新湘教版高中数学选择性必修·第二册1.2.1几个基本函数的导数(共22张PPT)

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1．2.1几个基本函数的导数

新知初探·课前预习

题型探究·课堂解透

新知初探·课前预习

教材要点

要点一常见幂函数的导数

批注是学习本章后面知识的基础．

原函数导函数

f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝________

f(x)＝xf′(x)＝________

f(x)＝x2f′(x)＝________

f(x)＝f′(x)＝________

f(x)＝f′(x)＝________

0

1

2x

－

要点二基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝________

f(x)＝xα(α≠0)f′(x)＝________

f(x)＝sinxf′(x)＝________

f(x)＝cosxf′(x)＝________

f(x)＝exf′(x)＝________

f(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axlna

f(x)＝lnxf′(x)＝________

f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝

0

αxα－1

cosx

－sinx

ex

批注

(1)若函数式中含有根式，一般将其转化为分数指数幂的形式，再利用f(x)＝xα(α≠0)的导数公式解决．

(2)记忆正弦函数、余弦函数的导数时，一要注意函数名的变化，二要注意符号的变化．

基础自测

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)(sin)′＝cos.()

(2)因为(lnx)′＝，所以()′＝lnx．()

(3)若f′(x)＝sinx，则f(x)＝cosx．()

×

×

×

2．f(x)＝，则f′(－2)＝()

A.4B．C．－4D．－

答案：D

解析：f′(x)＝－，所以f′(－2)＝－＝－.

3．函数f(x)＝ex，则f′(0)＝()

A．0B．1

C．2D．e

答案：B

解析：因为f(x)＝ex，所以f′(x)＝ex，所以f′(0)＝e0＝1.

4．设函数f(x)＝sinx，则f′(－)＝________．

答案：

解析：因为f(x)＝sinx，所以f′(x)＝cosx，

所以f′＝cos＝cos＝.

题型探究·课堂解透

题型1利用导数公式求函数的导数

例1求下列函数的导数：

(1)y＝；

(2)y＝；

(3)y＝4x；

(4)y＝1－2sin2.

解析：

(1)由y＝，得y＝x－3，所以y′＝－3x－4＝－.

(2)由y＝，得y＝，所以y′＝.

(3)由y＝4x，得y′＝4xln4＝2·4xln2＝22x＋1ln2.

(4)因为y＝1－2sin2＝cosx，所以y′＝－sinx．

方法归纳

利用导数公式求函数的导数的策略

巩固训练1

若f(x)＝x3，g(x)＝log3x，则f′(x)－g′(x)＝________．

答案：3x2－

解析：∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝，

∴f′(x)－g′(x)＝3x2－.

题型2求函数在某点处的导数

例2(1)求函数f(x)＝在(1，1)处的导数；

(2)求函数f(x)＝cosx在()处的导数．

解析：

(1)f′(x)＝()′＝，∴f′(1)＝.

(2)f′(x)＝(cosx)′＝－sinx，∴f′＝－sin＝－.

方法归纳

求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤

巩固训练2

已知f(x)＝，且f′(1)＝－，求n.

解析：由题设，f′(x)＝)′＝－·，

∴f′(1)＝－＝－＝－，可得n＝4.

题型3利用导数公式解决与切线有关问题

例3若函数f(x)＝lnx＋a(a>0)，函数g(x)＝ex.

(1)若函数f(x)在x＝1处的切线与坐标轴围成的面积为，求实数a的值；

解析：

(1)由已知f′(x)＝，则f′(1)＝1，又f(1)＝a，

所以函数f(x)在x＝1处的切线为y＝x＋a－1，

当x＝0时，y＝a－1，当y＝0时，x＝1－a，

则×|a－1|×|1－a|＝，又a>0，解得a＝2.

(2)若直线y＝kx与f(x)，g(x)的图象都相切，求实数a的值．

解析：(2)由已知f′(x)＝，g′(x)＝ex，

设直线y＝kx与f(x)，g(x)的图象相切的切点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

则＝＝k，所以x1＝，x2＝lnk，

可得直线y＝kx与函数f(x)＝lnx＋a的切点为(，1)，

直线y＝kx与函数g(x)＝ex的切点为(lnk，klnk)，∴，解得a＝2.

方法归纳

利用导数的几何意义解决切线问题的两种类型

巩固训练3已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．

解析：因为y′＝(x2