微积分ii高中喜老师

§7.2

第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）一、第二类曲面积分的概念与性质1.曲面的侧曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.以下总假定曲面是光滑的或分片光滑的。例如旋转抛物面z

=

x2

+

y2z

=

x2

+

y2而对于曲面S：z=z(x,y),若每一点的法向量与z轴正向夹角为锐角，则称法向量指向曲面的上侧;否则为下侧.在抛物面上每一点处的法向量有两个，其中n

=

(-2

x,

-2

y,1

,它与z轴正向夹角为锐角,指向上侧;n

=(2

x,2

y,-1

与z轴正向夹角为钝角,指向下侧;对于曲面S：y=y(x,z),若每一点的法向量与y

轴正向夹角为锐角，则称法向量指向曲面的右侧；否则为左侧。同理，对曲面S：x=x(y,z)有前侧和后侧之分。对封闭曲面则有外侧和内侧之分。这种具有两个侧的曲面称为双侧曲面。●曲面上单位法向量的指向确定曲面的侧例如曲面S

:z

=z

(x,y(

)x

y用单位法向量来确定曲面的上侧或下侧.在点M

(x,

y,

z

处：其上侧的法向量为n

=

-z

,-z

,1

,;-zxi

-

zy

j

+

k上侧的单位法向量为

n0

=z2

+

z2

+

1x

y

(

)1

,x

y其下侧的法向量为n

=

z

,

z

,

-x

yzxi

+

zy

j

-

k=

.z2

+

z2

+

1

下侧的单位法向量为n0同学们可以自己写出:对于曲面y

=

y

(z,

x

用单位法向量

确定曲面的n0右侧或左侧;

对于曲面x

=

x

(y,

z

用单位法向量n0确定曲面的前侧或后侧.2.

第二类曲面积分的定义定义

设S为一光滑有向曲面，

为曲面S上任n0一点M处的单位法向量,其方向与曲面S侧的选取一致.又设向量值函数在曲面S上有界.若数量值函数(Fn0

)在S上的第一类曲面积分存在,则称此积分值为向量值函数F

(x,y,z

)在有向曲面S上的第二类曲面积分,n0

)dS.

(FS记为F

(x,

y,

z

)=

P

(x,

y,

z

)i

+

Q

(x,

y,

z

)j

+

R

(x,

y,

z

)k

由于dS是数量记

dS

=

n0dS

,dS称为面积微元向量.●dS的方向与单位法向量n0一致,其大小为面积微元dS的值.●S第二类曲面积分的向量形式为

F dS

,

(FSn0

)dS

=

F dS

.S即注：

(F n0

)dS

=

F

(n0dS

).

●若S为有向闭曲面时,记为S

S

(Fn0

)dS

=

F dS

.若向量值函数F(x,y,z

)在光滑曲面或分片光滑的有向曲面S上连续，则第二类曲面积分

(FSn0

)dS

=

FSdS

存在.4.

第二类曲面积分的性质(1

设k1

,k2为两个常数,则

(k1F1

+

k2

F2

)

dS

=

k1

F1dS

+

k2

F2

dS

.

S

S

S(2

将S分成S1与S2

,

S1与S2的侧与S的侧保持一致,

则

F dS

=

F dS

+

F dS

.S

S1

S2SS

-(3)若用S

-表示S的另一侧，则

F dS

=

-

F dS

.

-事实上，因为曲面S

的侧的单位法向量为-n0SS

-=

-

F dS

.

S\

F

dS

=

F

Sn0dS

=

-

F

(-n0

)dS

(4)第二类曲面积分

F

dS

=(F

n0

)dS是用S

S第一类曲面积分

f(x,y,z)dS来定义的.SS

S

(5)第二类曲面积分

F

dS

=(F

n0

)dS是S

S向量值函数的积分.

(6)第二类曲面积分

F

dS

=(F

n0

)dS与曲面的

侧有关,曲面的侧是反映在单位法向量n0的方向上.

