高考知识点分章复习之函数与导数

第4页共6页第三章导数与函数一、【突破方法技巧】1．讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响.2．对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑.如对二次项含参数的二次函数问题，应分a＝0和a≠0两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数a时，需按a＞1和0＜a＜1分两种情况讨论.3．在理解极值概念时要注意以下几点：①极值点是区间内部的点，不会是端点；②若在（a，b）内有极值，那么在（a，b）绝不是单调函数；③极大值与极小值没有必然的大小关系；④一般的情况，当函数在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数在［a，b］内的极大值点和极小值点是交替出现的；⑤导数为0的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号.4．求函数最值分为以下几步：①求出可疑点，即＝0的解x0；②用极值的方法确定极值；③将（a，b）内的极值与，比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；当在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处有极大（小）值，则可以确定在该点处了取到最大（小）值.5．利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面：①＞0是递增的充分条件而非必要条件（＜0亦是如此）；②求单调区间时，首先要确定定义域；然后再根据＞0（或＜0）解出在定义域内相应的x的范围；③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.二、【典型例题分析】考点一：导数与函数的小题1.函数的单调递增区间是 ()A.B.(0,3)C.(1,4)D.解析：,令,解得,故选D2.已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为()A.1B.2C.-1D.-2解：设切点，则,又.故答案选B3.已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是()A.B.C.D.解析：由得，即，∴∴，∴切线方程，即选A4.设R，若函数y=eax+3x，R有大于零的极值点，则（B）A．a＞-3 B．a＜-3 C．a＞- D．a＜-5．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a等于 （D）A.2B.C.D.-26.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A． B． C． D．7.曲线在点处的切线方程为()A.B.C.D.解,故切线方程为,即故选B.8.若函数在处取极值，则解析f’(x)＝，f’(1)＝＝0a＝39.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.解析：由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，所以。10.设是定义在上的奇函数，当时，，则（A）(B)（Ｃ）１（Ｄ）３【解析】∵设是定义在上的奇函数，当时，，∴===－3，故选A.11.设函数f（x）=则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）（A）[-1，2]（B）[0，2]（C）[1，+）（D）[0，+）解析：不等式等价于或解不等式组，可得或，即，故选D.12.若，则的定义域为A.B.C.D.【解析】要使原函数有意义,只须,即,解得,选A.13.若，则的解集为A.B.C.D.【解析】因为,原函数的定义域为,所以由可得,解得,故选C.14.曲线y=+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A)(B)(C)(D)1【解析】：，，切线方程为由则故选A15.设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则=(A)-(B)(C)(D)【解析】故选A16.函数在处取得极小值.【解析】得。所以函数的单调递增区间为，减区间为，所以函数在x=2处取得极小值。17.已知实数，函数，若，则a的值为________解：因为,所以是函数的对称轴,所以,所以的值为.18．设函数，则（）A.为的极大值点B.为的极小值点C.为的极大值点D.为的极小值点[学【解析】，令，则，当时，当时，所以为极小值点，故选D.19.已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝（A）-2或2（B）-9或3（C）-1或1（D）-3或1【解析】若函数的图象与轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为，令，解得，可知当极大值为，极小值为.由，解得，由，解得，所以或，选A.20.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于A．或B．或C．或D．或【解析】设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选.21.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为A．B．C．D．【解析】由已知，而，所以故选A考点二：利用导数求解函数的单调性问题若f(x)在某区间上可导，则由f(x)＞0(f(x)＜0)可推出f(x)为增（减）函数，但反之则不一定，如：函数f(x)＝x3在R上递增，而f(x)≥0.f(x)在区间D内单调递增(减)的充要条件是f(x0)≥0(≤0)，且f(x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单调性的主要题型：(1)根据函数解析式，求函数的单调区间；(2)根据函数的单调性函数求解参数问题；(3)求解与函数单调性相关的其它问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.【例1】2008全国（文、理）：已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．解：（1），求导：当时，，，在上递增当，求得两根为解析：（1），因为函数在上存在单调递增区间，所以的解集与集合有公共部分，所以不等式解集的右端点落在内，即，解得．（2）由得，又，所以，，所以函数在上单调增，在上单调减，又，，因为，所以，所以，所以．最大值为．考点五：函数与导数综合问题导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。【例10】2010全国（理）：已知函数.（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）证明：.【例11】2011全国（理）：（Ⅰ）设函数，证明：当时，（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为，证明：证明：（Ⅰ）时，，于是在上单调增，所以（Ⅱ）（共有对数相乘）由（Ⅰ），时，也有，故在上单调增，所以即即，两边同时取的对数得：综上所述：【例12】2012全国（理）：设函数。（1）讨论的单调性；（2）设，求的取值范围。解：。（Ⅰ）因为，所以。当时，，在上为单调递增函数；当时，，在上为单调递减函数；当时