2023年高考数学第40讲怎样用向量法证明空间中的平行

第40讲怎样用向量法证明空间中的平行、垂直关系

一、知识概要

1用空间向量证明空间中的平行与垂直关系

设两条不同直线4,。的方向向量分别为4,设两个不同平面a,/3的法向量分别为4.

⑴证明直线与直线平行：4/〃2=4//4；

证明直线与直线垂直：41/2<=>/1々.

(2)证明直线与平面平行:〃/a或,uaod_L”；

证明直线与平面垂直:l±a<^d//nn.

(3)证明平面与平面平行:。///夕0〃I//4；

证明平面与平面垂直：a1/?<=>«)1n2.

2利用空间向量解决平行,垂直问题的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系，建系时,要尽可能地利用已知图形中的垂直关系；

(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点直线、平面的要素;

(3)通过空间向量的坐标运算研究平行.垂直关系；

(4)根据途算结果解拜相关问题.

二、题型精析

【例1】

如图3—157所示，平面A4C_L平面ABC,.ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O

分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=\O.

⑴设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE；

⑵证明:在仅钻。内存在一点例，使用w_L平面BOE.

ffi3-157

【策略点击】

本题可通过空间向量的坐标运算来研究直线与平面平行和直线与平面垂直问题.第(1)问,求出平

面法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直，即数量积为零且直线不在平面内，可得线面平

行.第⑵问，设在&AB。内存在一点M(x,y,o)得刊0与平面的法向量共线，若能求出点

〃的坐标,则证明了线面垂直.

【证明】

(1)由题意知504C,以。为原点,08为x轴,为y轴,建立空间直角坐标系

。-孙z,则点P在z轴上，如图3-158所示.有0(0,0,0),A(0,-8,0),5(8,0,0),

。(0,8,0),网0,0,6).于是6(0,4,0),矶0,<3),尸(4,0,3).

设平面50E的一个法向量为〃=(x,y,z),

OB•八=8x=0,,.

则有《.令z=4得〃=(0,3,4),

OE-n=-4y+3z=0,?

又FG=(T,4,-3),FG•〃=0,又FGZ面BOE,r.FG//平面BOE.

(2)由⑴得平面BOE的一个法向量为“=(0,3,4).

设在一ABO内存在一点M(x,y,0),使FM，平面BOE,则有FM=An,

x=4,

x-4A=0,

g

故(x—4,y,—3)=处0,3,4).于是y=32,解得卜=——，

-3=42,Q

x=-±

4

即点M的坐标为(4,一3,0),点时在二ABO内，

在_ABO内存在一点M，使_L平面BOE.

【例2】

如图3—159所示，四棱雉S—ABQ9中，A6//CD,BC，CD,侧面为等边三角形,

AB=BC=2,CD=SD=1.

⑴证明：SQJ_平面S46；

(2)求点A到平面SBC的距离.

【策略点击】

由于所给空间图形不规则，建系设点相对较难，实际上可以考虑不同的建系方法，比如可认以C为

原点，射线CD为x轴的正半轴，以CB为y轴的正半轴建立空间直角坐标系求解，下面给出的就

是这种解法，当然也可以尝试另一种建系方程，读者可以一试.

【解】

⑴证明：以C为原点，射线C。为X轴的正半轴，建立如图3-160所示的空间直角坐标系

C-xyz.

设。(1,0,0),则A(2,2,0),3(0,2,0).又设S(x,y,z),则x>0,y>0,z>0.

AS=(x-2,y-2,z),BS=(x,y-2,z),£>S=(x-l,y,z).

由|AS上出5|得yl(x-2)2+(y-2)2+z2=+(y-2)2+z2，故x=1.

由,S|=1,得y?+z2=l.又由,S|=2,得V+(y-2)2+z2=4,

,,1J3

即y2+z2—4)，+l=0,即可解得y=],z=X-.

于是有s(i,；当,,BS=G,--,—=

、22JI22,22

OS•AS=0,DS-BS尸0,做zwASDS±BS又AScBS=S.

