2023年高考数学专项练习导数解密通关基础篇10 含参函数的极值、最值讨论含解析

2023年高考数学专项练习导数解密通关基础篇专题10含参函数的极

值、最值讨论

考点一含参函数的极值

【例题选讲】

［例1］设。＞0,函数/(x)=%-(a+l)x+a(l+lnx).

(1)若曲线〉=兀0在(2,12))处的切线与直线y=-x+1垂直，求切线方程.

(2)求函数4x)的极值.

［例2］已知函数危v)=lnx—ar(aeR).

(1)当时，求/(x)的极值；

(2)讨论函数”)在定义域内极值点的个数.

［例3］^/(x)=xlnx一■|or2+(3a—l)x.

(1)若g(x)=/(x)在U，2］上单调,求〃的取值范围；

(2)已知兀0在x=l处取得极小值，求°的取值范围.

［例4］(2016・山东)设於)=xlnx一加+(2a—l)x,〃GR.

(1)令80)=/(工)，求g(x)的单调区间；

(2)已知贝x)在x=l处取得极大值，求实数a的取值范围.

［例5］已知函数/U)=(x—1—看｝*+1,其中e=2.718…为自然对数的底数，常数a>0.

(I)求函数/(x)在区间(0,+8)上的零点个数；

(2)函数尸(尤)的导数k(x)=(ex-a)兀v),是否存在无数个ae

(1.4),使得Ina为函数F(x)的极大值点？请说明理由.

【对点训练】

1.已知函数/(x)=lnx一/加+彳，aWR.

(1)当a=0时，求曲线y=/(x)在(1,负1))处的切线方程;

(2)令g(x)=/(x)一(如-1),求函数g(x)的极值.

2.设函数/0)=［加一(4〃+l)x+4a+3］e”.

(1)若曲线)，=〃)在点(1,负1))处的切线与x轴平行，求a；

⑵若兀c)在x=2处取得极小值，求a的取值范围.

3.己知函数/'(x)=f—3X+£.

(1)若a=4,讨论/"(x)的单调性；

(2)荀(x)有3个极值点，求实数a的取值范围.

4.已知函数以)=如一『一Inx(“eR).

(1)求函数式x)的单调区间；

(2)若函数危0存在极值，且这些极值的和大于5+ln2,求实数a的取值范围.

5.(2018•全国III)已知函数")=(2+工+加>111(1+尤)-2x.

(1)若a=0,证明：当一1<%<0时，X-v)<0;当x>0时，火x)>0.

(2)若x=0是段)的极大值点，求a.

考点二含参函数的最值

【例题选讲】

［例1］已知函数火x)=1nx-ar(aGR).

(1)求函数Ax)的单调区间；

(2)当a>0时，求函数/(x)在［1,2］上的最小值.

［例2］已知函数/(犬)=加+(1—2a)x—lnx.

(1)当a>0时，求函数/(X)的单调递增区间；

r1-I

(2)当〃<0时，求函数危)在1上的最小值.

［例3］已知函数/3=乎-1.

⑴求函数/'(X)的单调区间及极值；

(2)设相>0,求函数f(x)在区间阿，2加上的最大值.

［例4］已知函数/(x)=+〃，g(x)=/［f(x)Tg(〃?，n,aG

R),且曲线y=/(x)在点(1,_/U))处的切线方程为y=x-l.

(1)求实数机，〃的值及函数/(x)的最大值；

(2)当ae(—e,§时，记函数g(x)的最小值为4求b的取值范围.

［例5］(2019•全国HI)已知函数/(x)：2%3—a^+O.

(1)讨论Hx)的单调性；

(2)是否存在a,b,使得/(x)在区间［0,1］的最小值为一1且最大值为1?若存在，求出a,8的所有值；若

不存在，说明理由.

【对点训练】

I.已知函数8(工)=。111犬+『一(a+2)x(aeR).

(1)若a=l,求g(x)在区间［1,e］上的最大值;

(2)求g(x)在区间［1,e］上的最小值〃(a).

2.已知函数

(1)当a=2时，求函数/(X)的图象在x=O处的切线方程;

(2)求函数火x)在区间［1,2］上的最小值.

3.已知函数/(x)=ax—lor,F(x)—ex+ax,其中x>0,a<0.

(1)若y(x)和尸(x)在区间(0,In3)上具有相同的单调性，求实数a的取值范围；

(2)若(—co,一卷］且函数8。)=年内一|—2ax+yU)的最小值为M,求知的最小值.

4.已知函数/(x)=ax+lnx,其中。为常数.

(1)当a=—1时，求/U)的最大值；

(2)若/(x)在区间(0,e］上的最大值为-3,求a的值.

