第一章概率统计基本知识课件

第一章概率统计基本知识

[1]、概率基础知识一、事件与概率1、（掌握）现象：如果（随机）现象的结果不止一个（至少两个），且预先不能确定必将出现什么结果，此试验叫随机试验（现象）①掷硬币试验ω1={正面}ω2={反面}②检查一件产品是否合格ω1={合格}ω2={不合格}③掷一颗骰子ωi={出现i个点了}i=1，2……6（掌握）随机试验结果中发生的现象叫事件，记A，B，C……

随机试验的每一个基本结果叫样本点，记ω1,ω2……

随机试验一切可能样本点的全体称为该试验的样本空间

Ω={ω1,ω2…..}例1：掷一颗骰子Ω={1，2，3，4，5，6}2：一台电视机寿命Ω={t:t≥0}3：抛一枚硬币Ω={正面，反面}2、（熟悉）事件的定义、运算及关系定义：随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件①事件是样本点的集合如B=“出现偶数点”={2，4，6}②A发生当且仅当A中的一个样本点出现③最大子集Ω∈f④最小子集Φ∈f事件的关系：包含相等互斥（掌握）事件的运算:对立交（积）并（和）差事件运算和算律A∩B=B∩AA∪B=B∪A(A∩B)∩C=A∩(B∩C)A∪(B∪C)=(A∪B)∪cA∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=AB∪AC3、事件的概率（掌握）定义：表示事件A发生可能性大小的非负实数称为该事件发生的概率（1933柯）满足：（1）P（A）≥0(2)P（Ω）=1（3）P（∪Ai）=∑P(Ai)(非负性、规范性、可列可加性)例4：一个试验结果为：则：①Ω={a,b,c,d,e}P(Ω)=P(a)+P(b)+P(c)+P(d)+P(e)=1②定义A={d,b,e}P(A)=P(b)+P(d)+P(e)=0.2+0.4+0.2=0.8③定义B={a,d,e}P(B)=0.7④A∪B={a,b,d,e}P(A∪B)=0.9⑤A∩B={d,e}P(AB)=0.6⑥A-B={b}P(A-B)=P(b)=0.2二、概率的确定1、（熟悉）古典概率：有限个样本点（比如n个）每个样本点出现可能性是相同的（等可能）则P（A）==例5．掷一颗骰子，A=“出现偶数点”={A2，A4，A6}K=3而Ω={A1，A2，A3，A4，A5，A6}（n=6）P(Ai)=1/6P(A)=K/n=3/6=1/2例6．掷两颗骰子，样本点可用数对(x.y)（x,y=1,2,3,4,5,6）表示且每一种可能性大小都是1/36①

A=“点数之和为2”={1，1}P（A）=1/36②

B=“点数之和为5”={（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}P（D）=1/9例7．一批产品有N个，其中不合格品M个，现从中随机取出n（n≤N）个，问事件Am=“恰恰有m个不合格品”的概率是多少？解：从N个取n个,共有个不同样本点，组成此问题的样本点空间Ω，由于“随机取出”说明这个点的每一个是等可能出现的。要使Am发生，必须从M个不合格品里随机取出m个，而从N-M个合格品中随机取出n-m个，所以Am共有个样本点。故P（Am）=m=0,1,2…r；r=min(n,M)如N=10M=2n=4则P（A0）=3333P（A1）=0.5333P（A2）=0.13342、（掌握）统计解释（频率稳定性）A在n次试验中发生k次，则即为频率(在n次实验中发生的相对频率)频率不同于概率，它们有联系又有区别，P10，De.Mogen,Pufonpoisson等，做了大量的试验，发现频率在大量试验结果中稳定于一个常数。三、（掌握）概率的性质1、P（）=1-P（A）由P（A+）=P（Ω）=1=P（A）+P（）2、0≤P(A)≤1,P（Ф）=0由P（Ω+Ф）=P（Ω）=P（Ω）+P（Ф）=13、P（A-B）=P（A）-P（B）当A包含B由图4、掌握）P（A∪B）=P(A)+P(B)-P(AB)由图5.A1,A2,…An互斥则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+..+P(An)例8：一批产品100件，有5件是不合格品；现从中随机抽出10件，其中最多有两件不合格品的概率是多少？解：Ai=”抽出10件中恰好有i件不合格品“A=A0∪A1∪A2P（A）=P（A0）+P（A1）+P（A2）例9：足球队未来一周有两场比赛，第一场比赛中获胜概率1/2，第二场比赛中获胜的概率1/3，要两场都获胜概率1/6，向两场结束后至少有一场获胜可能性是多少？P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)=1/2+1/3-1/6=2/3例10：抛三枚硬币，至少一个正面出现（记为事件A3）的概率是多少？