.•.SD_L平面%B.

(2)设平面SBC的法向量d=(m,n,p)，则。♦BS=0且。•C8=0,

又BS=1,--,—,C8=(0,2,0),故,加一I"曰“=°'令p=2,则

I22J2»=0

卜.同2月2后

又AB=(-2,0,0)，故点A到平面SBC的距离为d=同一方一^-

【例3】

如图3—161所示，在三棱雉V—ABC中，VCJ_底面A8C,AC_L8C,O是A3的中点，且

AC=BC=a,ZVDC=d[^<e<^\.

(1)求证:平面VAB1平面VCD；

(2)当角6变化时，求直线BC与平面所成的角的取值范围.

第(1)问，证明两个平面垂直时可利用判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，也可

以先求出两个平面的法向量，证明这两个法向量垂直.第(2)问,求直线6C与平面上46所成角的

取值范围.直线/与平面a所成角6是直线1的方向问,求直线8C与平面所成角的取值范

围,直线/与平面a所成角0是直线I的方向向量d与平面a的法向量ri夹角0的余角，故可选

用向量法来解，这样较为方便.

【解】

(1)证明:以CAC&CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图3-162所示的空间直角坐

(石\

标系，则有C(0,0,0),A(a,O,O),8(0,a,0),。呈呈0y0,0,——otan。,

I2)

aa6♦八「门

于是V。—,----atan”,CD=

222

从而ABCD=(-a,a,O)---a2+-a2+O=O,即43LCD.

釜,。卜22

。，一&an。1

同理A3-VD=(—aM,0>——a2+-a2+O=O,即AB_LUD.

1222)22

又CDcVD=，45，平面VCD,

又ABu平面VA6,.•.平面VA6J■平面VCD.

⑵设直线3C与平面VAB所成角为0,平面VAB的一个法向量为n=（x,y,z）,则由

一ox+ay=0,

n-AB=O,血、

得《9+会•一日必如"0可取"tan。,——tan。/，

nVD=(),2

优A

a---tan夕仄

n-BC

又BC=(O,—a,O),于是sine=---J,=——sing,

4Z-V1+tan2^2

0<^<-,.-.0<sin^<l,0<sin^<—,XO^i>-,:.Q<(p<-

2224

即直线BC与平面”46所成角的取值范围为（0,5

方法提炼

1空间向量的坐标运算

。=（4，。2，%），人=（4，〃2,4）3，〃均为非零向量）・

空

间

向

量

坐

标

运

算

解法

的向量

行问题

线面平

标系的

建立坐

2易

下.

路，如

两种思

解法，有

的向量

行问题

线面平

标系的

建立坐

对于易

3

，即这

示出来

向量表

的方向

交直线

两条相

平面内

量能用

方向向

直线的

，证明

量定理

共面向

(1)用

.

平行

线面

，可得

面外

在平

和直线

量概念

面向

据共

面,根

量共

个向

行.

面平

得线

外可

平面

线在

由直

垂直，

向向量

线的方

量与直

明法向

，然后证

法向量

出平面

(2)求

直

平面垂

直线与

量证明

3用向

.

如下

思路，

有3种

面垂直

线与平

证明直

用向量

.

平行

向量

一法

的某

平面

量与

向向

的方

直线

证明

(1)

直.

量垂

向向

的方

直线

相交

两条

面内

与平

向向量

的方

直线

证明

(2)

垂直.

向向量

的方

条直线

任意一

内的

平面

量与

向向

的方

直线

证明

(3)

题

何综合

立体几

向量解

4用

.

，如下

要结论

用的重

需要运

合题时

几何综

解立体

用向量

合.

或重

平行

直线

所在

4/

向线段

表示有

//〃O

(1)。

.

a内

在平面

平行或

面a

线与平

量的直

方向向

以a为

表示

面co

//平

(2)。

对使

实数

存在

面O

/共

与a

量p

，则向

共线