5.已知函数/(0二加一(a+2)x+lnx,其中aWR.

(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在点(1,7⑴)处的切线方程；

(2)当a>0时，若/(x)在区间［1,e］上的最小值为-2,求a的取值范围.

考点三含参函数的极值与最值的综合问题

【例题选讲】

［例1］已知函数形尸谓己，其中a为正实数，》=£是/仇)的一个极值点.

(1)求a的值；

(2)当匕弓时，求函数在g,+s)上的最小值.

［例2］已知函数/U)=aln(x+b)-5.

(1)若a=Lb=0,求明)的最大值;

⑵当6>0时，讨论於)极值点的个数.

［例3］设函数/(x)=a，+er(a>l).

(1)求证：y(x)有极值；

(2)若x=xo时代0取得极值，且对任意正整数〃都有松仁(〃?，〃)，其中“，〃eZ,求”一机的最小值.

［例4］已知函数兀r)=aliir+:(a>0).

(1)求函数/(x)的单调区间和极值；

(2)是否存在实数”，使得函数/(x)在［1,e］上的最小值为0?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理

由.

［例5］已知函数/'a)=3x—l)lnx+拳

(1)若。=2,求曲线y=/(x)在点(1,7(I))处的切线/的方程；

(2)设函数g(x)=r(x)有两个极值点汨，及，其中为e(0,e］,求gg)—g(X2)的最小值.

［例6］已知函数8⑴=宁+工+底.

⑴若函数/。心。恒成立，求实数。的取值范围；

(2)函数/U)=g(x)—7/u:,苟(x)存在单调递减区间，求实数机的取值范围；

(3)设X”元2(汨＜12)是函数#x)的两个极值点，若，论4求/Ul)—y(X2)的最小值.

【对点训练】

1.已知函数/U)=xlar.

(1)求函数/U)的极值点；

(2)设函数g(x)=«x)—a(x—1),其中〃

R,求函数g(x)在区间(0,e］上的最小值(其中e为自然对数的底数).

f—x3+x2,x<h

2.已知函数/（九）=/7,

lainx,x>I.

(1)求/U)在区间(一8,1)上的极小值和极大值；

(2)求/(九)在［-1,e］(e为自然对数的底数)上的最大值.

3.已知函数/(jOnalar+x2—or(〃£R).

(1)若x=3是/)的极值点，求/口)的单调区间；

(2)求ga)=«r)-2x在区间［1,e］上的最小值人伍).

4.已知常数好0,f^x)=alnx+2x.

(1)当。=—4时，求/U)的极值；

(2)当7U)的最小值不小于一〃时，求实数a的取值范围.

5.已知函数代x)=〃sin%+sin2x,Q£R.

(1)若信)在®，班有极值点，求〃的取值范围；

(2)若。=1,xG@号)寸,fix)>bxcosx9求b的最大值.

6.已知函数/(x)=lnx+^v2~ax+a(a£R).

(1)若函数*x)在(0,+8)上为单调递增函数，求实数4的取值范围；

(2)若函数/U)在x=xi和x=X2处取得极值，且X2N/xi(e为自然对数的底数)，求/(⑶一府)的最大值

专题10含参函数的极值、最值讨论

考点一含参函数的极值

【例题选讲】

［例1］设。>0,函数/U)=%-(a+l)x+a(l+lnx).

(1)若曲线了=式》)在(2,12))处的切线与直线y=-x+1垂直，求切线方程.

(2)求函数y(x)的极值.

解析(1)由已知，得/(x)=x—5+1)+?无>0),又由题意可知y=/(x)在(2,<2))处切线的斜率为1,

所以了(2)=1,即2—3+1)+'1=1,解得4=0,此时式2)=2—2=0,故所求的切线方程为y=x—2.

,,ax2-(a+l)x+a(x—l)(x-a)

(2»(x)=x—(«+1)+-=-------------=----------(x>0)•

①当0<“<l时，若尤丘(0,a),则/(x)>0,函数段)单调递增；若xC(a,1),则/(x)<0,函数五的

单调递减；若xG(l,+co),则/(x)>0,函数1尤)单调递增.此时x=n是凡r)的极大值点，x=l是段)

的极小值点，函数人x)的极大值是&)=—%+Hn。，极小值是犬1)=—

②当”=1时，所以函数4x)在定义域(0,+◎内单调递增，

此时,/(X)没有极值点，故无极值.

③当时，若xd(o,1),则/(x)>0,函数式x)单调递增；

若xG(l,a),则，(x)<0,函数y(x)单调递减；若xG(a,+oo),则/(x)>0,函数兀v)单调递增.

