四章节风险估测教学课件

第四章风险估测第一节风险统计分析第二节概率的计算第三节概率分布第四节风险定性估测第五节损失幅度的衡量第一节风险统计分析收集数据数据的表示数据的计量一、收集数据风险估测是在对过去损失资料分析的基础上，运用概率论和数理统计的方法对某一特定风险事故发生的损失频率和损失程度作出估计，以此作为选择风险管理技术的依据。风险衡量的基础是充分、有效的数据资料：数据资料的大量性数据资料的具体性数据资料的同质性数据资料的相关性一、收集数据统计是用以（1）收集数据（2）展示数据（3）分析数据和（4）由数据得出结论的一组概念、原则和方法。一、收集数据风险统计分析的第一步是收集数据。收集信息的表格设计要注意以下几点：必须包括所有的指示信息。尽量避免模糊点。不要出现任何诱导性的问题。尽量简单。明确信息分析的方式。一、收集数据二、数据的表示——图和表频数分布表分组频数相对频数（频率）累积频数（频率）二、数据的表示——图和表频数分布表确定组数：组数的确定应以能够显示数据的分布特征和规律为目的。在实际分组时，可以按Sturges提出的经验公式来确定组数K:确定各组的组距：组距是一个组的上限与下限之差，可根据全部数据的最大值和最小值及所分的组数来确定，即组距＝(最大值-最小值）÷组数

二、数据的表示——图和表直方图用矩形的宽度和高度来表示频数分布的图形，实际上是用矩形的面积来表示各组的频数分布。在直角坐标中，用横轴表示数据的组别，纵轴表示频数或频率，各组与相应的频数就形成了一个矩形，即直方图。（频率）直方图下的总面积等于1。索赔数1512963105110115120125130135140索赔额(千元)我一眼就看出来了，大多数的索赔在120～125之间!二、数据的表示——图和表二、数据的表示——图和表饼图也称圆形图，是用圆形及圆内扇形的面积来表示数值大小的图形。主要用于表示总体中各组成部分所占的比例，对于研究结构性问题十分有用。在绘制饼图时，总体中各部分所占的百分比用园内的各个扇形面积表示，这些扇形的中心角度，是按各部分百分比占3600的相应比例确定的。二、数据的表示——图和表条形图条形图是用宽度相同的条形的高度或长短来表示数据变动的图形。条形图有单式、复式等形式。绘制时，各类别可以放在纵轴，称为条形图，也可以放在横轴，称为柱形图。二、数据的表示——图和表条形图频数36916109004080120

食品损坏

失窃

责任诉讼

故障

火灾

风险类型

二、数据的表示——图和表条形图与直方图的区别条形图是用条形的长度（横置时）表示各类别频数的多少，其宽度是固定的，没有实际意义。直方图是用面积表示各组频数（率）的多少，矩形的高度表示每一组的频数或频率，宽度表示各组的组距，均有意义。直方图的各矩形通常是连续排列的，条形图则是分开排列的。二、数据的表示——图和表曲线图只有时间序列数据才能用曲线连接起来，反映了变量随时间变化的趋势。坐标轴的比例不同，直观上所表现出来的曲线的升降幅度也不同。二、数据的表示——图和表曲线图二、数据的表示——图和表曲线图集中趋势

(位置)离中趋势(离散程度)偏态和峰度（形状）三、数据的计量分布特征的测度分布形状集中趋势离散程度均值中位数众数四分位内距全距峰度变异系数方差和标准差偏态三、数据的计量三、数据的计量位置的计量“当代美国的平均人是女人，平均每个女人有2.1个孩子，且这些女人住在平均价值为80000美元的住房中。”这句话中分别用了三种平均值，你能分辨出它们有何不同吗？三、数据的计量位置的计量均值：数据的算术平均数。最常用的统计量，一组数据的均衡点所在，易受极端值的影响。中位数：数据排序后处于中间位置的数值。只代表一个位置，不受极端值的影响。众数：出现次数最多的值（即频数或频率最高）。不受极端值的影响，可能没有也可能不唯一。三、数据的计量位置的计量几何平均数主要用于计算平均发展速度计算公式为：平均发展速度=GM-1三、数据的计量

[例]某超市近四年来因失窃而支出的费用增长率分别为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。试计算该超市在这四年内因失窃支出的平均费用增长率。平均费用增长率＝103.84%-1=3.84%三、数据的计量离散程度的计量全距：一组数据中最大值与最小值的差值。方差：反映了各变量值与均值的平均差异，是数据离散程度最重要的测度。标准差：方差的正的平方根。三、数据的计量离散程度的计量变差系数消除了数据量级和计量单位的影响。可以用于对不同数据离散程度的比较。一组数据的标准差与均值之比。三、数据的计量偏态分布对称性的衡量。偏态的计算公式：右偏与左偏的含义对称分布

