数学物理方法复变函数的积分

数学物理方法复变函数的积分1第1页，课件共56页，创作于2023年2月学习要求与内容提要目的与要求：掌握复变函数积分的概念、基本性质及运算；柯西定理、不定积分、柯西公式。重点：难点：1.复积分的基本定理；2.柯西积分公式与高阶导数公式。复合闭路定理与复积分的计算。2第2页，课件共56页，创作于2023年2月（一）积分的定义l,,,,,,,

,

,

,

)(

110bzzzzzanbaBlBzfwnkk===-LL设分点为个弧段任意分成把曲线的一条光滑的有向曲线终点为内起点为为区域内定义在区域设函数,

),,2,1(

1kkknkzzz上任意取一点在每个弧段L=-2.1复变函数的积分(与实函数积分相似，定义为和的极限)——复平面上的线积分3第3页，课件共56页，创作于2023年2月,)()()(

111knkknkkkknzfzzfSD=-=åå==-zz作和式

,

1这里kkkzzz--=D,

无限增加当nl

,

)(

,记为的积分沿曲线函数那么称这极限值为一极限zfl

,

有唯的取法如何的分法及如果不论对Snkz4第4页，课件共56页，创作于2023年2月关于定义的说明:

.d)(

,

)1(òlzzfl记为那么沿此闭曲线的积分是闭曲线如果

.

),(

)(

,

)2(定积分的定义实变函数这个积分定义就是一元而轴上的区间是如果xuzfbxaxl=££注:闭曲线是有向曲线,并定义区域总是在观察者左侧的曲线为正5第5页，课件共56页，创作于2023年2月注意到：

积分的计算法1:化为二元实函数的第二型曲线积分(二).积分的计算法代入积分定义有：

6第6页，课件共56页，创作于2023年2月积分的计算法2:参数方程法设路径l的方程（参数方程）为:z=z(t)(α≤t≤β)由求导法则，dz=z’(t)

dt,则有(三)性质：(1)全路径上的积分等于各段上积分之和光滑曲线相互连接所组成的按段等光滑曲线依次是由其中

.

,,,

21nllllL设l是简单逐段光滑曲线，f,g在l上连续，则7第7页，课件共56页，创作于2023年2月(3)常数因子可以移到积分号外(4)函数的和的积分等于各函数积分之和(2)若l和l-是同线段但走向相反,则(5)积分不等式

特别地，若在l上有，l的长记为l，则性质(5)成为8第8页，课件共56页，创作于2023年2月例1

解:采用参数方程方法y=3x/4,令x=t.直线的参数方程:

.

43

:

,d

的直线段从原点到点计算ilzzl+ò在l上，z=x+iy·9第9页，课件共56页，创作于2023年2月例2

解积分路径(圆心在原点圆)的参数方程为

.2

:

,d

=òzlzzl圆周为其中计算)2(=z因为10第10页，课件共56页，创作于2023年2月例3

解积分路径的参数方程为.

,

,

,d)(1

010为整数径的正向圆周为半为中心为以求nrzlzzzlnò+-11第11页，课件共56页，创作于2023年2月重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.12第12页，课件共56页，创作于2023年2月定理1：单连通区域柯西定理讨论复变函数积分值与积分路径的关系(一)单连通区域柯西定理2.2柯西定理

如果函数f(z)在闭单连通域B上解析，则沿B上任一分段光滑闭曲线l（也可以是B的边界），有13第13页，课件共56页，创作于2023年2月连续，且同理连续，且证明：格林公式积分值的实部:由格林公式化成面积分14第14页，课件共56页，创作于2023年2月推论：单连通域的积分只与各积分曲线的起点和终点有关。例1解根据柯西定理,有·

,

1

321

内解析在函数£-zz15第15页，课件共56页，创作于2023年2月由于围线l所包含的面积范围内含有不属于区域的点，所以围道积分不一定为零.那么如何计算?（二）复连通域柯西定理下图表示一个由边界L和l1构成的闭二连通区域B.设f(z)在B内解析,在闭区域边界上连续.GLl116第16页，课件共56页，创作于2023年2月作割线把原来以围线l和内边界为l1的二连通区域转化为除原来围线和内边界线以外和割线AD与DA组成的新边界的单连通区域。则由柯西定理或

l与l1方向相反，但与

l-1方向相同。又17第17页，课件共56页，创作于2023年2月

此式说明,在区域内的一个解析函数沿着闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内部作连续变形而改变它的值,只要在变形过程中曲线不经过函数的奇点.------闭路变形原理18第18页，课件共56页，创作于2023年2月(多连通域柯西定理)设B是以边为界的n+1闭连通区域，其中l1，l2，…，ln是简单光滑闭曲线l内部互相分离的n条简单光滑闭曲线。若f(z)在边界上连续，在B内解析，则有其中C取关于区域B的正向，或写为：19第19页，课件共56页，创作于2023年2月例2解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,

.

1

2

,d

所组成向圆周和负为正向圆周计算积分==GòGzzzzez,

上处处解析在此圆环域和其边界函数zez20第20页，课件共56页，创作于2023年2月例3解.

