2023年广东省广州市花都区华云学校中考数学一模试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列实数，，相邻两个之间依次多一个，，，中，无理数有()

A.个B.个C.个D.个

2.数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单位长度为，若在数轴上随意画一条长为的线段，则线段盖住的整点的个数为()

A.B.C.或D.或

3.解分式方程，去分母后得到的方程正确的是()

A.B.

C.D.

4.下列各数中互为相反数的是()

A.和B.和C.和D.和

5.下列命题正确的是()

A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B.有一个角是的等腰三角形是等边三角形

C.有一组邻边相等的四边形是菱形

D.对角线相等的四边形是矩形

6.在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的张卡片，分别标有数字、，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为()

A.B.C.D.

7.正多边形内角和为，则该正多边形的每个外角的度数为()

A.B.C.D.

8.下表反映的是某地区电的使用量千瓦时与应缴电费元之间的关系：

用电量千瓦时

应缴电费元

以下说法错误的是()

A.与都是变量，且是自变量，是因变量

B.用电量每增加千瓦时，电费增加元

C.若用电量为千瓦时，则应缴电费元

D.若所缴电费为元，则用电量为千瓦时

9.已知直线：，点在直线上，点，点，若是直角三角形，则点的个数有()

A.个B.个C.个D.个

10.已知如图，在中，，，直角的顶点是边的中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转点不与，重合时，给出以下个结论：；是等腰直角三角形；；；上述结论始终正确的有()

A.个B.个C.个D.个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.若二次根式有意义，则的取值范围是______．

12.方程的两个根分别是：______，______．

13.关于的方程有两个整数根，则整数______．

14.如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的长等于______．

15.如图，在中，，点在边上，，，垂足为，若，则线段的长为______．

16.如图，矩形中，，，点在边上，，为边上一个动点，连结以为一边在的右上方作菱形，使点落在边上，连结．

当菱形为正方形时，的长为______；

在点的运动过程中，的面积的取值范围为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.解方程组．

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.本小题分

点、、、在同一条直线上，，，，求证：．

19.本小题分

如果一个正整数能够表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，

如：

，

，

，

因此，，都是奇特数．

写出第个等式；

设两个连续奇数为和其中取正整数，那么由这两个连续奇数构造的奇特数是的倍数吗？为什么？

20.本小题分

某中学为了提高学生的消防意识，举行了消防知识竞赛，所有参赛学生分别设有一、二、三等奖和纪念奖，获奖情况已绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所经信息解答下列问题：

这次知识竞赛共有多少名学生？

“二等奖”对应的扇形圆心角度数，并将条形统计图补充完整；

小华参加了此次的知识竞赛，请你帮他求出获得“一等奖或二等奖”的概率．

21.本小题分

八年级利用暑假组织学生外出旅游，有名家长代表随团出行，甲旅行社说：“如果名家长代表都买全票，则其余学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括名家长代表在内，全部按票价的折即按全标的收费优惠”，若全票价为元．

当学生人数为多少时，两家旅行社的收费一样？

请你通过计算说明：旅游人数在什么范围时选择甲旅行社费用较少？

22.本小题分

阅读下列材料，并完成相应的任务．

尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形．

如图，在中，小明用尺规作底边的垂直平分线的过程如下：

以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，；

分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；

作射线，则．

根据小明的作图方法在图中作出图形，他得出“”的依据是______．

如图，已知在四边形中，，，求作对角线的垂直平分线，小亮只用直尺作直线，就得到对角线的垂直平分线请你帮小亮说明理由．

如图，已知在四边形中，，请你只用直尺作出边的垂直平分线不写作法，保留作图痕迹

23.本小题分

在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．

的值是______；

点是直线上的一个动点，点和点分别在轴和轴上．

如图，点的坐标为，点的坐标为，若四边形的面积是，求点的坐标；

当平行于轴，平行于轴时，若四边形的周长是，请直接写出点的坐标．

24.本小题分

如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，称为“抛物线系数”．

任意抛物线都有“抛物线三角形”是______填“真”或“假”命题；

若一条抛物线系数为，则其“抛物线三角形”的面积为______；

若一条抛物线系数为，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；

在的前提下，该抛物线的顶点为，与轴交于，两点，在抛物线上是否存在一点，过作轴于点，使得∽？如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由．

25.本小题分

、和均为直线同侧的等边三角形．

如图，当时，四边形为______；

猜想：当满足相应的条件：，其中的一个或两个时，顺次连接、、、四点所能构成的四边形是特殊平行四边形，选择其中的一种情况加以证明．

当满足条件______时，构成的四边形为______，请写出证明过程．

如图，中，，，请直接写出四边形面积的最大值______．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：是分数，属于有理数；

，是整数，属于有理数；

无理数有，相邻两个之间依次多一个，，，共个．

故选：．

理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有，等含的；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．