此时x=l是7(x)的极大值点，x=a是人工)的极小值点，

函数段)的极大值是川)=一；,极小值是/(a)=-%+Hna.

综上，当0<a<l时，兀v)的极大值是一家+如〃，极小值是一去当”=1时，段)没有极值；当。>1

时段)的极大值是一3，极小值是一打+川!!

［例2］已知函数危?)=lnx-ar(aeR).

(1)当a=；时，求/U)的极值；

(2)讨论函数/(X)在定义域内极值点的个数.

11112—x

解析⑴当〃=］时，y(x)=lnX—2%,函数的定义域为(0,+00)且/(x)=1—

令了(x)=0,得x=2,于是当x变化时，*x),兀0的变化情况如下表.

x(0,2)2(2,+oo)

f(x)+0

危)In2—1

故人外在定义域上的极大值为y(x)极大值=y(2)=ln2-1,无极小值.

(2)由(1)知，函数的定义域为(0,+oo),/(x)=［-a=^

当a<0时，/(x)>0在(0,+oo)上恒成立，

则函数在(0,+8)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；

当a>0时，若xc(0,：),则/(x)>0,

若xe(：，+8)，则/(x)<0,故函数在处有极大值.

综上可知，当“W0时，函数y(x)无极值点，当”>0时，函数)=段)有一个极大值点，且为

d

3

［例3］设«r)=xlnx—l)x.

(1)若g(x)=f(x)在［1,2］上单调,求a的取值范围；

(2)已知I/U)在x=l处取得极小值，求〃的取值范围.

解析(1)由/(x)=lri¥—3ax+3〃，即g(x)=lnx—3以+30x£(0,+oo),g［x)=:-3〃，

①g(x)在［1,2］上单调递增，.•［-BaN)对xe［l,2］恒成立，即。④对xd［l,2］恒成立，得aJ；

②g(x)在［1,2］上单调递减，.3aW0对2］恒成立，即对xd［l,2］恒成立，得〃苗,

由①②可得a的取值范围为(一8,+oo).

(2)由⑴知,①当把0时，。⑴在(0,+oo)上单调递增，...xHO,1)时，了(x)<0,/)单调递减,

xW(l,+8)时，F(x)>0,式X)单调递增，.•.«r)在X=1处取得极小值，符合题意；

②当0<“<|时，如，又/(x)在(0,上单调递增，."(0,1)时，/(x)<0,xE(l,时，

.♦JU)在(0,1)上单调递减，在(1,5上单调递增，/U)在x=l处取得极小值，符合题意；

③当“时，1=1,/(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

Ax^(O,+8)时，f(x)<09/(x)单调递减，不合题意;

④当悬时，o击1，当xe%I)时，/(x)>0,段)单调递增，

当xG(l,+8)时，/(X)<0,兀0单调递减，；.兀0在X=1处取得极大值，不符合题意.

综上所述，可得a的取值范围为(一00,1).

［例4］(2016・山东)设人幻=耳11》一加+(2。-1)为aSR.

(1)令g(x)=/(x),求g(x)的单调区间；

(2)已知/(X)在x=l处取得极大值，求实数a的取值范围.

।］—2ax

解析(1)由/(%)=lnx~2ax+2a,可得g(x)=lnx—2ar+2〃,xW(0,+00).所以g〈x)=q—2〃=—~—.

当好0,龙£(0,+oo)时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增;

当a>O,xG(O,时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增，xe%+。时，g，(x)<0,函数g(x)单调递减.

所以当«<0时，g(x)的单调增区间为(0,+oo)；当«>0时，g(x)的单调增区间为(0,土),单调减区间

为出+00)

(2)由⑴知,/(l)=0.①当心0时，/(x)单调递增,所以当xC(O,1)时，/(x)<0,«r)单调递减;

当Xd(l,+8)时，/(x)>0,兀c)单调递增.所以1x)在x=l处取得极小值，不合题意.

②当0<“<与时，=>1,由(1)知/(外在(0,古)内单调递增，

可得当XG(O,1)时，y(x)V0,当x«l,时，/(x)>0.

所以人x)在(0,1)内单调递减，在(1,内单调递增，所以7(x)在x=l处取得极小值，不合题意.

③当a制时，(=1,/(x)在(0,1)内单调递增，在(1,+8)内单调递减，

所以当x£(0,+8)时，/。)00,人幻单调递减，不合题意.

④当时，当xG七，1)时，巾)>0,/)单调递增，当xe(l,+oo)时，/(x)<0,於)

单调递减.所以式x)在x=l处取极大值，符合题意.

综上可知，实数a的取值范围为(；，+oo).

