2022-2023学年湖南省永州市浯溪镇第四中学高二数学理联考试卷含解析

2022-2023学年湖南省永州市浯溪镇第四中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.有一段演绎推理是这样的:“幂函数在(0,+∞)上是增函数；已知是幂函数；则在(0,+∞)上是增函数”的结论显然是错误的，这是因为（

）A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误参考答案：A当时，幂函数在上是增函数，当时，幂函数在上是减函数，据此可知题中的大前提是错误的.

2.已知函数在处的导数为1，则

(

)

A．3

B．

C．

D．参考答案：B3.如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能载一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为（）A．420 B．240 C．360 D．540参考答案：A【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、5个花池用了5种颜色的花卉，将5种颜色的花卉全排列即可，②、5个花池用了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花，或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，③、5个花池用了3种颜色的花卉，4号与2号同色，3号与5号同色，分别求出每一种情况的栽种方案，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、5个花池用了5种颜色的花卉，将5种颜色的花卉全排列即可，有A55=120种情况，②、5个花池用了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花，或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，则有2A54=240种情况，③、5个花池用了3种颜色的花卉，在5种颜色的花卉中任选3种，安排在1、2、3号花池，4号与2号同色，3号与5号同色，则有A53=60种情况，则有120+240+60=420种不同的栽种方案；故选：A．【点评】本题主要考查排列、组合的应用，注意5种颜色的花卉不一定用完，需要分情况讨论．4.函数的最大值为

（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A略5.若已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为A．a2

B．a2

C．a2

D．a2参考答案：C略6.过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若是的中点，则双曲线的离心率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目.若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为（

）A．12 B．18 C．24 D．32参考答案：B8.函数y=xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数（

）

A.(

B.

C.

D.参考答案：B9.正方体的边长为2，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A．12π B．﹣125π C．0 D．以上都不对参考答案：A【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】由棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，知球半径R=，由此能求出球的表面积．【解答】解：∵棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，∴球半径R=，∴球的表面积S=4π（）2=12π．故选A．10.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若复数在复平面内对应的点在第三象限，则整数a的取值为_____．参考答案：0【分析】将复数写成a+bi（a,b∈R）的形式，然后由复数对应的点在第三象限，列出不等式，可得a的取值.【详解】复数，若复数在复平面内对应的点在第三象限，则，解得，又a为整数，则a=0,故答案为：0【点睛】本题考查复数的乘法运算和复数的几何意义，属于简单题.12.

。参考答案：12略13.△ABC中，AB=，AC=1，B=30°，则△ABC的面积等于

．参考答案：

或【考点】解三角形．【分析】由已知，结合正弦定理可得，从而可求sinC及C，利用三角形的内角和公式计算A，利用三角形的面积公式进行计算可求【解答】解：△ABC中，c=AB=，b=AC=1．B=30°由正弦定理可得b＜c∴C＞B=30°∴C=60°，或C=120°当C=60°时，A=90°，当C=120°时，A=30°，故答案为：或14.平面ABC，M、N分别为PC、AB的中点，使得的一个条件为_____________________________；参考答案：15.已知f（x）=xex，g（x）=﹣（x+1）2+a，若?x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是

．参考答案：a≥．

【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】?x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，利用导数可求得f（x）的最小值，根据二次函数的性质可求得g（x）的最大值，代入上述不等式即可求得答案．【解答】解：?x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，f′（x）=ex+xex=（1+x）ex，当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，所以当x=﹣1时，f（x）取得最小值f（x）min=f（﹣1）=﹣；当x=﹣1时g（x）取得最大值为g（x）max=g（﹣1）=a，所以﹣≤a，即实数a的取值范围是a≥．故答案为：a≥．16.已知是虚数单位，=

.（用的形式表示，）参考答案：略17.等比数列中，已知对任意正整数，…，则…等于____________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设命题p:;命题q:(2a+1)x+,若的必要不充分条件，求实数a的取值范围。参考答案：19.在平面直角坐标系中，的两个顶点的坐标分别为，三个内角满足.（1）若顶点的轨迹为，求曲线的方程；（2）若点为曲线上的一点，过点作曲线的切线交圆于不同的两点（其中在的右侧），求四边形面积的最大值.参考答案：解：（1）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理.∵，∴.∵

∴

即.由椭圆定义知，B点轨迹是以C，A为焦点，长半轴长为2，半焦距为，短半轴长为，中心在原点的椭圆（除去左、右顶点）.∴B点的轨迹方程为.（2）易知直线的斜率存在，设，，，即，因为,设点到直线的距离为，则，，，由，，，，.而，，易知，，，时取到，.20.实数m取什么数值时，复数分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数z的点在复平面的第四象限？参考答案：（1）；（2）；（3）；（4）.试题分析：根据复数的概念及几何意义易得.（1）当复数z是实数时，，解得；（2）当复数z是虚数时，，解得；（3）当复数z是纯虚数时，且，解得；（4）当复数z表示的点位于第四象限时，且,解得.试题解析：解：（1）当，即时，复数z是实数；（2）当，即时，复数z是虚数；（3）当，且时，即时，复数z是纯虚数；（4）当且,即时，复数z表示的点位于第四象限。考点：复数的概念及几何意义.21.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【分析】（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得和的坐标，可得cos＜，＞，可得答案；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=，进而可得答案．【解答】解：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），∴cos＜，＞==∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：22.已知直线l过点（2，1）和点（4，3）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于