2022-2023学年湖北省武汉市第二十一中学高三数学文测试题含解析

2022-2023学年湖北省武汉市第二十一中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.i为虚数单位，,则的共轭复数为

(

)A.

2-i

B.

2+i

C.-2-i

D.-2+i参考答案：【知识点】复数代数形式的乘除运算;共轭复数.【答案解析】A解析：解：因为，故的共轭复数为，故选A.【思路点拨】先把原式化简，再利用共轭复数的概念即可求得结果.2.在△ABC中，∠A=30°，，BC=1，则△ABC的面积等于(

)A． B． C．或 D．或参考答案：D【考点】正弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】利用余弦定理列出关系式，将cosA，a与c的值代入求出b的值，再由于b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30°，AB=c=，BC=a=1，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=b2+3﹣3b，解得：b=1或b=2，则S△ABC=bcsinA=或．故选D【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．3.已知均为正实数，定义，若，则的值为（

）A、

B、

C、

D、或参考答案：C略4.已知函数的图象如图所示，若将函数的图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数可以为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A5.若向量=（3，4），且存在实数x，y，使得=x，则可以是（）A．=（0，0），=（﹣1，2） B．=（﹣1，3），=（2，﹣6）C．=（﹣1，2），=（3，﹣1） D．=（﹣，1），=（1，﹣2）参考答案：C【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】由平面向量基本定理便知，与不共线，这样根据共面向量基本定理容易判断A，B，D中的向量与共线，而根据共线向量的坐标关系可判断C中的不共线，从而便得出正确选项为C．【解答】解：根据平面向量基本定理知：不共线；A.，共线；B.，共线；C.，∴﹣1×（﹣1）﹣2×3=﹣5≠0，∴与不共线，即该选项正确；D.，∴共线．故选：C．【点评】考查共面向量基本定理，平面向量基本定理：，其中要求不共线，以及共线向量的坐标关系．6.如图给出了一个程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：D【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值，利用函数图象即可得解．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数的值，由y=x，在同一坐标系中，分别画出图象，如图：可知有四个交点．故选：D．7.在内，使成立的的取值范围为

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：A8.在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为，则平面内与轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是

（

）

参考答案：A略9.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为

(

)．

.

.

.

.

参考答案：C10.的值为

A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f(x)=的定义域为______________.参考答案：略12.的展开式中，的系数为

。（用数字作答）参考答案：10.解：因为由二项式定理的通项公式可知13.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为

▲

.参考答案：12由三视图可知，这是一个底面为矩形，两侧面和底面垂直的四棱锥，底面矩形长4宽为3，四棱锥的高为3，所以四棱锥的体积为，答案为12.14.已知满足，则的最大值为

参考答案：615.曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________参考答案：

16.函数f（x）=log2x+1（x≥4）的反函数f﹣1（x）的定义域是．参考答案：[3，+∞）【考点】反函数．【分析】先根据函数单调性求出函数f（x）=log2x+1（x≥4）的值域，然后根据互为反函数图象的关系可知原函数的值域即为反函数的值域．【解答】解：函数f（x）=log2x+1（x≥4）的值域为[3，+∞），∴f﹣1（x）的定义域是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．【点评】本题主要考查了反函数，以及互为反函数图象的关系，属于基础题．17.已知函数，若不等式，当时恒成立，则实数m的取值范围是

参考答案：已知函数，若不等式，当时恒成立，则实数m的取值范围是

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分16分）P、Q、M、N四点都在以原点为中心，离心率，左焦点的椭圆上，已知，求四边形PMQN的面积的最大值与最小值．参考答案：椭圆方程为.

,∴.设PQ的方程为，代入椭圆方程消去得.设,则.(Ⅰ)当时,MN的斜率为,同理可得,故四边形面积.令,则,即当时,.且S是以为自变量的增函数,.(Ⅱ)当时,MN为椭圆的长轴, 综合(Ⅰ)(Ⅱ)知,四边形PQMN面积的最大值为,最小值为.19.数列各项均为正数，其前项和为，且满足． （Ⅰ）求证数列为等差数列，并求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前n项和，并求使对所有的都成立的最大正整数m的值．参考答案：解：（Ⅰ）∵，∴当n≥2时，，整理得，（n≥2），（2分）又，

∴数列为首项和公差都是1的等差数列．

∴，又，∴

∴n≥2时，，又适合此式

∴数列的通项公式为

（Ⅱ）∵

∴=

∴，依题意有，解得，故所求最大正整数的值为3 略20.（本小题14分）已知椭圆，长轴长是，离心率是．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆焦点与短轴端点的直线与椭圆交于两点，求由这两个交点与另一焦点构成三角形的面积。（Ⅲ）过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）----------------------4分（Ⅱ）不妨设直线过椭圆左焦点与短轴上端点，直线与椭圆交于M、N两点，直线方程为代入得，则----------------------7分则由这两点与另一焦点构成三角形的面积为----------------------8分（Ⅲ）当不与轴垂直时，设过点的直线方程为，并设，由消去得-----------------------------------10分------------------------12分是与无关的常数，所以即，此时．当与轴垂直时，点的坐标分别是，此时．综上所述，在轴上存在定点，使为常数．------------14分略21.如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.

参考答案：解：（1）正三棱住，底面ABC，又BDAC，,平面,又平面D平面D平面……6分（2）作AM，M为垂足，由（1）知AM平面，设与相交于点P，连接MP，则就是直线与平面D所成的角，………………9分=，AD=1，在RtD中，=，，，直线与平面D所成的角的正弦值为分……12分.

略22.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．参考答案：考点：正弦定理；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B．（2）把（1）中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的性质求得