［例5］已知函数/(x)=(x—1—看｝*+1,其中e=2.718…为自然对数的底数，常数a>0.

(1)求函数/U)在区间(0,+8)上的零点个数；

(2)函数F(x)的导数F<x)=(ex-a)式x),是否存在无数个ae

(1,4),使得Ina为函数尸(x)的极大值点？请说明理由.

解析(l»(x)=(x—菅卜，当0<r<9时，f(x)<0,单调递减；当x>煮时，/(x)>0,火x)单调递增，

所以当xe(o,+oo)时，风丫林产；^),因为尼)机))=一表0,4+看)=1>。，

所以存在加十，1+1),使於0)=0,且当Oaao时，/)<0,当x>xo时，危)乂).

故函数./U)在(0,+口)上有1个零点，即x(),

(2)方法一当时，In。>0.因为当尢£(0,Ina)时，e*—。<0；当x£(lna,+s)时，e"一〃>0.

由(1)知，当x£(0,沏)时，/(x)<0；当］£(沏，+8)时，加)乂).

下面证：当a£(l,e)时，Ina<xo9即证/(lna)<0.

y(lna)=(lna-1-l=〃lna—〃一薮+1,记g(x)=xlnx—x一卷+1,x^(l,e),

g，(x)=lnx—；,x£(l,e),令/z(x)=g%x),则"(》)=瓦，>0,所以g，(x)在(1,e)上单调递增,

由g'(D=-；<。，g'(e)=l-|>0,所以存在唯一零点A)e(l，e),使得g，(tO)=O,

且xe(l,to)时，g<x)<0,g(x)单调递减，xe(tO,e)时，g，(x)>0,g(x)单调递增.

]6—e2

所以当xG(l,e)时，g(x)<max{g(l),g(e)}.由8(1)=一不<0,g(e)=?;<。，

x

得当xG(l,e)时，g(x)<0.故4na)<0,0<lna<x0.当0<x<lna时,e~a<Q,/(x)<0,

广(x)=(ex-aM>)>0,尸(x)单调递增；当lna<x<xo时，8一。>0,共x)<0,

r(x)=(ex-a)/(x)<0,F(x)单调递减.所以存在aG(l,e)c(l,4),使得Ina为F(x)的极大值点.

方法二因为当xe(0,Ina)时，ev—a<0；当xe(lna,+s)时，ev—a>0.

由⑴知,当xG(0,⑷时，危)V0;当xG(xo,+8)时，火x)>0.

所以存在无数个“G(l,4),使得Ina为函数尸(x)的极大值点，

即存在无数个aG(l,4),使得lna<xo成立，①

由(1),问题①等价于存在无数个aG(l,4),使得_/(lna)<0成立，

a、a2V?

(Ina—1-^ja+1=dn1,记g(x)=xlnx—%—不+1,x^(l,4),

g3=lnx—/x^(l,4),设Z(x)=g3，因为

当2)时，〃(x)>0,所以gix)在G，2)上单调递增，因为gG)=ln|—g<0,g12)=ln2—1>0,

所以存在唯一零点“w(|，2),使得g，(to)=o,

且当x*,t0)时，g，(x)<0,g(x)单调递减；当xG(tO,2)时，g3>0,g(x)单调递增;

所以当X®I，2时，g(x)min=g(tO)=folnfo一用一卷+1,②

由g'(tO)=O,可得info=¥，代入②式可得g(x)min=g(tO)=日一"+1,

他

时

当(tO-3)2

e16011人

-62<-8<0'

所以必存在xC(1,2),使得g(x)<0,即对任意2),4na)<0有解,

所以对任意ad(|,2)=(1,4),函数F(x)存在极大值点为Ina.

【对点训练】

1.已知函数/H)=ln犬一〃£R.

(1)当。=0时，求曲线y=/(x)在(1,犬1))处的切线方程；

(2)令g(x)=y(x)—(ax—1),求函数g(x)的极值.

1.解析(1)当a=0时，,/(x)=lnx+x,则.*1)=1,...切点为(1,1),又7(x)=；+l,

.•.切线斜率％=/(1)=2,故切线方程为y—1=2。-1),即2x-y-l=0.

1,1.—ax2+(l—a)x+1

(2)g(x)=/(x)一(以一l)=lnx-^ax01+(1-a)x+1,则g'(x)=]一or+(l—。)=----------------,

①当内)时，.卬⑴〉。，O.g(x)在(0,+8)上是增函数,函数g(x)无极值点.

—ax2+(l—a)x+1a\xa)(x+D1

②当q>0时，g'(x)=-------------------------=-------------------.令g'(x)=0付x=~

.,.当xG(0,£)时,g'(x)>0;当+8)时,g%x)v0.

