34-数列求和与递推数列课件

§3.4数列求和与递推数列

知识诠释思维发散1.已知数列{an}的前n项和Sn,则an=

2.已知数列{an}前n项之积Tn,一般可求Tn-1,则an=

.3.已知an-an-1=f(n)(n≥2),且{f(n)}成等差(比)数列,则求an可用

累加法.4.已知

=f(n)(n≥2),求an用累乘法.5.已知数列{an}的递推关系,研究an与an-1的关系式的特点,可一、递推公式以通过变形构造,得出新数列{f(an)}为等差或等比数列.6.已知an与Sn的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2),转化为只含an或Sn的

递推关系,再利用上述方法求出an.二、数列求和1.基本公式法(1)等差数列求和公式:Sn=

=na1+

d.(2)等比数列求和公式:Sn=

(3)

+

+

+…+

=2n.2.错位相减法对于求一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列

的前n项和,常用错位相减法,如:an=bn·cn,其中{bn}是等差数列,{cn}是等比数列,记Sn=b1c1+b2c2+…+bn-1cn-1+bncn,则qSn=b1c2+…+bn-1cn+bncn+1,两式

相减整理即得.3.分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列,然后利用公式法

求和.4.拆项(裂项)求和把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程中消去

中间项,只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有:(1)若{an}是公差为d的等差数列,则

=

(

-

).(2)

=

(

-

).(3)

=

[

-

].(4)

=

( - ).(5)

=

( - ).(6)

=

-

.(7)n·n!=(n+1)!-n!.(8)an=

5.倒序相加法根据有些数列的特点,将其倒写后与原数列相加,以达到求和

的目的.6.并项求和把数列的某些项放在一起先求和,然后再求Sn.7.其他求和法如:归纳猜想法,奇偶法等.数列求和的方法多种多样,要视具

体情形选用合适的方法.

1.数列{an}的通项an=

,则数列的前10项和等于

(

)(A)

.

(B)

.

(C)

.

(D)

.【解析】an=

=

-

,所以前10项和S=1-

+

-

+…+

-

=

.【答案】C2.已知数列{an}中,a1=1,an+1an=an-(-1)n(n∈N*),则

的值为

(

)(A)

.

(B)

.

(C)

.

(D)

.【解析】由已知得a2=1+1=2,a3=1-

=

,a4=1+2=3,a5=1-

=

,故=

.【答案】D3.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和

等于

(

)(A)2n+n2-1.

(B)2n+n2-2.(C)2n+1+n2-1.

(D)2n+1+n2-2.【解析】由分组求和法可知Sn=(21+2×1-1)+(22+2×2-1)+…+(2n+2×n-1)=(21+22+…+2n)+2×(1+2+…+n)-n=

+2·

-n=2n+1+n2-2.【答案】D

核心突围技能聚合

例1

(1)数列

,

,…,

,…的前n项和Sn等于

(

)(A)

-

.

(B)

+

.(C)

-1.

(D)

+1.(2)已知数列1+1,

+4,

+7,…,

+3n-2,…的前n项和Sn,当a≠1时,Sn=

.题型1裂项求和与拆项分组求和【分析】(1)an=

=

-

.(2)从通项公式入手,分析通项an=

+3n-2,可知它是由一个等比数列{

}与一个等差数列{3n-2}组成的,所以可将其转化为一个等比数列与一个等差数列的求和问题.【解析】(1)因为an=

=

-

,所以Sn=( -1)+(

- )+…+(

-

)=

-1.(2)因为an=

+3n-2,所以Sn=(1+1)+(

+4)+(

+7)+…+(

+3n-2)=(1+

+

+…+

)+[1+4+7+…+(3n-2)].记Tn=1+

+

+…+

.因为a≠1,则Tn=

=

.而1+4+7+…+(3n-2)=

=

.所以Sn=

+

.【答案】(1)C

(2)

+

使用裂项法求和,要注意正、负相消时,消去了哪些项,保留

了哪些项,所剩正数项与负数项的项数一样多,切不可漏写未

被消去的项.未被消去的项有前后对称的特点,实质上,正、

负相消是此法的目的.(2)拆项是一种行之有效的求和手段.

