2023年高考第二次模拟考数学试卷-江苏A卷（解析版）

2023年高考第二次模拟考试卷——数学(江苏A卷)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.全集U=R,集合A=,集合B={x|log2(x-1)>2},则常何B)为()

A.SO)(4,5)B.(-OO,0)D(4,5]

C.(TO,0)34,5]D.(-oo,4]u(5,+oo)

K答案Xc

x(x-4)<0

R解析》由得解得04x<4,

x-4^0

x-l>4

由log2(x-l)>2,得解得x>5,

[x-1>0

所以A=[0,4),8=(5,+«)),所以A8=10,4).(5,物)，

所以⑦(AB)=(^o,0)u[4,5J

故选：C.

2.已知xeR,i是虚数单位，且史|是纯虚数，则|x+i|=()

A.更B.也C.逐D.也

22

K答案UA

R解析U因为xeR,i是虚数单位，

所以2T(2T)(x-i)2x-(2+x)i+i?212+七

W^x+i-(x+i)(x-i)-x2-i2~x2+\X2+],

竽=01

又行是纯虚数，贝U">，解得：x=l

X4-12+x八2

故选：A.

3.(a-x)(l+x)6的展开式中x的奇数次基项的系数之和为64,则实数。=()

A.4B.3C.2D.1

K答案HB

K解析》设（々一力（1+工丫=/++%丁,

令人=1得，64(a—1)=%+4+/++%①,

令x=-1得，0=4—4+%+—%②,

①-②得，2(4+〃3+%+%)=64(a-l)=2x64,解得a=3.

故选：B.

3ril.

4.已知cos-,则sin)

34

B>C.D.——

A.1I55

K答案UC

71兀兀3

K解析》因为sina工=sina-弓=-cosa——=-cos——a

32665

故选：C.

5.ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,》,c,已知sinA:sin8=3:5,c=2h-a,

则cos8=()

7D.B

A.-

142

K答案》A

K解析』VsinA:sinB=3:5

a33

・・・由正弦定理可得:j,可得：a='b

b

b2

a2+c2—b111

.*.cosB=

14

lac2x型x也

55

故选：A.

6.若｛%｝是正项递增等比数列，6表示其前〃项之积,且♦=品，则当T,取最小值时,〃

的值为

A.9B.14C.19D.24

K答案1B

R解析/因为4=几,所以啊aw•••碳=1，即%%=1，又数列｛%｝是递增的等比数

列，所以斯,。,%)1，所以当1取最小值时，”的值为14,故选B.

7.抛物线C:y?=-12x的焦点为尸，P为抛物线C上一动点，定点4-5,2),则|网+|产川

的最小值为()

A.8B.6C.5D.9

K答案』A

设抛物线C的准线为/,过户作PCI/于C,过A作AB1/于8,

因为|PF|=|PC|,所以当A,P,C三点共线时，

1PAi+|尸尸|取得最小值，故|A4|+.|的最小值为|-5|+5=8.

故选:A.

8.设函数/(x)=+“sinx+2的最大值为加⑷,最小值为机(“)，则()

a~+acosx+2

A.V^zeR,A/(a)・m(a)=lB.BaeR,M(a”〃(a)=2

C.V〃cR,Af(a)+〃z(a)=2D.3aeR,M(a)+/n(«)=3

R答案XA

K解析X法1：­+〃85%+2=(4+q')+2_CO；%〉0,

故/(月的定义域为R，

当〃=0时，/(%)=1,此时M(a)=/n(a)=L.

£l±Z+sinxsinx-

当"。时，"x)=]上一二一蓝不，

+COSXcosx----------

a----------------------I«J

2ca2+2(,2]

设5=———=-la+-I,

若a>0,则a+2》2&,当且仅当"人时等号成立，故S4-2立，

若〃<0,则(-〃)+222应，当且仅当。=一0时等号成立，故SN2叵,

-CI

(〃+2，

sinx----------

又-----卜日玖的几何意义为圆上的动点P(cosx，sinx)与Q(S,S)连线的斜率,

cosX---------

I«7

而。(S,S)的轨迹为如图所示的两条射线，

对于给定的Q(S,S),/(“),，”(〃)分别过Q(S,S)的切线的斜率的较大者、较小者,

设切线斜率为左,则切线的方程为：y=k(x-S)+S,

整理得到：kx—y+S—kS=O,故J♦=1,

J1+公

整理得到(底-1伙2-2s2k+$2-1=0,故M(a)"(a)=与二1=1,

故A正确，B错误.

