投影变换基础

投影变换基础第1页，课件共38页，创作于2023年2月§1问题的提出

当几何元素相对于投影面处于特殊位置时，其投影往往能直接反映交点、交线的位置或图形实形、线段实长。定位问题度量问题问题的提出换面法上节第2页，课件共38页，创作于2023年2月几何元素处于一般位置时怎么办？变换投影面

换面法投影变换的目的改变几何元素相对于投影面的位置使之平行或垂直投影面而简化解题变换几何元素位置

旋转法问题的提出换面法上节第3页，课件共38页，创作于2023年2月§2换面法如何求线段AB的实长？当V1//AB时a1b1=ABVHXV1Aaba'b'BX1a1b12.1选择新投影面的原则换面法选择新投影面的原则点的投影变换规律四个基本作图问题旋转法2.12.22.3上节第4页，课件共38页，创作于2023年2月选择新投影面的原则VHXV1Aaba'b'BX1a1b1新投影面必对空间几何元素处于有利于解题的位置新投影面必须垂直原投影面体系中的一个投影面以构成新的相互垂直的投影面体系换面法选择新投影面的原则点的投影变换规律四个基本作图问题旋转法2.12.22.3上节第5页，课件共38页，创作于2023年2月其中X------旧轴X1------新轴a′------旧投影a_1------新投影a------不变投影aa'axAVHXX1XVHa'aaxX1HV1a1ax1点到H面之距2.2点的投影变换规律V1ax1a1换面法选择新投影面的原则点的投影变换规律四个基本作图问题旋转法2.12.22.3上节第6页，课件共38页，创作于2023年2月XVHa'aaxX1HV1a1ax1在新投影面体系中，点的一对投影连线垂直新投影轴aa′⊥Xaa1⊥X1新投影到新轴之距=被代替的投影到原投影轴之距a′a=aa12.2点的投影变换规律点的一次换面换面法选择新投影面的原则点的投影变换规律四个基本作图问题旋转法2.12.22.3上节第7页，课件共38页，创作于2023年2月XVHa'a点的二次换面X1X2HV1V1H2a1a2注意:必须依次更换投影面2.2点的投影变换规律换面法选择新投影面的原则点的投影变换规律四个基本作图问题旋转法2.12.22.3上节第8页，课件共38页，创作于2023年2月将一般位置线变换成投影面平行线空间分析当AB为新投影面的平行线时，其投影直接反映实长更换哪个投影面？V因为要求（与H面倾角），则必须保留H面而使AB平行P1。如何确定X1轴的位置X1//abX1aba1b1P1H2.3四个基本作图问题实长一次换面X1a1b1实长HV1a'b'abOVHX例1例2例3求AB实长及对H面倾角对不变投影面的倾角换面法选择新投影面的原则点的投影变换规律四个基本作图问题旋转法2.12.22.3上节第9页，课件共38页，创作于2023年2月VHXBaba'b'将一般位置线变换成投影面垂直线X1V1X2b1a1H2A2(b2)两次换面将一般位置线投影面平行线将投影面平行线投影面垂直线A例1例2例3换面法选择新投影面的原则点的投影变换规律四个基本作图问题旋转法2.12.22.3上节第10页，课件共38页，创作于2023年2月X1X2a2(b2)a1b1X1//abX2a1b1作图HV1V1H2①将一般位置线

投影面平行线②将投影面平行线投影面垂直线将一般位置线变换成投影面垂直线Xaba'b'HV例1例2例3换面法选择新投影面的原则点的投影变换规律四个基本作图问题旋转法2.12.22.3上节第11页，课件共38页，创作于2023年2月过点K作直线与AB垂直相交并求其实长空间分析在什么情况下所求线段的投影直接反映其实长?ABKLPablkABPKL//P如何将AB变换成投影面垂直线？①//②投影分析如何确定新投影轴的位置例1求点K到直线AB之距。将AB变为投影面//线将AB变为投影面线ABKLPablka'b'k'kabXVHX1b1k1k2X2l1ll'X1//abHV1V1H2A2(b2)(l2)a1X2a1b1例1例2例3返回原体系KL//X2换面法选择新投影面的原则点的投影变换规律四个基本作图问题旋转法2.12.22.3上节第12页，课件共38页，创作于2023年2月必须使平面内某一直线成为该投影面的垂直线取平面内的投影面平行线X1方向如何确定X1