因此g(x)在(0,0上是增函数，在Q，+")上是减函数.

.,•x=:时，g(x)取极大值g(£)=ln>全白+(1一。忌+l==Tna.

由①②得，当无0时，函数g(x)无极值；

当〃>0时，函数g(x)有极大值*—Ina，无极小值.

2.设函数加0=[加一(4“+l)x+4a+3]e，.

(1)若曲线)，=加)在点(1,7(I))处的切线与x轴平行，求a；

⑵若於)在x=2处取得极小值，求a的取值范围.

2.解析(1)因为兀0=[加一(4a+l)x+4a+3]e",所以了(1)=(1一”九.

由题设知了(1)=0,即(l-a)e=O,解得“=1.此时y(l)=3W0.所以“的值为1.

=[ax1-(2a+l)x+2]e*=(ax—l)(x—2)ev.

若W，则当2，时，/(x)<o；当xG(2,+oo)时，/(x)>0.所以外)在尤=2处取得极小值.

若心则当xW(。，2)时，x—2<0,狈-1备一1<0,所以/(x)>0,所以2不是知的极小值点.

综上可知，a的取值范围是弓，+前

3.已知函数fa)=——3x+，.

(1)若。=4,讨论/(x)的单调性；

(2)若/(x)有3个极值点，求实数。的取值范围.

4

3.解析(1)因为。=4时，/(幻=，一3%+『，

42x3-3x2—42x3-4x2+x2-4(x-2)(2x2+x+2)(^o))

所以「(无)=2^—3x2=x2

令尸(x)>0,得x>2；令/(x)<0,得x<0或0<x<2.

所以f(x)在(-00,0),(0,2)上单调递减，在(2,十8)上单调递增.

A2x3—3x2—a

(2)由题意知，尸(x)=2x—3—4=—:~/----(#0),设函数一〃，

则原条件等价于g(x)在(一8,0)U(0,+8)上有3个零点，

且3个零点附近的左、右两侧的函数值异号，又/(工)=6/—6x=6x(x—1),

由g'(x)>0,得心>1或工<0；由g'(x)<0,得0a<1.

故g(x)在(一8,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1,+oo)上单调递增，

故原条件等价于gfr)在(-8,0),(0,1),(1,+oo)上各有一个零点，令g(0)=-〃>0,得a<0,

当〃<0时，-a<0,g(—yj—a)—2(—3(—a)—a=2a(yj—a+1)<0,

故〃v0时，g(x)在(一oo,0)上有唯一零点；

令g(l)=-1一〃<0,解得4>一1,故一1<4<0时，g(x)在(0,1)上有唯一零点；

又一1<。<0时,g(2)=4—〃>0,所以以功在(1,+oo)上有唯一零点.

综上可知，实数〃的取值范围是(一1,0).

4.己知函数"x)=or—x2—Inx(〃£R).

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)若函数/U)存在极值，且这些极值的和大于5+ln2,求实数〃的取值范围.

4.解析(1VU)的定义域为(0,+oo).f(x)=a—2x—^,当且仅当天二^时等号成立；

当〃S2g时，/(无£0,函数Hx)在(0,+8)上单调递减.

当〃>25时，f(x)=a-2x--=----------.

,/口a—yla2—8a-hda2—8M

由/(x)=0何为=4fX2~4且12>尤1>0.

由/(幻>0得X]VxVX2,由/(x)<。得OVxVXl,或X>X2,

...函数/x)的单调递增区间为断8,a-^a2-8)/

单调递减区间为4,咨习杓哼+J

综上所述，当吸时，函数4x)的单调递减区间为(0,+oo),无单调递增区间；

当。>2也时，函数,")的单调递减区间为,，纥哼可杓匕用三，+J

单调递增区间为,7：2-8,右零考

⑵由⑴知，当府)存在极值时，a>2y[2.即方程2?一依+1=0有两个不相等的正根为，及，

/xl+x2=^>0,

Z1

1x1x2=2>0.

)+«元2)=ci(x\+尤2)—(x2+x2)—(Inxi+lnxi)

=a(x]+x2)—[(xl+x2)2—2x7x27—ln(xiX2)=^—^+l—ln：=(+l—Ing.

依题意方"+1—ln?>5+ln2,即a2>\6,，〃>4或〃V—4.

又a>2吸.，a>4,即实数。的取值范围是(4,+a)).

5.(2018•全国III)已知函数/㈤=0+无+加川!!。+x)~2x,

(1)若4=0,证明：当一14Vo时，於)<0；当Q0时，危)>0.