2.【答案】

【解析】解：依题意可知，

当线段起点在整数点时，能覆盖个数；

当线段起点不在整数点，即在两个整点之间时，能覆盖个数，

故选：．

根据数轴与实数的对应关系，分线段起点在整数点与不在整数点两种情况讨论．

本题考查数轴与实数的对应关系，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

3.【答案】

【解析】解：，

，

故选：．

根据分式方程的解法即可求出答案．

本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．

4.【答案】

【解析】解：、，和是相反数，故此选项正确；

B、，和不是相反数，故此选项错误；

C、，和不是相反数，故此选项错误；

D、，和不是相反数，故此选项错误；

故选：．

根据相反数概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数进行分析即可．

此题主要考查了绝对值和相反数，关键是掌握相反数的概念．

5.【答案】

【解析】解：、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；

B、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，是真命题；

C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题是假命题；

D、对角线相等的平行四边形是矩形．原命题是假命题；

故选：．

根据等边三角形的判定、平行四边形的判定、菱形和矩形的判定进行判断即可．

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等边三角形的判定、平行四边形的判定、菱形和矩形的判定，难度不大．

6.【答案】

【解析】

【分析】

画树状图，共有种等可能的结果，两次摸出的数字之和为奇数的结果有种，再由概率公式求解即可．

此题主要考查了画树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

【解答】

解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，两次摸出的数字之和为奇数的结果有种，

两次摸出的数字之和为奇数的概率为，

故选：．

7.【答案】

【解析】解：设它是边形，则

，

解得．

．

故选：．

本题考查了多边形的内角和公式和外角和定理，熟记公式是解题的关键．

根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数，然后根据多边形的外角和即可得到结论．

8.【答案】

【解析】解：由图表可知：应交电费与用电量间的关系为，

对于这个函数关系，、都是变量，是自变量，是的函数．所以选项A正确；

根据图表可知，用电量每增加千瓦时，电费增加元，选项B正确；

当千瓦时，元，故选项C正确．

当元时，千瓦时，故选项D错误；

故选：．

根据图表，先写出函数关系，再逐个判断各个选择支．

本题考查了函数的相关知识．题目难度不大，根据图表列出函数关系是解决本题的关键．

9.【答案】

【解析】解：如图，当为直角时，过点作交函数于点，连接，

所得即为直角三角形；

如图，当为直角时，过点作交函数于点，连接，

所得即为直角三角形；

如图，以为直径作圆，

设为中点，

点，点，

点，

的半径为，

过点作于点，连接，，

，，

，

，

，

点在上，即：

以为直径的与函数只有一个交点，

圆周角定理【如果没学圆周角定理可继续看下面另一种解法】

，

，，

，

，

，

为直角三角形，

综上，点的个数为个，

故选：．

分为，，分别为直角时，当为直角需要证明以为直径的圆与函数只有一个交点，即可得出答案．

本题考查正比例函数的性质，勾股定理的逆定理等知识点，解题的关键是分三种情况讨论，难点在于为直角时的证明．

10.【答案】

【解析】解：，，

是等腰直角三角形，

点为的中点，

，，

是直角，

，

，

在和中，

，

≌，

，

当点不是的中点时，，

此时，

故错误；

，，

为等腰直角三角形，

故正确；

≌，

，

，

，

故正确；

根据等腰直角三角形的性质，，

所以，随着点的变化而变化，只有当点为的中点时，，

故错误；

，，

，

当不是的平分线时，，

此时，

故错误；

故正确，

故选：．

证明≌得，当点不是的中点时，，由此判断；

由全等三角形性质得，，，则为等腰直角三角形，判断；

由≌，得，进而得，可判断；

根据等腰直角三角形的性质，，根据随着点的变化而变化，只有当点为的中点时，，从而判断；

当不是的平分线时，，此时，由此判断．

本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键．

11.【答案】

【解析】解：二次根式有意义，

，

解得，

故答案为：．

根据二次根式有意义的条件，可得，即可求解．

本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．

12.【答案】

【解析】解：，

，

或，

，．

故答案为，．

运用因式分解法求解即可．

本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．

13.【答案】

【解析】解：根据题意得，

方程有两个整数根，

必为完全平方数，

而为整数，

，此时方程变形为，两根为和，

．

故答案为．

先计算判别式得到，当为完全平方数，由此得到整数．

本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．

14.【答案】

【解析】解：连接，

为的垂直平分线，

，

在中，，，，

由勾股定理得，

设的长为，则，在中，

由勾股定理得：，

解得：，

故答案为：．

连接，由垂直平分线的性质可得，利用勾股定理可得，设的长为，则，在中利用勾股定理可得的长，即得的长．

本题主要考查了垂直平分线的性质和勾股定理，利用方程思想是解答此题的关键．

15.【答案】

【解析】解：如图，

作，

，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，，