当数列不能直接求和时,仔细观察式子的结构,看可不可以转

化为等差、等比数列求和,或等差、等比数列和的形式,然后

分组直接应用等差数列、等比数列求和公式求和.【点评】(1)裂项法求和的关键是将通项化为两项的差.但是变式训练1

(1)数列5,55,555,…的前n项和等于

(

)(A)

(10n-1).

(B)

(10n-1)+n.(C)

.

(D)

.(2)数列{an}的通项公式an=

(n∈N*),若前n项和为Sn,则Sn=

.【解析】(1)an=

(10n-1)=

·10n-

.∴Sn=

(10+102+103+…+10n)-

n=

[

-n]=

.(2)∵an=

,∴an=

.∴Sn=

(

-1+

-

+…+

-

+

-

)=

(-1-

+

+

)=

(

+

-

-1).【答案】(1)C

(2)

(

+

-

-1)

例2已知数列{an}是等差数列,a2=6,a5=18;数列{bn}的前n项和是Tn,且Tn+

bn=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:数列{bn}是等比数列;(3)记cn=an·bn,求{cn}的前n项和Sn.题型2错位相减法与倒序相加法求和用和Tn与项bn的关系与等比数列的定义即可证明数列{bn}是

等比数列,由cn=an·bn,可知cn的通项公式是由一个等差数列和

等比数列的积组成,选用错位相减法求数列{cn}的和.【解析】(1)设{an}的公差为d,则:a2=a1+d,a5=a1+4d.∵a2=6,a5=18,∴

∴a1=2,d=4.∴an=2+4(n-1)=4n-2.【分析】利用等差数列的性质求出等差数列的通项公式,利(3)由(2)可知:bn=

(

)n-1=2·(

)n.∴cn=an·bn=(4n-2)·2·(

)n=4(2n-1)(

)n.Sn=4×(

)+12×(

)2+…+(8n-12)×(

)n-1+(8n-4)×(

)n,

Sn=4×(

)2+12×(

)3+…+(8n-12)×(

)n+(8n-4)×(

)n+1.∴Sn-

Sn=

Sn=4×

+8×(

)2+8×(

)3+…+8×(

)n-(8n-4)×(

)n+1=

+8×

-(8n-4)×(

)n+1

(2)当n=1时,b1=T1,由T1+

b1=1,得b1=

.当n≥2时,∵Tn=1-

bn,Tn-1=1-

bn-1,∴Tn-Tn-1=

(bn-1-bn),即bn=

(bn-1-bn),∴bn=

bn-1.∴{bn}是以

为首项,

为公比的等比数列.=

-4×(

)n-(8n-4)×(

)n+1.∴Sn=4-4(n+1)·(

)n.【点评】错位相减法实质上是将数列转化为特殊的等比数

列,若数列的每一项都可视为由两部分组成,其中第一个因数

部分形成等差数列,第二个因数部分形成等比数列,当通项公

式是由这种形式构成的可用这种方法.变式训练2求和:Sn=(x+

)2+(x2+

)2+…+(xn+

)2.【解析】Sn=(x+

)2+(x2+

)2+…+(xn+

)2

=(x2+x4+…+x2n)+(

+

+…+

)+2n,当x=±1时,Sn=2n+2n=4n;当x≠±1时,Sn=

+

+2n=

+2n.综上可知,当x=±1时,Sn=4n;当x≠±1时,Sn=

+2n.