2小?

flnM(o)+w(a)=-^—j-=2+^y—j-,

,q2O

因S?28,故2VM(a)+〃?(a)=-^-=2+±<3,故CD错误.

S—17

故选：A.

法2：设y=+2+“sinx,则y(“2+2+acosx)=a2+2+asinx,

-a2+2+acosx

整理得到：(y-l)(a2+2)=asinx—aycosx,

若a=0,y=l,此时M(a)=/n(a)=l,.

若aH0,则(y-1)(/+2)=yja2+a2y2sin(x-p),

a.ay

其中COS0=,,,sin<=/,,,，

yja+a'yyjcr+a'y

因xeR,ti^a2+a2y2sin(x-(f)|<^a2+a2y2,

故|(y-1乂/+2)EjR+a2y2,

整理得到：(a4+3〃+4)V-2(〃+2)2y+(/+3〃+4)<00,

此时△=4,2+2)"-4(/+3/+W>0,故①的解为丫24丫4丫।，

22

其中y^y2为方程(/+3〃+4)/-2(f/+2)y+(/+3〃+4)=0的根，

故〃(4)加(4)=%、2=1，故A正确，B错误.

2(/+2)22

而M(a)+m(a]=y+%=-r---=2+-------------

ClH--Y+D

4L

因为/+r+3224+3=7,当且仅当a=±忘时等号成立，

a

2

故2VM(a)+机(a)<2+,<3,故排除CD.

综上，M(a)m(£/)=1,

故选：A.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列关于平均数、中位数、众数的说法中错误的是()

A.中位数可以准确地反映出总体的情况

B.平均数可以准确地反映出总体的情况

C.众数可以准确地反映出总体的情况

D.平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况

K答案』ABC

K解析11中位数不受少数极端值的影响，对极端值的不敏感也会成为缺点；故A错误；

平均数较好地反映样本数据全体的信息，但是样本数据质量较差时使用

平均数描述数据的中心位置就会可能与实际情况产生较大差异.；故B错误；

众数体现了样本数据的最大集中点，但对其他数据信息的忽略使得无法客观

反映总体特征；故C错误.由以上理由可知D正确.

故选：ABC.

10.设为两个非零向量，且〃/=0,那么下列四个等式，其中正确等式有（）

.>2

A.|«|=|/?|B.\\a+b\^[a-b\C.a-（a+ft）=0D.（a+b）=a+b

K答案》BD

K解析》由题意，a/=0即故A选项显然不正确；

B选项，由于口+62-"-"2=3+6）2一（〃-6）2=4"2=0,^\a+b\=\a-b\,故B选项正

确；

C选项，a-（a+b）=a-a+a-b=a-a=\a\2^0,故C不正确；

D选项,（a+b）2=/+万+2°/=，+万，故D正确

故选：BD.

11.己知A（3,4）,B（-6,-3"A,B任/）两点到直线/s+y+l=0的距离相等，则。的值可能为

C.-1

K答案》AD

K解析XA（3,4）,3（-6,-3）（48定/）两点到直线/:"+），+1=0的距离相等,

故选：AD.

12.下列不等关系正确的是（）

A.3e<e3<3KB.e3<ne<e11C.7ie<7r3<e;D.3e<7r3<3"

K答案》ABD

K解析力构造函数y（x）=（，其中*>o,则r（x）=上詈，

当0<x<e时，/<犬）>0,此时函数/（x）单调递增，

当X〉e时，r（x）<0,此时函数“X）单调递减，则〃x）4/（e）=L

e

对于A选项，/（3）</（e）,ER—<—,即eln3<31ne,可得3e<e3,

3e

又因为e3<3?<3、所以，3c<e3<3n,A对；

对于B选项，/（7i）</（e）,BP—<-,BPelnjKKlne,可得兀Je”,

ne

2

2In—

在中，令工=J,则Y<一,化简得In兀>2—£,

en£1e兀

兀

故eln万〉e（2—£）>2.7x（2-等）>2.7x（2-0.88）=3.024>3,

所以eln7T>3,即In上>Ine*所以,7te>e3,故e3V冗。V炉,B对；

对于C选项，因为In兀>2—,则31rl兀>6--->6—e>兀，

兀兀

故In/〉兀,故冗3>e",C错；

对于D选项，因为f⑶>/（兀）,即孚〉皿,则31n兀<Rn3,即In1<1n3”,

37t

所以，7I3<3\又3e<7te<n3,因此，3。<7?<3*,D对.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在2022年新冠肺炎疫情期间，长葛市组织市民进行核酸检测，某个检测点派出了3名

医生，6名护士.把这9名医护人员分成三组，每组1名医生2名护士，则医生甲与护士

乙分在一组的概率为.

