第3课时：有理数的加减乘除乘方运算

初中数学知识点及典型题型

系统培训课件七年级上册知识模块一·有理数第三课时有理数的加减乘除乘方运算

知识点精讲

问1：有理数加法法则是如何规定的？有理数加法遵循什么运算规律？

(1)有理数加法法则是如何规定的？①符号相同的两数相加，取相同的符号，再把这两个数的绝对值相加。

②符号不相同，绝对值不相等的两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。

③互为相反数的两个数相加得0。④任意一个数同0相加，仍得这个数。

(2)有理数加法遵循什么运算规律？①加法交换律：两个数相加，交换被加数和加数的位置，和不变。即：a+b=b+a。②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即：(a+b)+c=a+(b+c)。

问2：有理数减法法则是如何规定的？有理数减法运算遵循什么运算规律？

(1)有理数减法法则是如何规定的？①减去一个数，等于加上这个数的相反数。即：a－b=a＋(－b)。注：依据这条法则，可以把有理数减法转化为有理数加法，再运用有理数加法法则和运算规律运算。

②任意两个相等的数相减都得0。③任意一个数减去0，仍得这个数。

0减去任意一个数，得数是这个数的相反数。

(2)有理数减法运算遵循什么运算规律？进行有理数减法运算时，不能直接运用交换律和结合律，必须把有理数减法转化为有理数加法之后，再运用加法的交换律和结合律，否则，运算结果会出错。这就是有理数减法运算必须遵循的运算规律。比如：两个数a、b相减，若直接运用交换律，代入任意数据可以验证：a－b≠b－a。三个数a、b、c相减，若直接运用结合律，代入任意数据可以验证：(a－b)－c≠a－(b－c)。

问3：如何进行有理数的加减混合运算？

方法1直接按运算式中加减的排列顺序，按有理数加减法则运算。

方法2不直接按运算式中加减的排列顺序，按有理数加减法则和运算规律分组相加运算。

①依据有理数减法法则“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，先把运算式中的有理数减法转化为有理数加法。

②先把其中“互为相反数”的数先相加，再正数一组和负数一组相加。

③最后把各组得数相加。例题解析分析：此题可按加减的排列顺序运算，也可把运算式中的有理数减法转化为有理数加法运算，再分组结合相加。这两种方法都可以。1解法1直接按运算式中加减的排列顺序运算。解法2按有理数加减法则和运算规律分组相加运算。

问4：有理数乘法法则是如何规定的？有理数乘法遵循什么运算规律？

(1)有理数乘法法则是如何规定的？①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

②任何数同1相乘，都等于它本身。任何数同－1相乘，都等于它的相反数。③任何数同0相乘，都得0。(2)有理数乘法遵循什么运算规律？①乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积依然相等。即：ab=ba。②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积依然相等。即：(ab)c=a(bc)。③乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，积依然相等。即：a(b+c)=ab+ac。

问5：如何判断两个数互为倒数？

(1)什么是倒数？乘积是1的两个数互为倒数。即：若a×b=1，则a、b互为倒数。注1：不仅正数之间可以互为倒数，负数之间也可以互为倒数。注2：因为0和任何数的乘积都是0，所以0没有倒数。

(2)如何求一个数的倒数？注：0没有倒数，a、b可以是除“0”之外的任意正数或负数。(3)如何判定两个数互为倒数？依据倒数的定义，只要两个数的乘积是1，就可以判定两个数互为倒数。

问6：有理数除法法则是如何规定的？有理数除法运算遵循什么运算规律？

(1)有理数除法法则是如何规定的？(2)有理数除法运算遵循什么运算规律？进行有理数除法运算时，不能直接运用交换律、结合律和分配律，必须先把有理数除法转化为有理数乘法，再运用乘法的交换律、结合律和分配律。否则，运算结果会出错。这就是有理数除法运算必须遵循的运算规律。比如：两个数a、b相除，若直接运用交换律，代入任意数据可以验证：

a÷b≠b÷a。三个数a、b、c相除，若直接运用结合律，代入任意数据可以验证：

(a÷b)÷c≠b÷(a÷c)。一个数a同两个数b、c的和相除，代入任意数据可以验证：

a÷(b+c)≠a÷b+a÷c。

问7：如何进行有理数的乘除混合运算？

方法1直接按运算式中各数之间的乘除排列顺序，按有理数乘除法则运算。方法2不直接按运算式中各数之间的乘除排列顺序，按有理数乘除法则和运算规律分组相乘运算。

①依据有理数除法法则“除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数”，先把运算式中的有理数除法转化为有理数乘法，再按有理数乘法法则和运算规律运算。②先把其中“互为倒数”的数为一组相乘，分子或分母相乘能约分的数为一组相乘。③最后把得数按相乘顺序相乘即可。例题解析2

此题有两种解法。一是直接按乘除运算顺序，按乘除运算法则计算。二是不直接按乘除运算顺序，按乘除运算法则和乘法运算规律分组相乘运算。解法1直接按运算式中各数之间的乘除排列顺序运算。解法2按有理数乘法法则和运算规律分组相乘运算。问8：什么是乘方？

(1)有理数运算包括哪几种形式？有理数运算包括以下几种运算形式：

1、有理数加法运算

2、有理数减法运算

3、有理数乘法运算

4、有理数除法运算

5、有理数乘方运算乘方运算是有理数运算的一种形式。

(2)什么是乘方？(3)

问9：乘方运算法则是如何规定的？

(1)乘方运算和乘法运算有什么关系？由乘方的定义可知：乘方就是几个相同因数a的乘积运算。所以，有理数的乘法法则和运算规律同样适合乘方运算。(2)乘方运算法则是如何规定的？

问10：

如何进行有理数的加减乘除乘方混合运算？

①运算式中若无括号，直接按“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序运算。②运算式中若有括号，通常要先去括号。去括号时，按小括号、中括号、大括号的顺序依次去括号。括号内、外的运算，都按“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序运算。例题解析

【例3】例题解析【例4】解法1按有理数乘法的分配率，先把括号内各项与60相乘，再把得数相加。解法2先计算括号内的值，再把得数和60相乘。

【典型题型】

有理数的加减乘除乘方运算（答案及解析见《教程》）

本课时培训收获

1、掌握有理数加法的四条运算法则。2、掌握有理数减法的三条运算法则。3、掌握进行有理数加减混合运算的两种常用方法。4、掌握