四、（掌握）条件概率与事件独立性定义：在事件B发生条件下研究A发生的概率称为A在B发生条件下的条件概率；记P（A/B）例11：实验室有5把外形一样的镊子，两把是不锈钢的，三把是镀铬的：甲、乙二人从中任意随机取一把选用。问①甲任取一把为镀铬前提下，乙再取一把也是为镀铬镊子的概率即P（B/A）解：①甲用过放回P（B/A）=3/5=P（B）②甲用过后未放回P（B/A）=2/4=1/2≠3/5=P（B）若A发生影响B发生P（B/A）≠P（B）A发生不影响B发生P（B/A）=P（B）独立性的定义：A；B之中任一事件发生不依赖另一事件发生与否，称A与B相互独立

性质6：P（AB）=P（A）P（B/A）=P（B）P（A/B）证：P（AB）=S（AB）/S（Ω）P(B/A)=S(AB)/S(A)P(A)=S(A)/S(Ω)故P（AB）=P（A）﹒P（B/A）P（B）=S（B）/S（Ω）性质7：A，B独立则P（AB）=P（A）﹒P（B）性质8：A，B独立，则P（A/B）==P（A）P（A1﹒A2﹒A3…An）=P（Ai）例12：试验室里的样本沾有污染的概率0.15，今有三个样本独立地在实验室制作，问三个样本都被污染的概率：解P(A1A2A3)=0.15×0.15×0.15=0.003375例13：彩票每周开奖一次，每次提供1/100000中奖机会，若你每周购买一张，尽管你坚持10年之久，每年按52周计，你从未中奖一次的概率是。解：每购买一次未中奖概率1-1/100000[2]．随机变量及其分布一、（熟悉）定义：在随机试验结果中取不同数值的量叫随机变量，用大写字母X，Y，…表示记为：r.v；其值可以小写了母x，y表示例1：检验一件产品是否是合格品，则不合格品数X=0，1例2：检验n件产品，则结果中的不合格品数X=0，1，2，…，n例3：一台机器的寿命X∈[0,+∞]定义：若一个r.v几仅取值数轴上有限个点，则称此r.v为离散型r.v；

定义：若一个r.v的所有可能取值充满数轴上一个区间（a,b），则称此r.v为连续型r.v；其中a可以是—∞，b可以是+∞二、（掌握）r.v的分布研究r.v关心两个问题①r.v可取哪些值?或在哪个区间取值?②X取这些值的概率各是多少?或X在任一小区间取值概率?

1、

（熟悉）离散型r.v分布：

Pi=P(x=xi),i=1,2…..n,且Pi≥0，∑Pi=1xX1X2…xnpP1P2…pn例4：10个产品中有2个不合格品;若从中随机取出4个，其中不合格品数X=0，1，2即

P（X=m）=x012p0.33330.53330.1334可见（X=1）出现概率（机会）最大，若改为有放回取4次P(x=m)=;此时m=0,1,2,3,4x01234p0.40960.40960.15360.02560.0016这不仅显示了x取哪些值概率大，哪些值概率小；还可计算有关事件的概率如P（x≤1）=P（x=0）+P(x=1)=0.8192P(x≥1)=P(x=1)+p(x=2)+p(x=3)+p(x=4)=0.5904①

二项分布：（掌握）P（X=K）=k=0,1,2,…n.②

泊松分布：（掌握）P（X=K）=k=0,1,2,3,…超几何分布：（了解）P（X=x）=x=0,1,2,…,r=min(n,M)E（x）=MVar(x)=.(1—)3、

正态分布与标准正态分布①

指数分布②

均匀分布对数正态分布

（熟悉）连续型r.v分布:①P（x）≥0②

3、（掌握）正态分布的分位数P（Z≤1.282）=0.9则1.282即N（0，1）的0.9分位数记Z0.94、

不合格品率与PPm(10-6),PPb(10-9)设产品质量特性X~N(μ,σ2)；以TU，TL分记产品质量特性的上、下规范限则产品中X超过上规定限的概率PU=P(x＞TU)产品中X低于下规范限的概率PL=P（x＜TL）X引起的不合格品率=PU+PLP=PU+PL

