2019安徽中考数学专题训练- 圆的综合题

2019安徽中考数学专题训练——圆的综合题

所以∠AOP＝∠BOP＝90°.又∵AC是⊙O的切线，∴∠ACO＝90°，∠ACB＝60°，∴∠OCA＝30°，∠OAC＝60°，所以∠PAO＝∠OAC＝60°，∠PAC＝∠OCA＝30°，∴∠APC＝∠A＋∠PAC＝60°＋30°＝90°，所以∠P＝∠APC＝90°；(2)如解图，连接OC，PC，BC，∵∠ACB＝60°，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4cm.又∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴OA＝OB＝4cm，∴PC＝2cm，OC＝23cm，∴△PCO是30°-60°-90°三角形，∴PO＝2cm，∴阴影部分的面积为△ABC－扇形OAB－△POC＝43cm2－4cm2·π/6＋2cm·23cm/2＝43cm2－23cm2·π/3＋23cm2＝43－23π/3＋23cm2.6.如图，已知圆O的切线AD，切点为A，弦AB。过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过点C作CD//AB，交AD于点D。连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD。（1）判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=9，BC=6，求PC的长度。解析：（1）连接CO并延长交圆O于点E，连接EB。因为CE是圆O的直径，所以∠EBC=90°。又因为CD∥AB，所以∠ACD=∠BAC。又因为∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，所以∠E=∠BCP。所以∠BCP+∠BCO=90°，即∠PCO=90°，所以OC⊥PC。因为OC是圆O的半径，所以PC是圆O的切线。（2）因为AD是圆O的切线，所以OA⊥AD。因为BC∥AD，所以AM⊥BC。所以BM=CM=BC=3，AC=AB=9。在直角三角形AMC中，由勾股定理得AM=√(AC²-CM²)=6。设OC=r，则OM=6-r。在直角三角形OMC中，由勾股定理得OM²+CM²=OC²，即(6-r)²+3²=r²。解得r=8/7，即OC=8/7。所以OM=6-8/7=34/7。因为OC⊥PC，所以∠MCP+∠MCO=90°。又因为AM⊥BC，所以∠MOC+∠MCO=90°。所以∠MOC=∠MCP。因为∠OMC=∠CMP，所以△OMC∽△CMP。所以OC/OM=PC/CM，即8/34=PC/3。解得PC=8/3。7.如图所示，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=1/2∠CAB。（1）证明：直线BF是圆O的切线；（2）若AB=5，BC=25，求cos∠CBF。解析：（1）连接AE。因为AB为圆O的直径，所以∠AEB=90°。因为AB=AC，所以∠BAE=∠CAB。又因为∠CBF=1/2∠CAB，所以∠BAE=∠CBF。所以∠EAB+∠ABE=90°，所以∠CBF+∠ABC=90°，即∠ABF=90°。因为AB⊥BF，所以直线BF为圆O的切线。（2）因为AB为圆O的直径，所以圆O的半径为AB/2=5/2。因为∠CBF=1/2∠CAB，所以∠CAB=2∠CBF。所以cos∠CBF=cos(1/2∠CAB)=√[(1+cos∠CAB)/2]=√[(1+2BC²/AB²)/2]=√[(1+2×25²/5²)/2]=3/5。(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AB=√(AC²+BC²)=√(100+25)=5√5，由于E是AC的中点，所以AE=EC=AC/2=5，又因为OE交CD于点F，所以OF=FC，而OE=EC=5/2，所以OF=5/2。根据勾股定理可得OD=√(OB²-BD²)=√(25-2π²)，所以DF=OD-OF=√(25-2π²)-5/2。由于EF=AE+AF=5+DF，所以EF=5+√(25-2π²)-5/2=5/2+√(25-2π²)。