(2)若x=0是/(X)的极大值点，求

Y

5.解析(1)证明：当a=0时，；(x)=(2+x)ln(l+x)-2x,/(x)=ln(l+x)一江.

YY

设函数g(x)=/(x)=ln(1+x)—不"，则g'a)=f7右方

当一l<x<0时，g'(x)<0;当x>0时，g'(x)>0.故当x>-l时，g(x)>g(0)=0,

且仅当x=0时，g(x)=0,从而/(x)X),且仅当x=0时，/(x)=0.

所以犬x)在(-1,+8)单调递增.又式0)=0,故当一l<x<0时，_/(x)V0;当x>0时，式x)>0.

⑵(i)若色0,由⑴知,当x>0时，巨(2+x>ln(1+x)—〃>0=火0),这与x=0是Xx)的极大值点矛

盾.

5)若“<°，设函数贴尸务f然(x\法=m(i+x)—童2瓦尤？

由于当|x|Vmin{l,时,2+x+以2>0,故/z(x)与«x)符号相同.

又力(o)=y(o)=o,故x=o是Ko的极大值点当且仅当犬=0是力(工)的极大值点.

,1212+x+ax2)-2x(1+2ax)x2(a2x2+4ax+6a+1)

"(x)i+*(2+x+ax2)2(x+l)(ax2+x+2)2'

6G+1

如果6a+l>0,则当OVxV,且|x|Vmin{l,y面}时，〃口)>0,故x=O不是/z(x)的极大值点.

4a

2

如果6a+lV0,则a2x+4ox+6a+1=0存在根冗iVO,故当工£(修，0),且|x|Vmin{l,7向>时，"(，)

<0,所以x=0不是〃(幻的极大值点.

x3(x—24)

如果6〃+1=0,则h\x)=(X+1)(x2-6x-12)2,

则当xG(-l,0)时，/?,(x)>0:当xG(0,1)时，h\x)<0.

所以x=0是〃(x)的极大值点，从而x=0是式x)的极大值点.

综上，a=-=.

考点二含参函数的最值

【例题选讲】

［例1］已知函数Kx)=lnx—ax(aGR).

(1)求函数危)的单调区间；

(2)当”>0时，求函数危:)在［1,2］上的最小值.

解析(1»(©=］一“(尤>0),

①当a/0时，/(x)=；-a>0,即函数_/(x)的单调递增区间为(0,+<»).

②当。>0时，令/(》)=:一。=0,可得x=l，

Ad

,1,1—ax.1.1-ax

当0<x<$时，/(x)=-->0；当x>$时，/(x)=—~<0,

dXaA

故函数於)的单调递增区间为(o,；),单调递减区间为(：，+8).

综上可知，当好0时，函数.«x)的单调递增区间为(0,+oo)；

当a>0时，函数/U)的单调递增区间为(0,；),单调递减区间为g,+£).

⑵①当0<*1,即宓1时，函数/(x)在区间［1,2］上是减函数，所以式x)的最小值是五2)=ln2-2a.

②当即OV’E；时，函数人x)在区间［1,2］上是增函数，所以y(x)的最小值是式1)=-a.

d乙

③当1V；V2,即gaVl时，函数©在［1,1上是增函数，在七，21上是减函数.

又人2)—/(1)=1112—a,所以当3<aVln2时，最小值是11)=-a；

当In2<a<l时，最小值为火2)=ln2-2a.

综上可知，当0<“<ln2时，函数/U)的最小值是犬1)=一出当〃Xn2时，函数式》)的最小值是/(2)=ln2

一2a.

［例2］已知函数/OOuqf+a—2〃)x—Inx.

(1)当。>0时，求函数/U)的单调递增区间；

(2)当〃<0时，求函数/U)在［「于11')上的最小值.

解析(1)因为兀¥)=加+(1—2〃)冗一Inx,所以/a)=2ar+l—2〃一(=侬"?”~

因为G>0,x>0,所以2or+l>0,令/(x)>0,得x>l,所以J(x)的单调递增区间为(1,+co).

(2)当“<0时，令，a)=0,得X1=—X2=l,

当一为1,即一3<a<0时，加)在(0,1］上是减函数，所以於)在;，1上的最小值为如)=1—a.

当上一景1,即一GW—1时，段)在|>一去上是减函数，在［一=，1上是增函数,

所以4r)在I上的最小值为，一=)=1—去+ln(—2a).

当一导/，即a<—1时,./(x)在仕，1］上是增函数，所以./W在g1上的最小值为.启)=%为+ln2.

fl3

2—4a+ln2»a<-1,

综上，函数兀r)在区间［；,1上的最小值为於)min=<l-^+ln(—2a),—l<a<-1,

1—a,-z<a<0.

