人教版高中数学选择性必修第一册第第三章圆锥曲线基础达标与能力提升必刷检测卷（含答案）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．

一、单选题

1．（2022·全国高二）过点(－3，2)且与有相同焦点的椭圆方程是（）

A．B．

C．D．

2．（2022·全国高二）已知双曲线的左焦点为F，离心率为，若经过F和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）

A．B．C．D．

3．（2023·全国高二课时练习）已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（）

A．（0，0）B．（2，2）C．D．

4．（2023·江西科技学院附属中学高二月考（文））椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上一动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是（）

A．B．

C．D．

5．（2023·江苏南京·高二月考）已知焦点为，的双曲线的离心率为，点为上一点，且满足，若的面积为，则双曲线的实轴长为（）

A．1B．C．2D．

6．（2023·福建省宁化第一中学高二月考）已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

7．（2023·江西科技学院附属中学高二月考（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（）

A．B．C．D．

8．（2023·全国高二课时练习）已知双曲线：与直线交于，两点，点为上一动点，记直线，的斜率分别为，，的左右焦点分别为，.若，且的焦点到渐近线的距离为1，则（）

A．

B．的离心率为

C．若，则的面积为2

D．若的面积为，则为钝角三角形

多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9．（2023·全国高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2=2y的焦点的直线l与抛物线的两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则()

A．y1y2=

B．以AB为直径的圆与直线相切

C．OA+OB的最小值

D．经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上

10．（2023·江苏鼓楼·南京市第二十九中学高二月考）已知双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于点两点，若点满足（为坐标原点），下列说法正确的有（）

A．双曲线的虚轴长为4B．双曲线的离心率为

C．直线与双曲线没有交点D．的面积为8

11．（2023·全国高二课时练习）（多选）已知方程表示曲线，则（）

A．当时，曲线一定是椭圆

B．当或时，曲线一定是双曲线

C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则

D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则

12．（2023·长春市第二中学高二月考（理））已知椭圆：的左右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（）

A．离心率的取值范围为

B．当离心率为时，的最大值为

C．存在点使得

D．的最小值为1

填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（2023·全国高二课时练习）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．

14．（2023·全国高二单元测试）已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________．

15．（2023·天津市第五十五中学高二期中）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.

16．（2023·安徽金安·六安一中高二开学考试（文））已知椭圆与双曲线共焦点，F1、F2分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为，且离心率之积为1.若，则该双曲线的离心率为____________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（2023·江西上高二中高二月考（文））已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

（2）若，求|AB|．

18．（2023·安徽金安·六安一中高二月考（文））已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．

（1）若为等边三角形，求C的离心率；

（2)如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围.

19．（2023·江西上高二中高二月考（文））已知椭圆的离心率，原点到过点，的直线的距离是.

（1）求椭圆的方程；

（2）如果直线交椭圆于不同的两点，，且，都在以为圆心的圆上，求的值.

20．（2023·佛山市南海区狮山高级中学高二月考）已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．

21．（2023·沙坪坝·重庆一中高二月考）已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与相交于两点，与相交于两点，且，求的取值范围.

22．（2023·深州长江中学高二月考）已知直线：与轴交于点，且，其中为坐标原点，为抛物线：的焦点.

（1）求拋物线的方程；

（2）若直线与抛物线相交于，两点(在第一象限)，直线，分别与抛物线相交于，两点（在的两侧），与轴交于，两点，且为中点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值；

（3）在（2）的条件下，求的面积的取值范围.第三章：圆锥曲线基础达标与能力提升必刷检测卷-全解全析

1．A

【详解】

因为焦点坐标为，设方程为，

将代入方程可得，解得，故方程为，

故选：A.

2．B

解：设双曲线的左焦点，离心率，，，

所以双曲线的渐近线方程为，

则经过F和两点的直线的斜率，

则，，则，

双曲线的标准方程：．

故选：B

3．B

如图所示：

设点P到准线的距离为，准线方程为，

所以，当且仅当点为与抛物线的交点时，取得最小值，此时点P的坐标为．

故选：B．

4．C

【详解】

设，由题意可得,

因为是钝角，所以，

所以，

所以，

所以，得，

所以，

故选：C

5．B

由题意，

由双曲线定义可知，

又

又

又

故双曲线的实轴长为

故选：B

6．A

【详解】

取椭圆的右焦点，连接，由椭圆的对称性以及直线经过原点，所以，且，所以四边形为平行四边形，故，又因为，则，而，因此，由于，则，

在中结合余弦定理可得，

故，即，所以，因此，

故选：A.