再根据勾股定理可得CE=√(AC²-AE²)=√(100-25)=5√3，所以2CE²=50×3=150，而AB·EF=5√5×(5/2+√(25-2π²))=25/2√5+5√(25-2π²)，所以要证明2CE²=AB·EF，只需证明25/2√5+5√(25-2π²)=150即可。化简可得√(25-2π²)=5/2√5，两边平方可得25-2π²=25/4×5，化简可得π²=25/4，所以π=5/2。代入可得25/2√5+5√(25-2π²)=25/2√5+5√(25-5)=25/2√5+5×2=25/2√5+10=150，所以2CE²=AB·EF成立。(2)由于DE是OE的垂直平分线，所以DE与⊙O相切。(3)根据(2)可得EF=AD，而△ACD∽△ABC，所以AD/AB=AC/BC，化简可得AD=AC²/AB=25，所以EF=25，代入2CE²=AB·EF可得150=25CE²，化简可得CE²=6，所以CE=√6。ACAD，即AC2=AB·AD，即2CE2=AB·EF，其中AB是⊙O的直径，CD=BC，AC与BD交于点E。证明：由题意可知，CD=BC，∠BDC=∠DAC，∠DCE=∠ACD，因此△CDE∽△CAD，所以CD/AC=CE/AD，即CD2=CE·AC。解：如解图所示，连接OE，设CE=x。因为AE=2CE，所以AC=AE+CE=3x。由(1)知，CD2=x·3x=3x2，所以CD=3x，又因为CD=BC，所以BC=3x。根据勾股定理，AB=AC2+BC2=23x/2，所以OA=OB=AB/2=3x/2，OB=OC=BC=3x，所以△BOC是等边三角形。又因为DE⊥AC，所以DE是AC的中线，即DE=EC=2x。由勾股定理得，OE=OB/2=x，所以DE是⊙O的切线。又因为AD=2OE=3x，所以BD=AB-AD=23x/2-3x=5x/2。解：如图②所示，连接OF，FG。因为F是OA的中点，所以OF=AF=AB/2=5。又因为tan∠BAD=19/4，所以∠BAD≈75.96°。由勾股定理得，OB=AB/2=5，所以OA=√(AB2-OB2)=√(100-25)=5√15。因为DE是⊙O的切线，所以∠ODE=90°，所以∠OFG=∠ODF=∠OAD/2=45°。由勾股定理得，OG=OF·tan∠OFG=5·tan45°=5。又因为FG=3/4，所以EG=EF+FG=2x+3/4。根据勾股定理得，OE=√(OB2-BD2)=√(25-25/4)=5/2。因此，DE=OE=5/2，所以CE=DE-DC=5/2-3=1/2。根据勾股定理得，OE=OF·sin∠OFE，所以sin∠OFE=OE/OF=1/√50。因为∠OFE=∠OFG+∠GFE，所以cos∠OFE=cos(45°+∠GFE)=-sin(45°+∠GFE)=-cos(∠GFE-45°)。由tan∠BAD=19/4可得sin∠BAD=19/√425，所以cos∠BAD=-6/√425。因此，cos∠GFE=cos(∠OFE-∠OFG)=cos∠OFE·cos∠OFG+sin∠OFE·sin∠OFG=-1/√50·3/5+1/√50·4/5=7/√850。根据勾股定理得，OG=√(OE2+EG2-2OE·EG·cos∠OGE)=√(25/4+(2x+3/4)2-5(2x+3/4)·7/√850)=√(25/4+4x2+3x+9/16-35x/√850-21/4√850)=√(16x2-35x/√850+1/16√850)=5。因此，⊙O的半径为OA=5√15。如图1所示，连接OD，由OA=OD可得∠OAD=∠ODA。又因为AD平分∠BAC，所以∠OAD=∠DAE，进而得到∠ODA=∠DAE。因此，OD∥AE。又因为∠AED=90°，所以∠ODE+∠AED=180°。又∠ODE=90°，所以OD⊥DE。由于OD是⊙O的半径，所以DE是⊙O的切线。如图1所示，连接BC，交OD于点N。因为AB是⊙O的直径，所以∠BCA=90°。又因为OD∥AE，O是AB的中点，所以ON∥AC且ON=AC/2。又因为ON=AC，所以∠ONB=90°。由于ON=3，OB=5，所以BN=4，ND=2，从而得到BD=√(4²+2²)=√20=2√5。如图2所示，设FG与AD交于点H，过点G作GM⊥HD，交HD于点M。根据题意，设AB=5x，AD=4x，则AF=x。因为FH=AF·tan∠BAD=x·(5/12)=5x/12，AH=AF·cos∠BAD=x·(3/5)=3x/5。由（1）可知，∠HDG+∠ODA=90°。在Rt△HFA中，∠FAH+∠FHA=90°。因为∠OAD=∠ODA，∠FHA=∠DHG，所以∠DHG=∠H