时变电磁场例题

时变电磁场例题第1页，课件共41页，创作于2023年2月例

证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流总量为零。解：根据麦克斯韦方程

可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为

第2页，课件共41页，创作于2023年2月例

在坐标原点附近区域内，传导电流密度为试求：(1)通过半径r=1mm的球面的电流值；(2)在r=1mm的球面上电荷密度的增加率；(3)在r=1mm的球内总电荷的增加率。

第3页，课件共41页，创作于2023年2月解：(1)

(2)因为

由电流连续性方程式，得

(3)在r=1mm的球内总电荷的增加率：

第4页，课件共41页，创作于2023年2月例在无源的自由空间中，已知磁场强度

求位移电流密度Jd。解：无源的自由空间中J=0,第5页，课件共41页，创作于2023年2月例

证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。解：将J=σE代入电流连续性方程，考虑到媒质均匀，有

由于第6页，课件共41页，创作于2023年2月例

已知在无源的自由空间中，

其中E0、β为常数，求H。解：所谓无源，就是所研究区域内没有场源电流和电荷，即J=0,ρ=0。

第7页，课件共41页，创作于2023年2月由上式可以写出：

第8页，课件共41页，创作于2023年2月例设z=0的平面为空气与理想导体的分界面，z<0一侧为理想导体，分界面处的磁场强度为试求理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分界面处的电场强度。

解：第9页，课件共41页，创作于2023年2月假设t=0时，ρS=0，由边界条件n·D=ρS以及n的方向可得第10页，课件共41页，创作于2023年2月例

证明在无初值的时变场条件下，法向分量的边界条件已含于切向分量的边界条件之中，即只有两个切向分量的边界条件是独立的。因此，在解电磁场边值问题中只需代入两个切向分量的边界条件。解：在分界面两侧的媒质中，

将矢性微分算符和场矢量都分解为切向分量和法向分量，即令第11页，课件共41页，创作于2023年2月于是有

由上式可见：

对于媒质1和媒质2有

第12页，课件共41页，创作于2023年2月上面两式相减得

代入切向分量的边界条件：

有

第13页，课件共41页，创作于2023年2月从而有

如果t=0时的初值B1、B2都为零，那么C=0。故

同理，将式

中的场量和矢性微分算符分解成切向分量和法向分量，并且展开取其中的法向分量，有第14页，课件共41页，创作于2023年2月此式对分界面两侧的媒质区域都成立，故有

将两式相减并用

代入，得

第15页，课件共41页，创作于2023年2月再将切向分量的边界条件

第16页，课件共41页，创作于2023年2月例

设区域Ⅰ(z<0)的媒质参数εr1=1,μr1=1,σ1=0；区域Ⅱ(z>0)的媒质参数εr2=6,μr2=20,σ2=0。区域Ⅰ中的电场强度为

区域Ⅱ中的电场强度为

试求：(1)常数A；(2)磁场强度H1和H2；(3)证明在z=0处H1和H2满足边界条件。第17页，课件共41页，创作于2023年2月解：(1)在无耗媒质的分界面z=0处，有

由于E1和E2恰好为切向电场，

第18页，课件共41页，创作于2023年2月(2)根据麦克斯韦方程

有所以

第19页，课件共41页，创作于2023年2月同理，可得

(3)将z=0代入(2)中得

第20页，课件共41页，创作于2023年2月例试求一段半径为b，电导率为σ，载有直流电流I的长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。解：如图一段长度为l的长直导线，其轴线与圆柱坐标系的z轴重合，直流电流将均匀分布在导线的横截面上，于是有坡印廷定理验证

第21页，课件共41页，创作于2023年2月在导线表面，

因此，导线表面的坡印廷矢量

其方向处处指向导线的表面。将坡印廷矢量沿导线段表面积分，有

第22页，课件共41页，创作于2023年2月例

一同轴线的内导体半径为a，外导体半径为b，内、外导体间为空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电流I，内、外导体间的电压为U。求同轴线的传输功率和能流密度矢量。解：分别根据高斯定理和安培环路定律，可以求出同轴线内、外导体间的电场和磁场：第23页，课件共41页，创作于2023年2月上式说明电磁能量沿z轴方向流动，由电源向负载传输。通过同轴线内、外导体间任一横截面的功率为这一结果与电路理论中熟知的结果一致。

第24页，课件共41页，创作于2023年2月例将下列场矢量的复数形式写为瞬时值形式。

第25页，课件共41页，创作于2023年2月例已知无源(ρ=0,J=0)的自由空间中，时变电磁场的电场强度复矢量式中k、E0为常数。求：磁场强度复矢量；坡印廷矢量的瞬时值；平均坡印廷矢量。

第26页，课件共41页，创作于2023年2月解：(1)

由

得

(2)电场、磁场的瞬时值为

第27页，课件共41页，创作于2023年2月所以，坡印廷矢量的瞬时值为

(3)平均坡印廷矢量：

第28页，课件共41页，创作于2023年2月例在无源区求均匀导电媒质中电场强度和磁场强度满足的波动方程。解：考虑到各向同性、线性、均匀的导电媒质和无源区域，由麦克斯韦方程有

第29页，课件共41页，创作于2023年2月所以，电场强度E满足的波动方程为

同理，可得磁场强度满足的波动方程为

第30页，课件共41页，创作于2023年2月例已知时变电磁场中矢量位，其中Am、k是常数，求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。解：

如果假设过去某一时刻，场还没有建立，则C=0。

第31页，课件共41页，创作于2023年2月坡印廷矢量的瞬时值为

第32页，课件共41页，创作于2023年2月例已知无源(ρ=0,J=0)的自由空间中，时变电磁场的电场强度复矢量式中k、E0为常数。求：磁场强度复矢量；坡印廷矢量的瞬时值；平均坡印廷矢量。

第33页，课件共41页，创作于2023年2月解：(1)

由

得

(2)电场、磁场的瞬时值为

第34页，课件共41页，创作于2023年2月所以，坡印廷矢量的瞬时值为

(3)平均坡印廷矢量：

第35页，课件共41页，创作于2023年2月例：已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度为求：(1)磁场强度；（2）瞬时坡印廷矢量；（3）平均坡印廷矢量解：(1)第36页，课件共41页，创作于2023年2月(2)(3)第37页，课件共41页，创作于2023年2月例试求一段半径为b，电导率为σ，载有直流电流I的长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。坡印廷定理验证

解：如图一段长度为l的长直导线，其轴线与圆柱坐标系的z轴重合，直流电流将均匀分布在导线的横截面上，于是有第38页，课件共41页，创作于2023年2月在导线表面，

因此，导线表面的坡印廷矢量

其方向处处指向导线的表面。将坡印廷矢量沿导线段表面积分，有

第39页，课件共41页，创作于2023年2月例一同轴线的内导体半径为a，外导体半径为b，内、外导体间为空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电流I，内、外