例3已知lgx+lgy=1,且Sn=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lg(xyn-1)+lgyn,求Sn.【分析】结合对数的性质和条件,可考虑倒序相加法.【解析】因为lgx+lgy=1,所以lg(xy)=1.∵Sn=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lg(xyn-1)+lgyn,∴Sn=lgyn+lg(yn-1x)+lg(yn-2x2)+…+lg(yxn-1)+lgxn,两式相加得:2Sn=(lgxn+lgyn)+[lg(xn-1y)+lg(xyn-1)]+…+(lgyn+lgxn)=lg(xn·yn)+lg(xn-1y·xyn-1)+…+lg(yn·xn)=n[

=n2lg(xy)=n2.所以Sn=

.【点评】倒序相加法主要适用于前后具有“对称性”的数列,即距首、末两端等距离的两项之和相等的形式.变式训练3数列{an}满足a1=1,an+1=

(n∈N*).(1)证明:数列

是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式an;(3)设bn=n(n+1)an,求数列{bn}的前n项和Sn.【解析】(1)由已知可得

=

,即

=

+1,即

-

=1.∴数列

是公差为1的等差数列.(2)由(1)知

=

+(n-1)×1=n+1,∴an=

.(3)由(2)知bn=n·2n,Sn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n,2Sn=1·22+2·23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,相减得:-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1

=

-n·2n+1

=2n+1-2-n·2n+1.∴Sn=(n-1)·2n+1+2.

例4

(1)已知数列{an}满足a1=22,an+1-an=2n,则数列{an}的通项公式为

,

的最小值为

.(2)已知Sn为数列{an}的前n项和,a1=1,Sn=n2·an,数列{an}的通项

公式an=

.【分析】(1)已知a1且an-an-1=f(n),用“累加法”求出an=a1+f(2)

+f(3)+…+f(n-1)+f(n)(n≥2),但要注意对n=1时进行验证.题型3利用累加法、累乘法求通项(2)由已知可以变形为

=f(n),用“累乘法”求出an=a1·

·

·…·

,但要注意对n=1时进行验证.【解析】(1)∵an+1-an=2n(n∈N*),∴当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=22+2·1+2·2+…+2·(n-1)=22+

2×

=n2-n+22,当n=1时,符合上式,∴an=n2-n+22.∵

=n+

-1,由函数的知识可知,n=4时,

=

,当n=5时,

=

,显然知

<

,可知

的最小值是

.(2)∵a1=1,Sn=n2·an,∴当n≥2时,Sn-1=(n-1)2·an-1,∴an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1,可得

=

.∴an=

·

·

·…·

·

·a1=

·

·

·…·

·

·1=

.当n=1时,显然成立.【答案】(1)an=n2-n+22

(2)