,

,d)(1

1为整数的任一简单闭路为含求nazaznòl+l-

,

内部在曲线因为la

,

l

:

1内部含在使rl=-az,

)(111内处处解析为边界的复连通域在以+l+l-naz

,r故可取很小的正数xya21第21页，课件共56页，创作于2023年2月由复合闭路定理,îíì¹=p=-òl+.0,00,2d)(1

1nnizazn故xya此结论非常重要,闭曲线不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线内即可.22第22页，课件共56页，创作于2023年2月（五）柯西定理小结固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分单通区域上的解析函数沿区域内任一条光滑闭曲线的积分为零。闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积分和为零。闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分的和。23第23页，课件共56页，创作于2023年2月思考题答:即为一元实函数的定积分.24第24页，课件共56页，创作于2023年2月答:(1)注意定理的条件“单连通域”.(2)注意定理的不能反过来用.思考题应用柯西定理应注意什么?25第25页，课件共56页，创作于2023年2月

2.3.本讲作业1

,d

òzz-1(1)直线段；积分路经是计算(2)单位圆的上半；(3)单位圆的下半；1

,dez

求下列复变函数的围道积分zz2+5z+6ò|z|=126第26页，课件共56页，创作于2023年2月1原函数证:利用解析函数F(z)在区域内任意一点可导的思路证明,即用导数的定义来证.2.3不定积分

,

内任一点为设Bz,

CRBz领域内的为中心作一含于以

.)()(

,

d)()(

,

)(

0zfzFBfzFBzfzz=¢=ò即析函数同时是的原函数内的一个解必为那么函数内处处解析在单连通域如果函数zz)(zf27第27页，课件共56页，创作于2023年2月

在Δz0的极限，积分路线与的路线相同.所以：

d)(

0òz+Δzzfzz

d)(

0òzzfzz28第28页，课件共56页，创作于2023年2月29第29页，课件共56页，创作于2023年2月分析下列极限:下面先由分析绝对号内函数的特性30第30页，课件共56页，创作于2023年2月此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.[证毕]31第31页，课件共56页，创作于2023年2月2.不定积分的定义:3.牛顿-莱布尼兹公式

.)(d)(

,

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)(

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)(

czFzzfzfcczFzf+=+ò记作的不定积分为为任意常数的原函数的一般表达式称.

,

)()(d)(

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,

)(

211221内的两点为域这里那么的一个原函数为内处处解析在单连通域如果函数BzzzFzFzzfzfzFBzfzz-=ò32第32页，课件共56页，创作于2023年2月证根据柯西定理,[证毕]说明:

有了牛顿-莱布尼兹公式,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.

,

)(

d)(

1的原函数也是因为zfzzfzzò

,)(

d)(

1czFzzfzz+=ò所以

,

1时当zz=

,)(

1zFc-=得

,)()(

d(

11zFzFzzfzz-=ò所以

.)()(

d)(

1221zFzFzzfzz-=ò即33第33页，课件共56页，创作于2023年2月例1解由牛顿-莱布尼兹公式知,34第34页，课件共56页，创作于2023年2月例2解采用微积分学中的“凑微分”法处理35第35页，课件共56页，创作于2023年2月例3采微积分中“分部积分法”处理解36第36页，课件共56页，创作于2023年2月(一)、问题的提出2.4柯西公式

.

,

0中一点为为一单连通域设BzB

.)(

,

)(

00不解析在那末内解析在如果zzzzfBzf-37第37页，课件共56页，创作于2023年2月

如果f(α)

在闭单连通区域B内处处解析，l为B内的边界线，α

为B内的任一点，那么

称为柯西积分公式,简称柯西公式．(二)、柯西积分公式1有界区域的单连通柯西积分公式证明38第38页，课件共56页，创作于2023年2月由复积分性质知道根据

在连续，则对任意小

,对应于R足够小，有，又显见该积分的值与R无关．这就证明了

柯西积分公式39第39页，课件共56页，创作于2023年2月关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在l内部任一点的值用它在边界上的积分值表示.(这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.40第40页，课件共56页，创作于2023年2月2有界区域的复连通柯西积分公式41第41页，课件共56页，创作于2023年2月如图：假设|z|→∞,f(z)

在某一闭曲线l的外部解析，则对于l外部区域中的点f(z)有3无界区域中的柯西积分公式上面对柯西积分公式的讨论所涉及的积分区域都是有限的区域，若遇到函数在无界区域求积分的问题又如何求解？式中有界。解析42第42页，课件共56页，创作于2023年2月

证明

如图:设CR为以O为原点，半径为R的包含任意点z的大圆周,因为函数f(z)在闭回路的l外部解析,故在l和CR构成的复连通区域内,由复连通区域的柯西积分公式得

现分析第二个积分,由于f(z)在无限远处连续，即任给є>0，总找到以O为中心半径为R1的圆,使得|z|>R1时，|f(z)-f(∞)|<є，其中f(∞)有界。则解析(z)fRO43第43页，课件共56页，创作于2023年2月解析(z)fRO44第44页，课件共56页，创作于2023年2月

对于有限远点z，显然，从而有

故成立．说明：特别地，当|z|→∞满足f(z)→0 时，即f(∞)=0，则有特殊形式

45第45页，课件共56页，创作于2023年2月(三)高价导数证明：由柯西积分公式任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部全含于B。

)(

zBζfl的内围绕的解析区域为在函数其中

:

,

)(

nzf导数为阶它的的导数仍为解析函数解析函数46第46页，课件共