均值=中位数=众数左偏分布均值

中位数

众数右偏分布众数

中位数

均值三、数据的计量第二节概率的计算概率的计算方法损失概率的估计概率分布一、概率的计算方法概率是描述一个随机事件发生可能性大小的数值。确定风险事故的观察期。考察期限越长，越能说明风险事故发生的大致情况。运用概率衡量风险是在假设发生风险事故的条件不变的情况下估算的。如果发生风险事故的条件发生了变化，则根据以往的统计资料来预测风险事故的发生，就不一定代表未来风险事故发生的情况。在运用概率衡量风险发生的可能性时，应该考虑以下几个方面的因素：确定风险事故发生的大致范围。确定风险事故发生的最高频率和最低频率。一、概率的计算方法先验概率法条件：计算公式：1）所有结果发生的可能性相同；2）所有可能的结果是已知的。根据古典概型的定义用数学的分析方法进行计算得到的概率称为先验概率。一、概率的计算方法经验概率法当历史数据不精确或不存在时，对事件发生的可能性做出主观判断。依据大量的经验数据进行计算得出的概率称为经验概率。主观概率法当样本量足够大时，用频率估计概率。风险管理者对风险认识的态度及搜集的信息决定主观概率。二、损失概率的估计在衡量损失概率时，需要考虑三项因素：一是风险单位数；二是损失形态；三是损失事件（或原因）。这三项因素在不同组合情况下应分别估计损失概率。一个风险单位遭受单一事件所致单一损失形态的损失概率。这一单一事件的发生概率即为该损失形态的损失概率。一个风险单位遭受多种事件所致单一损失形态的损失概率。那么除了考虑各个事件单独发生的损失概率之外，还应考虑这些事件同时发生的概率，这一概率适用于联合事件概率计算公式。而该风险单位遭受损失的概率则适用于择一事件的概率计算公式。二、损失概率的估计择一事件的概率一般公式：当两个事件是互斥事件时，遵循加法法则：二、损失概率的估计联合事件的概率一般公式：当两个事件相互独立时，遵循乘法法则：概率树第三节概率分布概率分布正态分布对数正态分布泊松分布二项分布大数法则一、概率分布代表随机现象各种结果的变量称为随机变量。常用大写字母X、Y、Z表示，而它们的取值则分别用x、y、z表示。随机变量根据其取值的形式和特征可分为离散型随机型随机变量和连续型随机变量。随机变量的分布是用函数的形式描述以下两方面的内容：1.随机变量X可能取哪些值，或在哪个区间上取值；2.X取这些值的概率分别是多少，或在某一区间上取值的概率是多少。一、概率分布根据取得的实际数据绘制的分布图即为该数据所属总体的实际分布。假定一个接一个地测量某单位的风险特征变量X，把测量得到的x值一个接一个地放在数轴上。当累积到很多x值时，就形成一定的图形，为了使这个图形得以稳定，需把纵轴改为单位长度上的频率。由于频率的稳定性，随着被测风险特征值x的数量愈多，这个图形就愈稳定，其外形显现出一条光滑曲线这条曲线就是概率密度曲线，相应的函数表达式p（x）称为概率密度函数，它就是一种表示风险特征变量X随机取值内在统计规律性的函数。一、概率分布显然，绘制实际分布费时费力，且很多分布整体上而言可能是相似的。此时，我们可以利用一些与实际分布情况接近的理论分布来衡量风险，简化分析过程。使用理论分布来描述风险分布特征的前提是存在一些和实际情况相匹配的理论分布，从而可以根据实际情况进行选择。相应于随机变量的类型，从广义上而言，理论分布也分为两类：离散型概率分布和连续型概率分布。一、概率分布对于随机变量的概率分布，可以计算几个重要的特征数，即分别用于度量其分布的中心趋势和分散程度的均值、方差、标准差。二、正态分布正态分布描述了受许多微小的、相互独立的随机因素综合影响的变量的分布形态。数学家高斯(Gauss)在研究误差理论时提出用它来描述误差的分布，因此，人们也常把正态分布称为Gauss分布。

正态分布的密度函数为：

式中，为正态分布的两个参数。不难计算，正态分布的数学期望，方差。随机变量X服从以为参数的正态分布，一般简记为。

三、对数正态分布由于对数正态分布是呈正偏斜的，因此，保险经营及风险管理中，这一分布常常被人们用来描述个别受损单位的损失状况。如果随机变量X的对数函数，则称随机变量X服从以为参数的对数正态分布，记作。通过计算可以得到对数正态分布的密度函数为：

从直观上讲，个体风险的损失额的分布应该有明显的正偏斜，也就是其密度函数在右边有一个长“尾巴”。

三、对数正态分布[例]已知某特定风险的损失额服从参数为的对数正态分布，那么从400元到40000元的损失额在全部损失记录中占多大的比例？

解：用X表示该特定风险的赔款额，根据题意，也就是说。题中实际是要计算该特定风险的赔款额落在400元到40000元的概率，即

四、泊松分布当随机变量X的分布列为：

称随机变量X服从参数为的泊松分布，记作，其中。

泊松分布的均值和方差都是。泊松分布的一个重要性质是：n个相互独立的参数为的泊松分布随机变量的和服从参数为的泊松分布。这种性质我们称之为可加性。显然，损失次数是一个取值为非负整数的离散型随机变量。而常用来描述损失次数的离散型分布主要有泊松分布、二项分布等。