bm一次换面X1m'ma1c1b1HV1a'b'c'bacXVH例1例2例3将一般位置平面变换成投影面垂直面换面法选择新投影面的原则点的投影变换规律四个基本作图问题旋转法2.12.22.3上节第13页，课件共38页，创作于2023年2月a'b'c'bacXVH将一般位置平面变换成投影面平行面空间分析平面相对于投影面处于何种位置时其投影直接反映实形投影面平行面先将平面变换成投影面垂直面X1HV1a1a2b1b2c1c2X2V1H21'1X1b1再将平面变换成投影面平行面X2//c1b1a1实形两次换面求三角形ABC的实形。例1例2例3换面法选择新投影面的原则点的投影变换规律四个基本作图问题旋转法2.12.22.3上节第14页，课件共38页，创作于2023年2月例2已知ABC与ABD夹角为60°，求a'd',b'd'。空间分析当两平面的交线AB垂直于新投影面时它们在该投影面上的投影反映其夹角将AB投影面垂直线投影分析

将AB投影面平行线新投影轴X1//ab将AB投影面垂直线新投影轴X2a1b1acbda'c'b'XVHc1a1b1X1a2

(b2)HP1d1d'X2P1H2c2d260°例1例2例3换面法选择新投影面的原则点的投影变换规律四个基本作图问题旋转法2.12.22.3上节第15页，课件共38页，创作于2023年2月a'b'c'bcaXVH例3过点A作直线与BC相交成60°。X1b1c1a1X2a2b2c2m2n2m1n1mm'nn'HV1V1H2空间分析在实形图形上直接反映直线夹角大小，实质是求实形问题。投影分析将平面投影面垂直面X1平面内一投影面平行线将平面投影面平行面X2//平面的积聚性投影60°60°返回到原投影面体系例1例2例3换面法选择新投影面的原则点的投影变换规律四个基本作图问题旋转法2.12.22.3上节第16页，课件共38页，创作于2023年2月铅垂面ABC在V/H投影面上均不反映实形，如何求ABC实形？使ABC绕轴旋转到与V面平行的位置，则ABC1在V面的投影反映实形。§3旋转法3.1问题的提出c1’c1C1b’a’c’a(b)cABCOOo’o’实形旋转法问题的提出旋转法的概念绕垂直轴旋转计算机辅助图解法3.13.23.3上节第17页，课件共38页，创作于2023年2月旋转法是保持投影面不动，将几何元素绕某一轴旋转，使它对投影面处于有利于解题的位置。

旋转法五要素O1OOAP3.2旋转法的概念旋转平面P、旋转轴OO、旋转中心O1旋转半径R、旋转点AR旋转法问题的提出旋转法的概念绕垂直轴旋转计算机辅助图解法3.13.23.3上节第18页，课件共38页，创作于2023年2月点A绕铅垂轴旋转3.3绕垂直轴旋转a1’a1oo’aa’a1a1’aa’o点的旋转规律旋转法问题的提出旋转法的概念绕垂直轴旋转计算机辅助图解法3.13.23.3上节第19页，课件共38页，创作于2023年2月投影规律：点的一个投影在垂直于旋转轴的投影面上作圆周运动，在另一投影面上的投影作与投影轴平行的直线运动。点A绕正垂轴旋转3.3绕垂直轴旋转点的旋转规律旋转法问题的提出旋转法的概念绕垂直轴旋转计算机辅助图解法3.13.23.3上节第20页，课件共38页，创作于2023年2月直线的旋转规律直线绕某轴旋转一角度时，只要使该直线上的两个点绕同一轴，沿相同方向，旋转同一角度，然后把旋转后的两个点连接起来，即为该直线的新投影。