即总的不合格品率

当正态分布中心μ与规范中心M重合时，M=若规范限T=TU—TL=6σ=3σ—（—3σ）则PU=P（X＞M+3σ）—1—Ф（3）=1350ppmPL=P(x<M-3σ)=Ф（-3）=1-Ф(3)=0.00135=1350ppm，见P213图

5、

(了解）对数正态分布（1(1）

X∈（0+∞）（2）（1）

（2）

（3）

(5)

当μy=7.5σ2y=4从而标准差σy=2,于是X的均值与方差分别是μx=exp{7.5+4/2}=e9.5=13359.73

σx2=9.566×109

σx=9.78×104Vx=σx/μx>7,该对数正态分布是十分分散的分布三、（熟悉）中心极限定理：

①X~N(μ,σ2)例如X1，X2，…，X9iidN(10,25)σ=5=(x1+x2+…….+x9)/9~N(10,25/9)②非正态样本均值的分布存在，则n大时，注：n<10下降快，n>10，下降缓。四、均值、方差与标准差均值、方差与标准差都是r.v分布的重要数字特征，用来表示分布的中心位置和分散大小。E（X）=5意味着r.vX在5的左右取值。

方差的单位是X的单位的平方，为使表示分散度大小的量与X的单位相同，常对Var（X）开平方，记σ=σ(X)=称为标准差性质：①E（ax+b）=aE(x)+bVar(ax+b)=a2var(x)②E(x1+x2)=E(x1)+E(x2)③x1,x2独立，var(x1±x2)=var(x1)+var(x2)但标准差不具可加性

σ(x1+x2)≠σ(x1)+σ(x2)而是：

σ（x1+x2）=

④Var(x)=E(x2)-[E(x)]2

例1（掌握）二项分布：

例2（掌握）正态分布

五、（熟悉）连续型r.v及其分布函数（分布密度）

我们一个接一个地测量产品的质量特性值X，把测得的X值一个接一个地放在数轴上，差异即可显现出来。

当累积到很多X值时，就形成一定图形，当稳定时形成一条光滑曲线，称为概率密度由线记P（X）

定义：记P（X＜x）为X的概率分布函数，

记F（x）；（1）显然F（X）≤1有界性。

（3）F（X）单调不减—单调性（4）（5）左连续密度函数有如下四个重要性质：（1）（3）例1：（熟悉）指数分布，当λ=0.02[3]统计基础知识一、

（掌握）样本与统计量1、

总体与个体（主要研究总体服从什么分布？及期望、方差）总体用r.tX表示总体={该产品全体}={由0或1组成的一堆数}（0表示合格，1表示不合格）若记1在总体中的比例为P，则

1、样本

符合独立性、代表性的样本称简单随机样本

2、

（掌握）统计量与抽样分布

样本的函数又不含未知参数叫统计量。

例

二、常用统计量1、（掌握）位置特征统计量样本中位数（Median）:众数（Mod）:均值2、（掌握）差异特征统计量极差：样本方差：样本标准差：S变异系数：3、次序统计量（对有序样本）

1、4、（熟悉）几个常用抽样分布[4]参数估计（熟悉）参数可以是均值、方差、也可以是某个概率如P（X<a）；a是常数；参数估计表达为：一、

（掌握）矩估计方法用样本矩估计总体矩，用样本矩函数估计总体矩函数，这是原则。二、（熟悉）估计优、劣的评价标准（1）无偏性：即（2）有效性：（优效性）我们称比有效例如：设μ是总体均值，但是

三、正态总体参数的无偏估计一、

四、（熟悉）区间估计

1、基本概念以上定义解释见P67

1、（熟悉）正态总体参数的置信区间3、（了解）比例P的置信区间

当n大时，用u临界值代替t临界值.且以[5]假设检验一、问题提出例：问与原设计的均值1.40有无显著差异[5]假设检验一、问题提出例：工厂生产某种化纤的纤度X服从正态分布N(μ,0.042),其中μ的设计值为1.40,每天都要对“μ=1.40”作例行检验，以观察生产是否正常运行。某天从生产线中随机抽取25根化纤，测得纤度值为；x1,x2,x3,…,xn其纤度平均值化学纤维问当日生产是否正常。几点评论：（1）这不是一个参数估计问题。（2）这里要求对命题“μ=1.40”作出回答；是与否（3）这一类问题称为假设检验问题（4