内蒙古自治区呼和浩特市第三十中学高三数学理上学期期末试题含解析

内蒙古自治区呼和浩特市第三十中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知某算法的程序框图如图，若将输出的（x，y）值一次记为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…，（xn，yn）…若程序进行中输出的一个数对是（x，﹣8），则相应的x值为（） A．80 B． 81 C． 79 D． 78参考答案：B略2.直线与圆相切，则圆的半径最大时，的值是（

）A．

B．

C．

D．可为任意非零实数参考答案：C略3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，，点P为CC1的中点，则异面直线AP与C1D1所成角的正切值为(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，利用空间向量夹角余弦公式求出夹角余弦，再利用同角三角函数的关系可求所成角的正切值.【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，,设异面直线与所成角为，则，，，异面直线与所成角正切值为，故选A.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于基础题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.4.复数（其中为虚数单位）的虚部是（

）

参考答案：C化简得，则虚部为，故选5.已知曲线的极坐标方程为.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线的参数方程为____________.参考答案：6.某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长度：，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）()A.

B.C.

D.300参考答案：A7.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A．13π

B．20π

C.25π

D．29π参考答案：D8.复数z满足，则z等于

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略9..设集合M={-1,0,1}，N={x|x2=x}，则M∩N=A.{-1，0，1}

B.{0,1}

C.{1}

D.{0}参考答案：

M={-1,0,1}M∩N={0,1}【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出，再利用交集定义得出M∩N.10.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（）A. B. C. D.参考答案：C记个红球分别为，个黑球分别为，则随机取出两个小球共有种可能：，其中两个小球同色共有种可能，，根据古典概型概率公式可得所求概率为，故选C.【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，在梯形ABCD中，∠A＝，，BC＝2，点E为AB的中点，则____________．参考答案：以B为原点，BC为x轴，AB为y轴建系，，，，，∴，，所以．12.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是

。参考答案：略13.若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则

▲

.参考答案：14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数）．则点到曲线上的点的距离的最小值为

．

参考答案：4：由点的极坐标为，得点的直角坐标即M（4，4），由曲线的参数方程（为参数），消去参数得普通方程为：，∴圆心为A（1，0），半径r=1，由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离的最小值为．15.已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为___________.参考答案：略16.已知函数的图象为，则如下结论中正确的序号是______________。①图象关于直线对称；②图象关于点对称；③函数在区间上是增函数；④将的图象向右平移个单位长度可以得到图象．参考答案：①②略17.展开式的各项系数之和大于8且小于32,则=,展开式中的常数项是.参考答案：

4

,6

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.定义数列如下：求证：（Ⅰ）对于恒有成立；（Ⅱ）（1）；（2）．参考答案：证明：（1）因为[来源:学#科#网Z#X#X#K]因为，所以由归纳法可知

………..4分（2）由得：

…

…

以上各式两边分别相乘得：，又

………..7分

又

又

原不等式得证。

………..15分19.设函数f（x）=emx+x2﹣mx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有f（x1）﹣f（x2）≤e﹣1，求m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的导数，通过m的范围，判断导函数的符号，推出函数的单调区间．（2）利用函数的单调性，判断函数的极值，转化对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有f（x1）﹣f（x2）≤e﹣1，得到不等式组，即可求解m的范围．【解答】（本题满分12分）解：（1）函数f（x）=emx+x2﹣mx，可得f′（x）=m（emx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的要条件是，即，①令g（x）=ex﹣x，则g（x）=ex﹣1，g（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0单调递减，不妨设g（x0）=e﹣1，因为，所以x0∈（﹣2，﹣1），所以，综上，m的取值范围为[﹣1，1]．【点评】本题考查导数与函数的单调性的判断单调区间的求法，考查分析问题解决问题的能力、转化思想以及分类讨论思想的应用．20.（本小题满分14分）等比数列满足的前n项和为，且（1）求；（2）数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.参考答案：（Ⅰ），所以公比

…2分

得

,……4分所以………5分

……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知

于是……………9分

假设存在正整数，使得成等比数列，则，…11分整理得，

解得或

,由，得，

因此，存在正整数，使得成等比数列

……14分21.已知椭圆的离心率为,且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若,求的最大值.参考答案：解：(1)由题意，，又…2分解得,椭圆的标准方程为……………4分(2)设直线AB的方程为，设联立，得

----------①

…………6分

…7分=

…8分

…9分

略22.已知如图5，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1,AB=2,,.(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥D－PAC的体积；(3)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．

图5参考答案：(1)证明：∵ABCD为矩形∴且--------------------------------------1分∵

∴且

--------------------2分∴平面,又∵平面PAD∴平面平面-----------------------------------------5分(2)∵----------------------------------7分由（1）知平面，且

∴平面-------------8分∴----10分（3）解法1：以点A为坐标原点，AB所在的直线为ｙ轴建立空间直角坐标系如右图示，则依题意可得,,可得,----------------------------12分平面ABCD的单位法向量为，设直线PC与平面ABCD所成角为，则∴，即直线P