【点评】累加法与累乘法其实在等差数列与等比数列通项

公式的推导过程中都有体现,一定要领会公式内在的本质要

求,不要出现把变量当成常量的错误.变式训练4已知函数f(x)=

,则f(0)+f(1)=

;若Sk-1=f(

)+f(

)+f(

)+…+f(

)(k≥2,k∈Z),则Sk-1=

.(用含有k的代数式表示)【解析】由已知,f(0)+f(1)=

+

=1.∵f( )+f( )=

+

=

+

=

=1,又∵Sk-1=f(

)+f(

)+f(

)+…+f(

),Sk-1=f(

)+f(

)+f(

)+…+f(

),∴2Sk-1=[f(

)+f(1-

)]+[f(

)+f(1-

)]+…+[f(1-

)+f(

)]=(k-1)·1=k-1,∴Sk-1=

.【答案】1

例5

(1)已知数列{an}满足a1=2,且an+1an+an+1-2an=0,n∈N*,则a2=

,数列{an}的通项公式an=

.(2)在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an=

.(3)已知数列{an}的首项为a1=

,an+1=

(n∈N*),则an=

.题型4转化为等差数列、等比数列求通项【分析】(1)由an+1an+an+1-2an=0,两边同时除以an+1an,可得2

-

=1,又可化为

-1=

(

-1),转化为等比数列求通项公式.(2)an+1=2an+3可化为an+1+3=2(an+3),转化为等比数列求通项公

式.(3)an+1=

可化为

-

=

,转化为等差数列求通项公式.【解析】(1)由递推公式an+1an+an+1-2an=0,且a1=2,可得a2=

.∵an+1an+an+1-2an=0,两边同时除以an+1an,可得2

-

=1,即

-1=

(

-1),∴

是以-

为首项,以

为公比的等比数列,∴

-1=(-

)(

)n-1,整理得:an=

.(2)由an+1=2an+3可化为an+1+3=2(an+3),∴

是以4为首项,2为公比的等比数列,∴an+3=4·2n-1,∴an=4·2n-1-3=2n+1-3.(3)∵an+1=

两边取倒数,可得

-

=

,∴

是以

为首项,以

为公差的等差数列,∴

=

+(n-1)d=

+(n-1)

=

,∴an=

.【答案】(1)

(2)2n+1-3

(3)

【点评】已知数列的首项和递推公式,可直接写出数列中的各项,其通项公式可以用累加法,累乘法,还可采用换元思想

转化成等差数列或等比数列进一步求得.变式训练5

(1)对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}

的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项为2n,则数列

{an}的前n项和Sn=

.(2)设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)

-n

+an+1an=0(n∈N*),则数列的通项an=

.【解析】(1)∵an+1-an=2n,∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1

=2n-1+2n-2+…+22+2+2=

+2=2n-2+2=2n,∴Sn=

=2n+1-2.(2)由(n+1)

-n

+an+1an=0可得(an+1+an)(an+1-

an)=0.又{an}是首项为1的正项数列,∴an+1+an≠0,∴an+1=

an,∴

=

,即

=

,

=

,

=

,…,

=

,

=

,将这n-1个式子相乘得

=

,∴an=

(n≥2),显然n=1时也成立.综上可知,an=

.【答案】(1)2n+1-2

(2)

1.直接用公式求和时,一定要注意公式的应用范围和公式的

推导过程.2.求数列前n项和的方法主要是变换通项,即对通项公式进行

一些有目的的处理,转化为等差、等比数列的求和.3.求一般数列的前n项和无通法可循,要掌握某些特殊数列

(等差数列、等比数列等)前n项和的求法,学会举一反三,触

类旁通.4.已知数列的递推公式求数列的通项公式,此类题型求数列

通项的方法大致分为两类:一是根据数列前几项的特点归纳

猜想出表达式an,然后用数学归纳法证明;二是将已知递推关

系,用代数法、累加法、累乘法、换元法等转化成基本数列

(即等差数列或等比数列)的方法求通项.

例已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=anxn(x∈R),求数列{bn}的前n项和.【错解】(1)设等差数列{an}的公差为d,则a1+a2+a3=3a1+3d=12.又a1=2,所以d=2,所以an=2+(n-1)×2=2n.(2)令Sn=b1+b2+b3+…+bn,则由bn=anxn,得Sn=2x+4x2+6x3+…+2(n-1)xn-1+2nxn,①xSn=2x2+4x3+6x4+…+2(n-1)xn+2nxn+1,②由①-②得(1-x)Sn=2(x+x2+x3+x4+…+xn)-2nxn+1=2·

-2nxn+1,③所以Sn=

-

.【剖析】上述(2)的解答,在③式中使用等比数列的求和公式

时,没有考虑公比x=1的情形.另外,当x=0时,Sn是显然的.因此,

正确解答要分x=0、x=1与x≠0,1三种情况.【正解】(1)设等差数列{an}的公差为d,则a1+a2+a3=3a1+3d=12.又a1=2,所以d=2,所以an=2+(n-1)×2=2n.(2)令Sn=b1+b2+b3+…+bn,则由bn=anxn,得Sn=2x+4x2+6x3+…+2(n-1)xn-1+2nxn.①(ⅰ)当x=0时,Sn=0;(ⅱ)当x=1时,Sn=2+4+6+…+2(n-1)+2n=

=n2+n;(ⅲ)当x≠0,1时,xSn=2x2+4x3+6x4+…+2(n-1)xn+2nxn+1,②由①-②得(1-x)Sn=2(x+x2+x3+x4+…+xn)-2nxn+1=2·

-2nxn+1,③得Sn=

-

.综上所述,Sn=

1.(基础再现)等差数列{an}中,a2+a3=6,则前4项和S4等于

(

)(A)6.