、z

［例3］已知函数/。)=乎一1.

(1)求函数/"(x)的单调区间及极值；

⑵设加>0,求函数f(x)在区间［加，2M上的最大值.

1—Inxff'(x)>0,

解析(1)因为函数/'(%)的定义域为(0,+oo),且-x)=丁厂，由八得04<e；

x/［x>0,

[f'(x)<0,

由八得x>e.所以函数/(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+00),

x>0,

且/(X)极大值=/(e)=：—1,无极小值.

2m<e,pl7m

"即0<加居时，函数/(X)在区间的，2ml上单调递增，所以/(x)max=/(2"?)=喏n-1;

｛m>0,乙

②当机ve<2处即初?<e时，函数/⑴在区间(加，e)上单调递增，在(e,2〃?)上单调递减,

所以fa)max=f9)=臂一1=:一1；

③当加次时，函数/(X)在区间[勿2,2M上单调递减，所以/(x)max=/(»=*『一1.

综上所述，当0<，於|时,/(或阿=与震-1；当*切2。时，/(冷耐=!一1；当/H>e时J(X)max=BF—1・

[例4]已知函数/(尤)=m?x+n,g(x)=x1f(x)—zn,a£

R)，且曲线y=/U)在点(1,11))处的切线方程为y=x-l.

(1)求实数〃?，〃的值及函数/U)的最大值；

(2)当ae(—e,§时，记函数g(x)的最小值为从求b的取值范围.

m(l-Inx)

解析(1)函数y(x)的定义域为(0,+oo),f(x)—

x2

f(l)=m=l,

因为式x)的图象在点(1,ZU))处的切线方程为y=x—l,所以｛mln1,m=l,

解得•

f(l)=~j-+n=0,n=0.

ir»Y1—]nx

所以40=詈，/(X)=F-,令了(X)=0,得*=€,

当0*e时，/(尤)>0,於)单调递增；当x>e时，/(x)<0,於)单调递减.

所以当x=e时，y(x)取得最大值，最大值为贝e)=：.

(2)因为g(x)=ff(x)-1-1=xlnx-与一x,所以gXr)=lnx-av=x(｝一a).

①当aG(0,菱)时，x—+8时，g(x)一一oo,g(x)无最小值.

②当”=0时，g，(x)=lnx,由g<x)>0得X>1,由g，(x)<0得0<x<l,

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，g(x)的最小值i>=g(l)=-1.

③当aG(-e,0)时，由(1)知方程有唯一实根,

又｛：)=-e,11)=0,4x)在Q,1)上单调递增，所以存在/右弓，1)，使得g'⑺=0,即lnf=〃.

当xG(0,。时，g'(x)<0;当+8)时，g，(x)>0,

所以g(x)在(0,f)上单调递减，在(f,+oo)上单调递增，

g(x)的最小值6=g(f)=rlnf—卞2—。令〃⑺=号^—f,1),

贝(I〃")=缺」<0,所以〃⑺在(：，1)上单调递减，从而6=/jQ)G(-l,一君.

综上所述，当(—e,0］时，bG-1,一蜀；当“6(0,时，人不存在.

［例5］(2019・全国HI)已知函数兀

(1)讨论7U)的单调性；

(2)是否存在a,h,使得在区间［0,1］的最小值为一1且最大值为1?若存在，求出a,人的所有值；若

不存在，说明理由.

解析(1)f(x)=6f—2ax=2x(3x—a).

令/(%)=(),得x=。或x=*

若a>0,则当xG(—oo,O)U(j,+8)时，/(x)>0；

当xG(O,§时，/(x)<0.故人处在(-8,0),g，+s)单调递增，在(0,单调递减.

若。=0,«X)在(-8,+oo)单调递增.

若a<0,则当xG(—8,1)U(O,+oo)时，/(x)>0；

当xe住,0)时，/(x)<0.故人r)在(一8,D，(0,+oo)单调递增，在俘，0)单调递减.

(2)满足题设条件的4,人存在.

①当。o时,由(D知，於：)在［0,1］单调递增,所以4X)在区间［0,1］的最小值为#))=4最大值为11)

=2-a+b.此时〃，方满足题设条件当且仅当b=-1,2~a+b=\,即a=0,b=—\.

②当。23时，由(1)知，共外在［0,1］单调递减，所以yu)在区间［0,1］的最大值为人o)=儿最小值为八1)

=2—〃+/?.此时m力满足题设条件当且仅当2—〃+b=—1,b=l,即〃=4,h=\,

③当0<。<3时，由(1)知，段)在［0,1］的最小值为殿=—"+6,最大值为6或2—a+b.