当一直线绕铅垂轴旋转时，其水平投影长度保持不变。直线对H面的倾角不变。当一直线绕正垂轴旋转时，其正面投影长度保持不变。直线对V面的倾角不变。00RR旋转法问题的提出旋转法的概念绕垂直轴旋转计算机辅助图解法3.13.23.3上节第21页，课件共38页，创作于2023年2月平面的旋转规律当一平面图形绕铅垂轴旋转时，其水平投影的大小和形状保持不变，该平面对H面的倾角的大小不变。当一平面图形绕正垂轴旋转时，其正面投影的大小和形状保持不变，该平面对V面的倾角的大小不变。旋转法问题的提出旋转法的概念绕垂直轴旋转计算机辅助图解法3.13.23.3上节第22页，课件共38页，创作于2023年2月绕垂直轴一次旋转可解决四种作图问题1、将一般位置直线旋转成投影面平行线；(a)旋转成正平线选铅垂线为旋转轴(b)旋转成水平线选正垂线为旋转轴旋转法问题的提出旋转法的概念绕垂直轴旋转计算机辅助图解法3.13.23.3上节第23页，课件共38页，创作于2023年2月2、将投影面平行线旋转成投影面垂直线旋转正平线成铅垂线旋转水平线成正垂线绕垂直轴一次旋转可解决四种作图问题旋转法问题的提出旋转法的概念绕垂直轴旋转计算机辅助图解法3.13.23.3上节第24页，课件共38页，创作于2023年2月3、将投影面垂直面旋转成投影面平行面将正垂面旋转成水平面将铅垂面旋转成正平面绕垂直轴一次旋转可解决四种作图问题旋转法问题的提出旋转法的概念绕垂直轴旋转计算机辅助图解法3.13.23.3上节第25页，课件共38页，创作于2023年2月4、将一般位置平面旋转成投影面垂直面1)作一般位置平面上投影面平行线；2）将该投影面平行线旋转成投影面垂直线；3）以同轴、同方向、同角度将一般位置平面旋转为投影面垂直面。绕垂直轴一次旋转可解决四种作图问题旋转法问题的提出旋转法的概念绕垂直轴旋转计算机辅助图解法3.13.23.3上节第26页，课件共38页，创作于2023年2月计算机辅助图解法§4计算机辅助图解法4.1基本概念计算机辅助图解法以正投影原理为理论基础，其整体过程主要为两大步骤，首先对工程设计及表达中画法几何问题进行空间分析并进行实体建模，然后在三维环境下的实体模型上直接求解及表达，中间省去了投影变换的二维辅助方法及二/三维的相互转换过程，从而更为直观形象，易于掌握和分析，可大大提高设计和作图的精度和速度，也更适合于现代化无图纸设计、表达和制造的生产方式。基本概念计算机辅助图解的基本工具计算机辅助图解的基本方法解题实例4.14.24.3上节4.4CAD链接第27页，课件共38页，创作于2023年2月4.2计算机辅助图解的基本工具使用AUTOCAD-3D技术求解画法几何空间问题的计算机辅助工具主要有以下三个：①点的过滤②用户坐标系UCS③查询工具这一功能可以使在精确作图中，从某一已知点的三个坐标值（X，Y，Z），可过滤出某一个或两个坐标值，以保证前后两点的精度要求。利用它可实现在三维环境下将一般位置直线向指定的平面进行投影。使用这一功能，可将三维空间的直角坐标系的原点和方向按解题需要进行多方位的平移、旋转等坐标变换，不仅可以代替传统画法几何中的换面法和旋转法等图解工具，而且还远远超过了这些图解工具所能达到的功效，直接在三维实体上图解更为复杂的工程问题。这是最直接的一种设计工具。实体建模完成后，在“查询”命令的子菜单中，可以直接查询指定对象的距离、面积、点坐标的精确数值及坐标位置和方位，还可确定实体的质量特性，如实体的质量、体积、边界框的大小和坐标、实体的质心、惯性矩、旋转半径及主力矩与质心的X-Y-Z方向等。这对于工程抽象问题中的点到直线、两平行直线、两平行平面之间的距离等几何量定量问题的精确求解、对于工程实际问题中零件部件的质量特性的确定及力学设计，都具有直接、准确、高效的功能。计算机辅助图解法基本概念计算机辅助图解的基本工具计算机辅助图解的基本方法解题实例4.14.24.3上节4.4CAD链接第28页，课件共38页，创作于2023年2月4.3计算机辅助图解的基本方法坐标变换利用UCS命令，建立坐标变换的概念。设计时可以根据画法几何问题中空间分析的结果，将当前的空间直角坐标系进行平移、旋转，以实现画法几何中将一般位置几何量变为特殊位置几何量，再配合查询及尺寸标注等其它工具，即可解决直线的实长、平面的实形等定形问题；直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的夹角等问题。直线的投影利用“点的过滤”功能以及与UCS坐标变换的配合，即可实现在计算机三维环境下将空间直线向任一平面的投影，从而导出一系列画法几何空间问题的迎刃而解。在作出空间直线AB对平面P的投影ab后，即可引伸出“点到平面的距离”、“直线与平面的交点”、“直线与平面的夹角”等问题的求解。