7．C

【详解】

如图，作于点于点B，因为与圆相切，

所以，

在中，，所以．

又点M在双曲线上，由双曲线的定义可得：

所以，

整理得：，所以，

所以双曲线的渐近线方程为．故选C．

8．D

设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)

则，且，两式相减得，

所以，因为，所以，

故双曲线C的渐近线方程

因为焦点(c，0)到渐近线的距离为1，

所以，，所以，，离心率为，故A，B错误．

对于C，不妨设P在右支上,记则

因为,所以

解得或(舍去）,所以的面积为

，故C不正确；

对于D，设P(x0，y0)，因为，所以，

将带入C：，得，即

由于对称性，不妨取P得坐标为(，2)，则，

因为

所以∠PF2F1为钝角，所以PF1F2为钝角三角形，故D正确

故选：D

9．ABD

【详解】

由题意可知，抛物线的焦点，准线为：，且直线斜率一定存在，

不妨设直线：，

由，

从而，，

所以，故A正确；

因为，

所以由抛物线定义可知，，且中点，

从而到直线的距离为，从而以AB为直径的圆与直线相切，故B正确；

因为当时，易得，，故的值为，故C错误；

由题意,易知直线：，

经过点B与x轴垂直的直线为：，

从而经过点B与x轴垂直的直线与直线OA的交点为，

因为，所以，

所以经过点B与x轴垂直的直线与直线OA的交点为，

即在直线上，故D正确.

故选：ABD.

10．BD

【详解】

由已知，不妨设，，

，，所以，，

因为，所以，

，又，解得或（舍去），，A错；

，，B正确；

双曲线的渐近线为，因此直线与双曲线有一个交点．C错；

由上面讨论知，，所以．D正确．

故选：BD．

11．BD

对于A，当时，曲线是圆，故A错误；

对于B，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，

当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，故B正确；

对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C错误；

对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确．

故选BD．

12．BD

【详解】

由题设，，则，又在椭圆内部，则，即，

∴，故A错误；

当时，有，易得，.

∴由，则，故B正确；

由，即，以原点为圆心，为半径的圆与椭圆无交点，

∴椭圆上不存在点使得，故C错误；

由，当且仅当时等号成立，即为短轴端点取等号，

∴的最小值为1，故D正确.

故选：BD

13．

∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，

又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：

代入抛物线方程消去y并化简得，

解法一：解得

所以

解法二：

设，则,

过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.

故答案为：

14．

如图所示，

由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，

∵∠MAN=60°，

∴|AP|=b，

∴|OP|=．

设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tanθ=．

又tanθ=，

∴，解得a2=3b2，

∴e=．

答案：

15．

方法1：由题意可知，

由中位线定理可得，设可得，

联立方程

可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，

求得，所以

方法2：焦半径公式应用

解析1：由题意可知，

由中位线定理可得，即

求得，所以.

16．

【详解】

设焦距为2c

在三角形PF1F2中，根据正弦定理可得

因为，代入可得

，所以

在椭圆中，

在双曲线中，

所以

即

所以

因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1

即，即

所以

化简得，等号两边同时除以

得，因为即为双曲线离心率

所以若双曲线离心率为e，则上式可化为

由一元二次方程求根公式可求得

因为双曲线中

所以

17．（1）；（2）.

【详解】

（1）设直线方程为：，，

由抛物线焦半径公式可知：

联立得：

则

，解得：

直线的方程为：，即：

（2）设，则可设直线方程为：

联立得：

则

，

，

则

18．

（1）连结，由为等边三角形可知：在中，，，，

于是，

故椭圆C的离心率为；

（2）由题意可知，满足条件的点存在，当且仅当，，，

即①

②

③

由②③以及得，又由①知，故；

由②③得，所以，从而，故；

当，时，存在满足条件的点.

故，a的取值范围为.

19．

解：（1）因为，，所以.

因为原点到直线的距离，解得，.

故所求椭圆的方程为.

（2）由题意消去，整理得.可知.

设，，的中点是，则，，

因为，都在以为圆心的圆上，且，

所以，

所以.即.

又因为，所以.所以.

20．

（1）由得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧，不合题意.

所以直线斜率存在，设直线的方程为.

设、，

由得，

所以，.

因为，

所以，

即，整理得

化简得，

所以直线的方程为，

所以直线过定点.

21．

（1）由题意可知：，

又椭圆的上顶点为，

双曲线的渐近线为：，

由点到直线的距离公式有：，

所以椭圆的方程为．

（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，代入，消去并整理得：

，

要与相交于两点，则应有：

设，

则有：，.

又.

又：，所以有：，

，②

将，代入，消去并整理得：，

要有两交点，则.③

由①②③有：

设、.

有：，

.

将代入有：

.

,