若一招+6=—1,b=1,则”=3/，与0<a<3矛盾.

若一招+人=—1,2—a+b—l,则a=3小或a=-3小或a=0,与0<a<3矛盾.

综上，当且仅当a=0,b=—1或a=4,6=1时，火x)在［0,1］的最小值为一1,最大值为1.

【对点训练】

1.已知函数8(》)=41旧+W一3+2)x(aCR).

(1)若。=1，求g(x)在区间［1，e］上的最大值；

(2)求g(x)在区间［1,e］上的最小值力3).

1(2x—l)(x—1)

1.解析.\g(x)=\nX+X2—3X,.\gr(x)=-+2x—3=---------------,

2

Vxe［l,e］,・・・g&巨0,・・・g(x)在［1,e］上单调递增，/.g(x)max=g(e)=e-3e+l.

“》［上？,a,,2x2—(a+2)x+a(2x—a)(x—1)

(2)g(x)的定义域为(0,+oo),g\x)=-+2x—(a+2)=-=".

①当非1,即时，g(x)在［1,e］上单调递增，/7(a)=g(l)=-a—1；

②当l<|<e,即2<〃<2e时，g(x)在［1,1)上单调递减，在g,e］上单调递增，

⑶a「

h(d)=g［^J=aln厂产一〃；

③当为，即介2e时，g(x)在［1,ej上单调递减，//(«)=g(e)=(l—e>+e2—2e.

-a-1,a<2,

a1

aln,一1a2—a,2<a<2e,

{(1—e)a+e2—2e,a>2e.

2.已知函数/(x)=(x—a)e'(aGR).

(1)当a=2时，求函数/(x)的图象在x=0处的切线方程；

(2)求函数贝x)在区间［1,2］上的最小值.

2.解析f(x)=(x+1—a)e'.

(1)当〃=2时，/(尤)=喘一1)2.：.ft0)=~2,/(0)=-1,

.,.所求切线方程为y+2=—x,即x+y+2=0.

(2)令7(x)=0得x=a—1.

①若”一闫,则把2.当大01,2］时，/(磅0,则以)在［1,2］上单调递增....於)min=/(l)=(l—碇;

②若“一62,贝!］应3.当问1,2］时，/㈤或，则於)在［1,2］上单调递减)min=A2)=(2—)e2；

③若l<a-l<2,则2<〃<3./(x),式x)随x的变化情况如表:

x1(1,a~\)a—1(a—1,2)2

f(x)一0+

fi.x)\极小值

・7/(幻的单调递减区间为(1,〃-1),单调递增区间为(a—1,2),・••加)min=7(〃-1)=-e"—>

2

综上可知，当a<2时，y(x)min=(l—6F)e；当a>3时，/(x)min=(2—a)e；当2<a<3时，/U)min=-e"

3.已知函数危i)=or—lor,F(x)=^+ax,其中x>0,a<0.

(1)若/U)和F(x)在区间(0,In3)上具有相同的单调性，求实数〃的取值范围；

(2)若ae(—oo,一七]且函数g(x)=xe"T—24氏+/(幻的最小值为M,求"的最小值.

3.解析(1)由题意得/(x)=〃一，=a"xLF(x)=ex+a,x>0,

・・・a<0,・・・/(九)<0在(0,+8)上恒成立，即"r)在(0,+8)上单调递减，

当一1&7<0时，F(x)>0,即尸(乃在(0,+oo)上单调递增，不合题意，

当〃<一1时，由尸(%)>0,得无>ln(—a),由F'Q)<0,得0<无<皿一白)，

；・尸(力的单调递减区间为(0,ln(一〃))，单调递增区间为(ln(—a),+oo).

・・"U)和F(x)在区间(0,1113)上具有相同的单调性，・・・历(一4心1113,解得任一3,

综上，Q的取值范围是(一8,—3].

(2)gf(x)=ear-1+ax^x1—a~^=(ax+1)feax—1—,由7=0,解得a=^JnX,

X\X/XX

、H1—InxInx—2

设p(x)=---,则p<x)=—五一,当X>e2时，"(x)>0,当0<x<e2时，p<x)<0,

从而p(x)在(0,e2)上单调递减，在化2,+oo)上单调递增，p(x)min=p(e2)=一卷,

,1.1—Inx1

当一段时，a<~"-,即一?0,

当x£(0,一：)时，以+1>0,g'a)WO,g(x)单调递减，

当：，+s)时，ar+l<0,g'(x)NO,g(x)单调递增，・・・g(x)min=g(—：)=M,

设f=—3(0,e2],"=〃«)=2一Int+MOv/Se2),则/?")=专一30,h⑴在(0,网上单调递减,