四、泊松分布在保险中，常用来计算在某一特定周期内发生损失若干次的概率，其方法是：如果为长期中每一个周期（周期一般是一年，但也可以是其它预算周期，如半年、季度、月等）损失的平均数，则某一特定周期发生损失次的概率就可以利用泊松分布的分布列公式计算出来。当条件满足下面两个要求时，泊松分布就可以为我们提供相当精确的近似值：（1）至少有50个相互独立的风险单位；（2）每次损失发生的概率相同，且概率很小（一般要小于0.1）。

五、二项分布二项分布描述的是n重贝努利试验中事件A（成功）发生x次的概率，因而可以用来作为同质风险等额保单赔款次数的概率分布模型。二项分布随机变量X的分布列为：

二项分布的均值和方差分别是：E(X)=np，Var(X)=np(1-p)

参数为n和p，n为非负整数，0<p<1。记作。

利用二项分布的极限分布——泊松分布来做近似计算。当n充分大而p又相当小的时候（一般是指，n≥10，p≤0.1时），可以令，则有五、二项分布[例]有100000人参加了某汽车车辆险，已知每辆车每年发生车辆损失的概率为0.005，计算一年内车辆损失在475辆到525辆之间的概率是多少？

解：用X表示每年损失的车辆数，根据题意n=100000，p=0.005，因此。E(X)=np=100000×0.005=500，Var(X)=np(1-p)=100000×0.005×(1-0.005)=497.5。由二项分布的分布列可知，一年内车辆损失在475辆到525辆之间的概率应为

六、大数法则大数法则（或大数定律）是关于大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理。这是风险与保险的数理基础之二。大数法则表明，独立同分布的风险单位数目越大，对均值的实际偏差就越小，实际结果就越接近期望结果。风险单位是发生一次风险事故可能造成的标的物损失的范围，也就是可能遭受损失的人、场所或事物。六、大数法则中心极限定理是最为常用的一个大数法则。可以表述为：中心极限定理有两个重要的含义：如果从均值为，标准差为的总体中随机抽取n个样本，当n足够大时，样本均值将接近均值为，标准差为的正态分布。只要n充分大，样本均值的分布将独立于总体的分布。即无论总体分布如何，随着样本量的增大，样本均值都将接近正态分布。样本均值分布的标准差（即样本标准误差）将随着样本量的增大而减小，即样本均值的稳定性更好。六、大数法则在风险管理实践中，人们往往无法获知总体的全部信息，从而无法安全掌握总体的特征，而只能获得总体中部分样本的信息。显然，实际情况（即样本）和总体特征之间会有一定程度的差异，因此总体和样本特征之间的关系对于决策者是至关重要的。而大数法则，尤其是中心极限定理则是实现这一目标的重要数理基础。正态分布的密度函数是一个对称的钟形曲线，具有十分优良的统计性质。基于正态分布的经验法则更使其具有广泛的应用价值。六、大数法则如果已知一个数据集来自正态分布的总体，那么约有68%的数据项位于分布的均值左右1倍标准差以内；约有95%的数据项位于分布的均值左右2倍标准差以内；几乎所有的数据项位于分布的均值左右3倍标准差以内；六、大数法则对于一个由独立同分布的风险单位构成的保险集合，保险公司关心以下几个指标：特定的保险期间内预期赔付的损失总额；特定的保险期间内预期赔付的损失总额的标准差；特定的保险期间内预期赔付的每个风险单位的平均损失额；特定的保险期间内预期赔付的平均损失的标准差。根据大数法则，保险集合中的同质风险单位数量越多，该集合的平均损失就越接近损失的实际均值，偏差也就越小，从而可以有足够的资金支付保险期间内发生的所有损失赔偿。六、大数法则假设有1000个居民的房屋，每一间房子的价值是100000元，而且平均每年有一座房子着火，但对于单个居民来说，他的房子是否会着火是不可预测的。在没有保险的情况下，如果房子着火了，对每一个居民来说最大的损失就是100000元，但是，如果这些居民集中起来，构成一个保险集合，该损失就可以通过整个团体进行分散。此时，如果一个居民发生了全损，每个居民将最多支付100元（不考虑其他费用）。事实上，集中技术的结果是用100元的确定支出代替了100000元的不确定风险。因为通过集中大量同质风险单位，保险人能够预测未来的损失，而随着同质风险单位数量的增多，保险人的预测就越接近真实值，也就越能确定合理的保费，保障有足够的资金赔付保险期间内发生的所有索赔。第四节损失概率的定性估测定性方法：根据经验和知识主观地判断分级。优：不需繁重计算，工作量少缺：精确性不够，难于解释常用方法（1）常用分级