(B)8.

(C)10.

(D)12.【解析】S4=

=

=

=12.【答案】D基础·角度·思路一、选择题(本大题共5小题,每小题6分)2.(基础再现)设f(n)=2+24+27+…+23n+1(n∈N),则f(n)等于

(

)(A)

.

(B)

.(C)

.

(D)

.【解析】由题意发现,f(n)是一个以2为首项,公比q=23=8,项

数为n+1的等比数列的和.由公式可得f(n)=

=

.【答案】B3.(视角拓展)已知等差数列有27项,所有的偶数项之和为170,

所有的奇数之和为100,则这个等差数列的中间项为

(

)(A)4.

(B)6.

(C)8.

(D)10.【解析】设所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则S奇

=100,S偶=170,所以S27=S奇+S偶=27a14=270,解得a14=10,这个等差

数列的中间项为10.【答案】D4.(高度提升)已知等差数列{an}的公差d<0,且a3a5+a3a7+a5a9+

a7a9=0,则当前n项和Sn取得最大值时,n为

(

)(A)5.

(B)6.

(C)5或6.

(D)6或7.【解析】因为a3a5+a3a7+a5a9+a7a9=(a5+a7)a3+(a5+a7)a9=(a5+a7)

(a3+a9)=0,又因为a5+a7=2a6=a3+a9,所以a6=0,因为d<0,所以a5>0,a7<0.所

以当n=5或6时,Sn取得最大值.【答案】C5.(能力综合)对于正项数列{an},定义其调和均值为Hn=

,现知某数列的调和均值为Hn= ,则{an}的通项公式为

(

)(A)an=

.

(B)an=

.(C)an=

.

(D)an=

.【解析】由Hn= 得

= ,所以

+

+…+

=

,

①所以当n≥2时,

+

+…+

=

,

②由①-②得

=

-

=

,所以an=

.而当n=1时,

= ,得a1= ,也符合上式.故an=

.【答案】A6.(视角拓展)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S30=S70,则S100=

.【解析】设公差为d,则30a1+

d=70a1+

d,∴2a1+99d=0,∴S100=100a1+

d=50(2a1+99d)=0.【答案】0二、填空题(本大题共4小题,每小题7分)7.(高度提升)如图满足:(1)第n行首尾两数均为n;(2)图中的递

推关系类似杨辉三角,则第n(n≥2)行的第2个数是

.【解析】设第n(n≥2)行的第2个数构成数列{an},则a3-a2=2,a4

-a3=3,a5-a4=4,…,an-an-1=n-1,相加得:an-a2=2+3+…+(n-1)=

×(n-2)=

,an=2+

=

.【答案】

8.(高度提升)设数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,

{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,则

+

+

+…+

=

.【解析】an=2+(n-1)×1=n+1,bn=2n-1,∴

=bn+1=2n-1+1,所以

+

+

+…+

=(20+1)+(21+1)+(22+1)+…+(29+1)=(1+2+22+…+29)+10=

+10=1033.【答案】10339.(能力综合)已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切

线的斜率为3,数列{

}的前n项和为Sn,则S2019的值为

.【解析】∵f'(x)=2x+b,∴f'(1)=2+b=3,∴b=1,∴f(x)=x2+x,∴

=

=

-

.∴S2019=1-

+

-

+…+

-

=1-

=

.【答案】

10.(视角拓展)已知正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn=

(an+2)2,求an.【解析】a1=S1=

(a1+2)2,∴

-4a1+4=0,a1=2.当n≥2时,Sn-1=

(an-1+2)2.∴an=Sn-Sn-1=

(an