5.第二类曲面积分的表达形式单位法向量n0可以表示为:

n0

=

(cosa

,cos

b

,cosg

,向量值函数为：F

(x,

y,

z

)=

P

(x,

y,

z

)i

+

Q

(x,

y,

z

)j

+

R

(x,

y,

z

)k

,第二类曲面积分可以表示为：(1)

F dS

=

F

n0dS

S

S=

(P

cosa

+

Q

cos

b

+

R

cosg

)dS;S(2

若记:dydz

=

cosa

dS,

dzdx

=

cos

bdS

,

dxdy

=

cosgdS

,则dS

=n0dS

=(cosa

dS

,cos

bdS

,cosgdS

)=

(dydz,

dzdx,dxdy

.第二类曲面积分也可以表示为:S

S

FdS

=

F

n0dS

=

P

(x,

y,

z

)dydz

+

Q

(x,

y,

z

)dzdx

+

R

(x,

y,

z

)dxdy.SS

S

FdS

=

F

n0dS

=

P

(x,

y,

z

)dydz

+

Q

(x,

y,

z

)dzdx

+

R

(x,

y,

z

)dxdy.S这就是第二类曲面积分的坐标形式,也称第二类曲面积分为对坐标的曲面积分.二、第二类曲面积分的计算下面讨论第二类曲面积分的计算公式：1.设积分曲面S的方程为:z

=z

(x,y

,其指向为上侧,S在xoy面上的投影区域为Dxy

,函数z

=z

(x,y

在Dxy上具有一阶连续偏导数,即曲面是光滑的,向量值函数

F

(x,

y,

z

)=

P

(x,

y,

z

)i

+

Q

(x,

y,

z

)j

+

R

(x,

y,

z

)k在S上连续.设曲面S

:

z

=

z

(x,

y

上任一点的指向上侧的法向量n为：n

=

-zxi

-

zy

j

+

k

.

(

)(

)(

)

(

)2222.x

yxy

xynz-z

i

-

z j

+

kn0

==+

z+

1z

+

z+

1其单位法向量

为：n0

由第一类曲面积分的计算公式，有S

FdS

=

F

(x,

y,

z

)

n0

(x,

y

)dS(

))(

)220xyF

x,

y,

z

x,

yn(x,

y

)

(zS=+

z+

1dxdy(

)DxyF

x,

y,

z

x,

yn

x,

y

dxdy,=)

Dxy

(S即

P

(x,y,z

)dydz

+Q

(x,y,z

)dzdx

+R

(x,y,z

)dxdy=

F

x,

y,

z

(x,

y

)

n

(x,

y

)dxdy.Dxy

n

=

-zxi

-

zy

j

+

k;(2

曲面S若为z

=

z

(x,

y

则向xoy平面投影,得投影区域Dxy

;(3

被积函数中的变量

z

要换成曲面方程z

=

z

(x,

y

.S

P

(x,

y,

z

)dydz

+

Q

(x,

y,

z

)dzdx

+

R

(x,

y,

z

)dxdyDxy注：(1

法向量n指向曲面S

:

z

=

z

(x,

y

的上侧,=

{F

x,

y,

z

(x,

y

)

n

(x,

y

)}dxdy.计算公式S其中dydz前的为

P,

dzdx前的为Q,

dxdy前的为

R,则F

(x,y,z

)的构造为:F

(x,

y,

z

)=

P

(x,

y,

z

)i

+

Q

(x,

y,

z

)j

+

R(x,

y,

z

)k

,

F

x,

y,

z

(x,

y

)

=P

x,

y,

z

(x,

y

)

i

+

Q

x,

y,

z

(x,

y

)

j

+

R

x,

y,

z

(x,

y

)

k

.

Dxy(4)

P

(x,

y,

z

)dydz

+

Q

(x,

y,

z

)dzdx

+

R

(x,

y,

z

)dxdy=

{F

x,

y,

z

(x,

y

)

n

(x,

y

)}dxdy.同理,若曲面S

:

z

=

z

(x,

y

的侧指向下侧,则有Dxy=

FSdS

=

{F

x,

y,

z

(x,

y

)

-n

(x,

y

)}dxdy,其中S

P

(x,

y,

z

)dydz

+

Q

(x,

y,

z

)dzdx

+

R

(x,

y,

z

)dxdy

F

=

P

(x,

y,

z

)i

+

Q

(x,

y,

z

)j

+

R

(x,

y,

z

)k

,n

(x,

y

)=

-zxi

-

zy

j

+

k

.

2.

设曲面S的方程为:

y

=

y

(z,

x

,

(z,

x

˛

Dzx

.S=

F注(1)若S的侧指向右侧,即n,y

£

900

,取+号;(2)若S的侧指向左侧,即n,y

‡900

,取-号.S曲面y

=

y

(z,

x

的法向量为：n

=

(-

yx

,

1,

-

yz

P

(x,

y,

z

)dydz

+

Q

(x,

y,

z

)dzdx

+

R

(x,

y,

z

)dxdyDzxdS

=

{F

x,

y

(z,

x

),

z

–n

(z,

x

)}dzdx3.

