼兹就试图建立一种推理代数，通过演算完成一切正确的推理过程。莱布尼茨已经直接或间接地有了我们现在所说的逻辑加法、乘法、等同、否定和空集等这样一些概念，他还注意到需要研究一些抽象关系，如包含、等价关系等，并认识到一些关系的对称性和传递性等。但是莱布尼兹并没有完成这项工作。莱布尼茨的思想在两个世纪后才获得实质性进展。英国数学家布尔的逻辑代数即现今所称的“布尔代数”基本上完成了逻辑的演算工作。三、布尔代数布尔代数：布尔的逻辑代数思想主要集中在他的两部著作《逻辑的数学分析》(1847)和《思维规律研究》(1854)中。布尔的逻辑代数建立于“谓词量化”的基础上.

首先是作为一种类演算建立起来的,

后来,

布尔又对它作了命题演算和概率演算的解释.

就是我们现在所说的集合.布

尔(G.Boole,1815-1864)1835年，他在林肯市创办了一所中学，一面教书，一面自修高等数学，先后攻读了牛顿的《自然哲学的数学原理》，还搞懂了拉格朗日的《解析函数论》和拉普拉斯的《天体力学》，当时被认为是最深奥的学问，足以证明他自学取得的成功。布尔(英，1815-1864年)，数学、逻辑学家，家境不富裕，小学毕业后就扛起了养家糊口的重任，通过自学掌握了拉丁语、希腊语、意大利语、法语和德语。*1839年，24岁的布尔决心尝试受正规教育，并申请进剑桥大学.当时《剑桥数学杂志》的主编格雷戈里(Gregory)表示反对他去上大学，他说:“如果你为了一个学位而决定上大学学习，那么你就必须准备忍受大量不适合于习惯独立思考的人的思想戒律。这里，一个高级的学位要求在指定的课程上花费的辛勤劳动与才能训练方面花费的劳动同样多。如果一一个人不能把自己的全部精力集中于学位考试的训练，那么在学业结束时，他很可能发现自已被淘汰了。”于是，布尔放弃了受高等教育的念头。*布尔写了许多论文，1844年发表了“关于分析中的一般方法”的文章，为他在数学上确立了最初的声誉，获得皇家学会的奖章。

*1849年，34岁的布尔分别获得牛津大学和都伯林大学的名誉博士学位，随即被聘为爱尔兰科克皇后学院(今爱尔兰大学)的数学教授。从此，他才有了比较安稳的生活保证。他保持这个职位一-直到15年后患病逝世为止，在此期间，他于1857年被推选为皇家学会会员。布尔最小的女儿莉莲便是受到广泛阅读的小说《牛虻》的作者伏尼契。*布尔的研究大致可分为逻辑和数学两部分，在数学上的成就是多方面的，在逻辑方面，他的主要贡献就是用一套符号来进行逻辑演算，即逻辑的数学化。

*大约200年以前，莱布尼茨曾经探索过这一一问题，但最终没有找到精确有效的表示方法。因为它牵涉到改进亚里士多德的工作，而人们对于改进亚里士多德的工作的尝试总有点犹豫不决。

*布尔凭着他卓越的才干，创造了逻辑代数系统，从而基本上完成了逻辑的演算工作。*布尔一生共发表了50篇学术论文和两部教科书。

*布尔以自学取得成就而著称于世，被罗素描写成纯粹数学的发现者，成为19世纪数理逻辑的最杰出代表。

*以他的名字命名的布尔代数今天已发展为结构极为丰富的代数理论，并且无论在理论方面还是在实际应用方面都显示出它的重要价值。

*特别是近几十年来，布尔代数在自动化系统和计算机科学中已被广泛应用。1、0-1律A*0=0A+1=12、自等律A*1=AA+0=A3、等幂律A*A=AA+A=A4、互补律A*Ā=0A+Ā=15、交换律A*B=B*AA+B=B+A6、结合律A*（B*C）=（A*B）*CA+

（

B+C

）

=

（

A+B

）+C7、分配律A（B+C）=AB+ACA+BC=（A+B）（A+C）8、吸收律1（A+B）（A+B）=AAB+AB=A9、吸收律2A（A+B）=AA+AB=A10、吸收律3A（Ā+B）=ABA+ĀB=A+B11、多余项定律(A+B)(Ā+C)（B+C）=（A+B）（A+C）AB+AC+BC=AB+AC12、否否律（Ā）=A13、求反律AB=

Ā+BA+B=

Ā*B布尔代数的基本公式布尔代数的改进和发展：杰文斯去掉了布尔要求的相加的类必须不相交的限制；皮尔斯则区分了命题和命题函数,

并引入了两个变量的命题函数；施罗德的三大卷《逻辑代数讲义》(1890-1905),

更是将布尔代数发展到了顶峰。1879年，德国数学家弗雷格开创了数理逻辑研究的另一种传统，即数学基础传统。他的目标不是把数学应用