K答案H1

K解析》由题意每组1名医生2名护士的分法总数是〃=C：C；C：=90,

医生甲与护士乙分在一组的方法机=C；C；C；=30,

所以所求概率为/>='祖=%30=：1.

n903

故K答案』为：!

AR

14-在锐角三角形ABC中'4=B’则三的取值范围是.

K答案》（（）,忘）

.71

0cAe一

。<22

兀71n71

K解析》锐角中，，0<B<即V0<B<-,

2242

7T„71

0<C<0<7t-2B<-

2[2

4RAC

在.ABC中，由正弦定理「；二—^,

sinCsinB

-rzsABsinCsin（乃一28）sin2B2sinBcosB__

口J得---=-----=-----------=------=----------=2cosB

ACsinBsinBsinBsinB

Q^<B<p.-.0<cosB<^,--2cosBe（0,^）,即%e（0,立）.

故K答案》为：（（）,返）.

15.设椭圆£+]=l（a>〃>0）的左、右焦点分别为耳，在2.已知点M（0,更"），线段加入

a2b~2

交椭圆于点尸，。为坐标原点.若伊。+|咐|=2a,则该椭圆的离心率为.

（答案Dy

K解析】根据椭圆定义知|P司+|P周=2,又\PC\+\PF\=2a,..\PF2\=\PO\,

由三角形MOF2为直角三角形可得点P是川鸟的中点，

（c丫（底丫

工（c,0）,...呜萼）,把点P代入椭圆方程中得1丁1°?I

丁=2

故K答案H为：1.

22

16.若实数x,y满足x>y>0,且logzX+log2y=3,则工±21的最小值为

K答案》8

K解析U由logzX+log2y=3得：xy=8,又实数X,y满足x>y>0,

则匚上=（.□）+2b=Q_丫）+旦22k—y）.上=8,当且仅当》->=旦，即

x-yx-yx-yyx-yx-y

万一丫=4时取“=”,

孙=8

由,x-y=4解得：x=2币+2,y=2小-2,

x>y>Q

x22

所以当x=20+2,丁=26-2时，——一取最小值8.

人一）’

故K答案』为：8.

四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

/1、〃T

17.（10分）已知数列｛4｝的前“项和S“=—%--+2（〃eN"）,数列｛"｝满足

<2/

b.=2〃a”.

（1）求证：数列｛包｝是等差数列，并求数列｛%｝的通项公式;

数歹IJ｛，｝的前n项和为7；,求满足T<聂（〃eN*）的

(2)n

2"(〃一。,)("+1-。”+1)

〃的最大值.

/1、〃-1

解：(I)_+2(〃EN*

(2J

当72=1时，4=S[=-弓—1+2=-q+1,解得％=；；

n-2

当"N2时，由S”+2,可得S,i=-a,i+2,

上述两式相减得4,=-an--a„+£才,即1an=an_x+,

等式2%=q—+击的两边同时乘以2，i,得2"%=2"T*+1,即2=%+1,

所以，=1且瓦=2%=1,

所以，数列｛%｝是以1为首项，以1为公差的等差数列，则d=l+（〃-l）xl=〃,

2［（2--1）-（2--1）］

21

（2W-1）（2,,+I-1）

2

所以，^-2!1-2-1+22-1-23-1++2,,-1-2"+|-1

22n+l-l

124

由不可得2川＜64,即"+lv6,・・."5.

63

因此，正整数”的最大值为4.

18.(12分)如图，在三棱柱ABC-中，侧面ABMA为棱长为2的菱形,

NA4g=三，AC\=B、C1=2,

(1)求证：面AB。一面A叫人；

(2)求直线AG与面A3C所成角.

(1)证明：连结AB交AB|于点0,连结G。,

7T

因为4阴A为菱形，ZAA.B,

所以A8]=A8=2,>1,0=73,

则为等边三角形，即可得=

又，AG=瓜,

所以在.0AC中，0^+0C：=(V3)2+=6=AC：,

兀

Z^OC,=-,即G。：刀,

又知G。ABt=O,

且GOu平面ABC，A81U平面ABC，

所以A3J.平面ABC，48^^平面488出，

即平面ABC，平面A网A.