设曲面S的方程为:

x

=

x

(y,

z

,(y,

x

˛

Dyz

.S=

F注(1)若S的侧指向前侧,即n,x

£

900

,取+号;(2)若S的侧指向后侧,即n,x

‡900

,取-号.S曲面x

=

x

(y,

z

的法向量为：n

=

(1,

-

xy

,

-

xz

)

P

(x,

y,

z

)dydz

+

Q

(x,

y,

z

)dzdx

+

R

(x,

y,

z

)dxdyDyzdS

=

{F

x

(y,

z

),

y,

z

–n

(y,

z

)}dydz三、第二类曲面积分的计算举例计算I

=

ydydz

-

xdzdx

+

z2dxdy,

其中S为锥面S例1,xx

z

=,yx2

+

y2yz

=x2

+

y2z

=

x2

+

y2解

S

:

z

=被平面z

=

1,

z

=

2所截部分的外侧．x2

+

y2

,(

)x

yxy法向量n

=

-z

,-z

,1n

=

-,

-

,1x2

+

y2

x2

+

y2

F

=

(y,

-

x,

z2

(x,

y

))=

(y,

-

x,

x2

+

y2

)，曲面S

:

z

=

z

(x,

y

的侧指向下侧,

-n

=

, ,

-1

,x2

+

y2

x2

+

y2

x

yS

P

(x,

y,

z

)dydz

+

Q

(x,

y,

z

)dzdx

+

R

(x,

y,

z

)dxdy=

F

x,

y,

z

(x,

y

)

-n

(x,

y

)dxdyDxy(

)(

)2,xyDx,

y=y,

-

x,

z,

-

1

dxdy

x

y

x2

+

y2

x2

+

y222222,2xyDxy+

y

)

,

-

1

dxdyx

+

yx

+

y=

(y,

-

x,

xDxy=

-

(x2

+

y2

)dxdy2=

-

15

p

.2201r

rdr2pdq=

-xyD

:

1

£

x2

+

y2

£

4I

=

[

f

(

x,

y,

z)

+

x]dydz

+[2

f

(

x,

y,

z)

+

y]dzdxS+[

f

(

x,

y,

z)

+

z]dxdy,

其中

f

(

x,

y,

z)

为连续函数,S

为平面x

-y

+z

=1在第四卦限部分的上侧．例2

计算(

)x

y解 曲面S的方程为：z

=

1

-

x

+

y,其侧指向上侧.法向量为：n

=

-z

,-z

,1=

(1,

-1,1

,=

(x

-

y

+

z

(x,

y

))dxdyDxy{Dxyn

x=F

=

([

f

(

x,

y,

z)

+

x],

[2

f

(

x,

y,

z)

+

y],

[

f

(

x,

y,

z)

+

z])I

=

[

f

(

x,

y,

z)

+

x]dydz

+[2

f

(

x,

y,

z)

+

y]dzdxS+[

f

(

x,

y,

z)

+

z]dxdyF

x,

y,

z

(x,

y

)

(

,

y

)}dxdyDxyxyD2=

(x

-

y

+

(1

-

x

+

y

))dxdy

=

dxdy

=

1

.解S

:

x

=

1

-

y2

-

z2

;xyz例3

计算

xyzdxdy,其中S是球面Sx2

+y2

+z2

=1的外侧在x

‡0,y

‡0的部分.其侧指向前侧.()yz-

x

,

-

x法向量为：n

=1,22,yz

,=

1,1

-

y2

-

z2

1

-

y

-

zF

=

(0,

0,

xyz

)=

(0,

0,

yz1

-

y2

-

z2

)ndydz

=

yz2dydzDyz2

2,yzn

=

1,1

-

y2

-

z21

-

y

-

z120原式=

FDyzpp2-=

215dq

r

4

cosq

sin2

qdr

=另解把S分成S1和S2两部分1S

:

z

=

-

1

-

x2

-

y2

;2

2S2

:

z

=

1

-

x

-

y

,yzS2n2n11F2

=

(0,0,

xyz

)=

0,0,

xy1

-

x2

-

y2

,xyx S,

1,=

1

-

x2

-

y2

1

-

x2

-

y2n2

=

(-zx

,-zy

,1)

-

x

-

y

=

,,

-11

-

x2

-

y2

1

-

x2

-

y2n1

=

(