，

．

故答案为：．

作，判断出≌，得出即可．

此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是作出辅助线，也是本题的难点．

16.【答案】

【解析】解：如图，当菱形为正方形时，，，

四边形为矩形，

，

，

，

在和中，

，

≌，

；

故答案为：；

如图，过作，交延长线于，连接，

，

，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值，

，

设，则，

在中，，

，

，

即，

，

，

的最小值为，

此时，的最大值为时，，

在点的运动过程中，的面积的取值范围为：；

故答案为：；

由于四边形为矩形，四边形为正方形，那么，，易证≌，得；

过作，交延长线于，连接，由于，可得，同理有，利用等式性质有，再结合，，可证≌，从而有，进而可求的面积的最大值和最小值，从而确定的取值范围．

本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

17.【答案】解：，

由得：，

把代入得：，即，

把代入得：，

则方程组的解为．

【解析】方程组利用代入消元法求出解即可．

此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18.【答案】证明：，

．

，

，

在和中

，

≌．

．

．

．

【解析】由“”可证≌，可得，从而可证．

本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明≌是解题的关键．

19.【答案】解：第个等式为：；

由这两个连续奇数构造的奇特数是的倍数，理由为：

设两个连续奇数为和其中取正整数，

，

则由这两个连续奇数构造的奇特数是的倍数．

【解析】写出第四个等式即可；

由这两个连续奇数构造的奇特数是的倍数，理由为：根据“奇特数”定义列出关系式，化简后即可作出判断．

此题考查了平方差公式，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

20.【答案】解：这次知识竞赛共有学生名；

二等奖的人数是：人，

补图如下：

“二等奖”对应的扇形圆心角度数是：；

小华获得“一等奖或二等奖”的概率是：．

【解析】本题考查了概率公式，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

用一等奖的人数除以所占的百分比求出总人数；

用总人数乘以二等奖的人数所占的百分比求出二等奖的人数，补全统计图，再用乘以二等奖的人数所占的百分比即可求出“二等奖”对应的扇形圆心角度数；

用获得一等奖和二等奖的人数除以总人数即可得出答案．

21.【答案】解：设学生人数为时，两家旅行社的收费一样．

由题意得，，

解得：，

当学生人数为时，两家旅行社的收费一样；

设学生人数为时，选择甲旅行社更省钱

甲旅行社的收费是：，

乙旅行社的收费是：，

选择甲旅行社更省钱时：，

解得：．

旅行人数多于人．

当旅行人数多于人时，选择甲旅行社更省钱．

【解析】根据题意可知：甲旅行社收费名家长代表学生数；乙旅行社收费名家长代表学生数，代入学生数即可求出收费；

设学生人数为，分别表示出甲旅行社的收费：，乙旅行社的收费是：，根据省钱情况可列出不等式，再解不等式即可．

此题主要考查了一元一次方程，一元一次不等式的应用，正确理解甲、乙两个旅行社的收费标准；找到相应的等量关系和不等关系是解决问题的关键．

22.【答案】等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合

【解析】解：作图如下：

得出“”的依据是：等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合；

故答案为：等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合；

，

点在线段的垂直平分线上，

，，

，

，

点在线段的垂直平分线上，

直线是对角线的垂直平分线；

如图，直线即为所求．

依据线段垂直平分线的作图方法，即可得到边的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一即可得依据；

分别证明点和点在线段的垂直平分线上，即可说明理由；

连接，相交于点，分别延长和相交于点，两个交点所在直线即为所求．

本题主要考查了作图复杂作图，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的作法．

23.【答案】

【解析】解：将代入，得：，

解得：，

故答案为：；

如图，由可知直线的解析式为．

设，

点的坐标为，点的坐标为，

，，

，，

四边形的面积是，

，

整理得，

解得，

点的坐标为；

平行于轴，平行于轴，

四边形是矩形，

四边形的周长是，

，

解得，

点的坐标为．

根据点的坐标，利用待定系数法可求出值；

利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点的坐标，由四边形的面积是，得出，解方程求得的值，即可求得的坐标；

由题意可知，解方程求得的值，即可求得的坐标

本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出值；表示出的坐标．

24.【答案】假；

；

依题意：，它与轴交于点和；

当抛物线三角形是直角三角形时，

根据抛物线的对称性可知它一定是等腰直角三角形，

顶点为或，

当顶点为时，代入，

得，解得舍去或

，

当顶点为时，代入，

得，解得舍去或

；

当抛物线是时，

为等腰直角三角形，且∽，

为等腰直角三角形，

设，

则

当时，解得或舍去

和点重合，所以舍去，

当时，解得或舍去

；

当抛物线是时，

同的方法得，；

即：点或．

【解析】解：抛物线与轴的交点个数有三种情况：没交点，一个交点，两个交点，

任意抛物线都有“抛物线三角形”是假命题，

故答案为：假

一条抛物线系数为，

，，，

即：抛物线解析式为，

令，则，

令，解得，，

“抛物线三角形”的面积为

故答案为