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電腦與數學教學網頁內容教學單元：圓錐曲線國立苑裡高中：張浴民老師指導教授：陳創義教授主題內容三：雙曲線能掌握雙曲線的定義與基本架構

認識雙曲線的要素名稱雙曲線的標準式與定義式雙曲線的參數式雙曲線的軌跡方程式定義：在平面上，到兩定點F1與F2的距離差為2a

(

)的所有點P所成的圖形為一雙曲線，即。

(1)2a

為雙曲線之貫軸長

(2)與為通過P點的兩個焦半徑。

(3)F1與F2為雙曲線的焦點。

(4)中心：的中點稱為雙曲線的中心，雙曲線的中心為雙曲線圖形的幾何對稱中心。雙曲線的定義_1雙曲線的定義_2設F1與F2為二定點，P(x,y)為一動點，滿足。

(1)

，則P點之圖形為一雙曲線。

(2)，則P點之圖形為以F、F’為兩端點的兩射線。

(3)，則P點之圖形為一空集合。雙曲線的定義構圖(同心圓)GSP構圖F2F1雙曲線的要素名稱：F2F1兩定點F1與F2稱為雙曲線焦點

的中點，稱為雙曲線的中心ABOxy

與雙曲線的交點A、B稱為頂點(貫軸端點)兩頂點所連直線稱為貫軸，如

；而稱為貫軸長CD過中心與貫軸垂直之直線稱為共軛軸，如，而C、D

稱為共軛軸端點。共軛軸端點連線段稱為共軛軸長如兩焦點F1、F2之距離稱為焦距，如PQ弦：雙曲線上任兩點之連線段稱為弦焦半徑：雙曲線上任一點與焦點之連線段焦弦：雙曲線上過焦點之弦MN正焦弦：雙曲線上過焦點與貫軸垂直之弦漸近線：在無窮遠處與雙曲線可以任意靠近但不相交的兩直線如L1與L2，漸近線的交點必為中心L1L2xy雙曲線方程式之標準式(一)方程式中心O貫軸端點共軛軸端點焦點貫軸長共軛軸長焦點距離正焦弦長漸近線OA(a,0)B(-a,0)C(0,b)D(0,-b)F1(c,0)F2(-c,0)xy雙曲線方程式之標準式(二)方程式中心O貫軸端點共軛軸端點焦點貫軸長共軛軸長焦點距離正焦弦長漸近線OA(0,b)B(0,-b)C(a,0)D(-a,0)F1(0,c)F2(0,-c)xy雙曲線方程式之標準式(三)方程式中心O貫軸端點共軛軸端點焦點貫軸長共軛軸長焦點距離正焦弦長漸近線(h,k)A(h+a,k)B(h-a,k)C(h,k+b)D(h,k-b)F1(h+c,k)F2(h-c,k)Oxy雙曲線方程式之標準式(四)方程式中心O貫軸端點共軛軸端點焦點貫軸長共軛軸長焦點距離正焦弦長漸近線OA(h,k+b)B(h,k-b)C(h+a,k)D(h-a,k)F1(h,k+c)F2(h,k-c)(h,k)雙曲線之特例_1：等軸雙曲線若一雙曲線的貫軸長與共軛軸長相等，則稱為等軸雙曲線例如：

特性：(1)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直。

(2)正焦弦長=貫軸長=共軛軸長

(3)離心率

(課外)。雙曲線之特例_2：共軛雙曲線_1若一雙曲線的貫軸與共軛軸分別是另一雙曲線的共軛軸與貫軸，則稱為此二雙曲線為共軛雙曲線。例如：

雙曲線之特例_2：共軛雙曲線_2共軛雙曲線之特性：

(1)若Γ1與Γ2互為共軛雙曲線，則Γ1與Γ2有共同之中心與漸近線，但有相同的兩條漸近線之兩雙曲線並不一定互為共軛雙曲線。

(2)若Γ1與Γ2互為共軛雙曲線，則其四個焦點共圓。yOABCDF1F2F1’F2’xΓ1Γ2雙曲線方程式之參數式(一)GSP構圖yOxPθbtanθ解題時機：距離、面積、極值之類型的題目。θ並非與x軸正向之夾角。雙曲線

上的點P，可設為：bMθasecθRQSaN雙曲線方程式之參數式(二)GSP構圖Pθbtanθ解題時機：距離、面積、極值之類型的題目。θ並非與x軸正向之夾角。雙曲線

上的點P，可設為：bMθasecθRQSaNyOxx=hy=k範例(一)標準式雙曲線：

上任一點P，則：

(1)中心

(2)頂點

(3)共軛軸端點(4)焦點

(5)貫軸長(6)共軛軸長

(7)焦點距離(8)正焦弦長

(9)漸近線(10)共軛雙曲線

(11)貫軸所在直線方程式

(12)共軛軸所在直線方程式

(13)P點到兩焦點之距離差為範例(一)標準式【解】_1先將雙曲線化為標準式：OABF1F2CDPQ範例(一)標準式【解】_2OABF1F2CDPQ範例(二)定義式求方程式：

之

(1)圖形為

(2)二焦點坐標

(3)貫軸長(4)共軸長

(5)正焦弦長(6)中心

(7)貫軸所在直線方程式

(8)共軛軸所在直線方程式

(9)貫軸端點(10)共軛軸端點範例(二)定義式【解】_1ADBF2F1EFPQ範例(二)定義式【解】_2ADBF2F1EFPQ範例(二)定義式【解】_3ADBF2F1EFPQ範例(三)定義式2設F1，F2

為平面上二定點，且P為一動點，，則：

(1)時，P點之軌跡為。

(2)時，P點之軌跡為。

(3)

時，P點之軌跡為。

(4)

時，P點之軌跡為。

(5)

時，P點之軌跡為。範例(三)定義式2【解】範例(四)共焦點已知一雙曲線兩焦點與橢圓之兩焦點相同，且共軛軸長為

，則此雙曲線方程式為

。範例(四)共焦點【解】F1F2Γ範例(五)參數式點(3,0)與雙曲線上之點最小距離為

。範例(五)參數式【解】F1F2Γ範例(五)參數式2證明雙曲線上任一點到兩漸近線距離之積為一常數。【證明】：範例(五)參數式3自雙曲線上任一點引二漸近線之平行線，則所圍平行四邊行面積為。範例(五)參數式3【解】ΓQO範例(六)圖形之探討方程式，則：

(1)Γ圖形為橢圓時，則t的範圍為

。

(2)Γ圖形為雙曲線時，則t的範圍為

。

(3)Γ圖形為圓時，則t的範圍為

。

(4)Γ圖形不存在時，則t的範圍為

。範例(六)圖形之探討【解】範例(七)軌跡的應用中點軌跡。到二線(漸近線)乘積為定值。跟兩圓相切(不論內外切)之圓心軌跡。已知兩圓內離(大圓包小圓)：橢圓。

已知兩圓外離(大圓不包小圓)：雙曲線。過定點與圓相切之圓心軌跡。定點在圓內：橢圓。

定點在圓外：雙曲線。過原點之一直線與交於P、Q兩點，則所有中點所成圖形方程式為。範例(七)軌跡的應用_1範例(七)軌跡的應用_1【解】GSP構圖PQMxOy到二直線之距離乘積為4之所有點所成之圖形方程式為

。範例(七)軌跡的應用_2【解】：PP範例(七)軌跡的應用_3若圓C與二定圓，均相切，則：則圓C之圓心軌跡方程式為

。