（2）解：由（1）知平面平面4881A,

因为AO，A81,平面ABC平面ABB|A=A8|,

所以AO-L面ABG，

则4G。即为4£与面AB,G所成角，

在RtaAC。中，4。=6，AG=R，

・・sinNAG。=------=-----，

2

___7T

zL41C]O=—,

所以直线4G与面A8£所成角为-.

4

19.（12分）已知：ABC的内角A,8,C的对边分别为4"d_abcosA+acosB=2ccosA.

（1）求角A的大小；

（2）若。=2,求b+c的最大值.

解：（1）bcosA+6/cosB=2ccosA,

由正弦定理得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA=sinC,

,/sinBcosA+sinAcosB=sin（A+B）=sin（^--C）=sinC,

/.2sinCcosA=sinC,

又二sinCwO,

/.2cosA=1,即cosA=',

2

又

所以A=g；

（2）由余弦定理/=〃2+02-26CCOSA可得,

所以4=〃+c2-hc=(b+c)2-3bc4(Z)+c)2；)，

即b+c44,当且仅当b=c时，取等号，

所以。+c的最大值为4.

20.(12分)己知函数+3cosx,g(x)=e*(2x+cosx-sinx-2),其中

e=2.71828…是自然对数的底数.

(1)证明："X)与g(x)具有相同的单调性；

2

(2)令"(x)=g(x)-§4(x)(〃<1),讨论做大)的极值点个数.

(1)证明：由/(X)=；X2+3COSX,得/'。)=3(》-$也*),

由g(x)=e'(2x+cosx-sinx-2),得g'(x)=2e*(x-sinx),

因为e*>0,所以尸(x)与g'(x)的符号相同，

所以“X)与g(x)具有相同的单调性.

(2)解：由⑴知〃(x)=2(x-sinj(0(e*-4),a<1,

令s(x)=x-sinx,则$(())=(),且s'(x)=l-cosxN0,

所以S(x)在R上单调递增，

故当x>0时，s(x)>(),当x<0时，s(x)<(),

①当"40时，er-tz>0,

此时,当xvO时,〃(力<0,刈力单调递减，当x>0时,〃'(力>0,6(力单调递增,

所以当x=0时，〃(x)取极小值，且有1个极小值点，无极大值点；

②当a>0时，h\x)=2(ev-elna)(x-sinx),

令〃'(x)=0,解得X1=lna,々=0,

由0<a<l,得lna<0,于是：

xna

当x«Yo,lna)时，e-e'<0,//(x)>0,/z(x)单调递增，

l,,n

当x«lna,0)时，e>-e>0,〃(x)单调递减,

当XG(0,+co)时，e>_e'n«>0,/f(x)>0,//(x)单调递增,

故当x=lna时，取得极大值，当x=0时，〃（“取得极小值，〃（另有2个极值点.

综上：当时，函数力（力有1个极值点，当0＜。＜1时，函数火另有2个极值点.

厂厂

21.（12分）已知椭圆C:7+后=1（“＞。＞0）的短轴长为2JL右焦点尸与抛物线

V=4x的焦点重合，。为坐标原点

（1）求椭圆C的方程；

一31-

--

（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点O（T,0）,且满足04=408,若，《82!

1_.

求直线4B的斜率的取值范围.

22

解：（1）由已知得》=6,C=1,所以a=2,椭圆的方程为C:二+匕=1.

43

（2）：04=/1。8，•••3AB三点共线，而。（-4,0）,且直线AB的斜率一定存在，所以设

A8的方程为y=以才+4）,与椭圆的方程工+片=1联立得

43

（3+4^»2一246+36r=0,由A=144（l-4炉）＞0,得

设人（士,％）,8（毛,%），y+%=3处2、，，%=3：%①

又由D4=/IO8得：（演+42）=4*2+4,%），必=2%②.

八八24k

(2二时

将②式代入①式得:

23+4公

消去％得白=用=*"2'

3I1a171

当；le时，力（2）=力+4+2是减函数，所以］W/?（4）K,

8'2

.216夕4号，解得焉4公4得，

23+4k22448436

又因为&V，所以言-$，即一冬小

--或^—<k<­,

22226

二直线A8的斜率的取值范围是卜*，-

22.（12分）由机〃个小正方形构成长方形网格有，〃行和"歹U.每次将一个小球放到一个小

正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为。，放红球的概率为q,