θ在作出空间平面ABC对平面P的投影后，两平面的交线及二面角等问题也就随之得到了解答。从图解几何问题的角度来看，其间省去了传统画法几何中的换面法、旋转法等二维辅助图解过程，对空间问题实现空间直接求解。计算机辅助图解法基本概念计算机辅助图解的基本工具计算机辅助图解的基本方法解题实例4.14.24.3上节4.4CAD链接第29页，课件共38页，创作于2023年2月4.4计算机辅助图解解题实例例1.（4-24）在已知平面ABD上作一等腰三角形ABC，使其底边BC在BD上。空间分析等腰三角形的高是底边的垂直平分线，故只要过A点作一直线AH垂直于BD，再在BD上取HC等于HB即可。HC用UCS命令将空间直角坐标系的XOY面作在ABD所在平面上在新的XOY面中，利用垂足捕捉功能过A点向BD作垂线，得垂足H在BD上取C点使HC=HB连接ABC即得所求等腰三角形实体建模解题步骤CAD链接计算机辅助图解法基本概念计算机辅助图解的基本工具计算机辅助图解的基本方法解题实例4.14.24.3上节4.4第30页，课件共38页，创作于2023年2月4.4计算机辅助图解解题实例例2.（4-20）解题步骤空间分析实体建模已知两平面平行，求两平面的距离当两平面同时垂直于一个投影面时，其积聚性投影之间的距离即是该两平面的真实距离。将UCS的XOY面贴于△KMN上过△ABC上的一点B向△KMN作垂线用查询命令得到垂线的长度，此即两平行平面的距离CAD链接计算机辅助图解法基本概念计算机辅助图解的基本工具计算机辅助图解的基本方法解题实例4.14.24.3上节4.4第31页，课件共38页，创作于2023年2月4.4计算机辅助图解解题实例例3.（4-19）解题步骤空间分析实体建模将UCS的XOY面贴于平面DEFG上过A点作一平面，使其平行于直线BC，且垂直于平面DEFG过点A向平面CEFG作一垂线AM，再作一直线AN平行于直线BC，则一对相交直线AM与AN即为所求。利用点的过滤，将A点向平面DEFG作投影AM利用“平行捕捉”过点A作一直线AN平行于直线BC三角形AMN即为所求MNMNCAD链接计算机辅助图解法基本概念计算机辅助图解的基本工具计算机辅助图解的基本方法解题实例4.14.24.3上节4.4第32页，课件共38页，创作于2023年2月4.4计算机辅助图解解题实例例4.（4-25）空间分析过点E作直线MN与已知平ABCD平行，且与已知直线FG相交要使过点E所作的直线MN与直线FG相交，则MN与FG必在同一个平面内；要使MN与平面ABCD平行，则MN所在平面须平行于ABCD解题步骤实体建模将UCS的XOY面贴于平面ABCD上，并平移至E点利用“点的过滤”将直线FG向UCS的XOY平面进行投影，得fg.找到直线FG与XOY平面的交点M连接ME即为所求直线MNm平面与FG的交点M计算机辅助图解法基本概念计算机辅助图解的基本工具计算机辅助图解的基本方法解题实例4.14.24.3上节4.4CAD链接第33页，课件共38页，创作于2023年2月4.4计算机辅助图解解题实例例5.（4-26）空间分析作直线KL与交叉直线AB、CD相交，并平行于直线EF先包含其中一交叉直线（如CD）作一平面平行于已知直线EF，再求该平面与另一交叉直线（AB）的交点K，此交点即与CD在同一平面内；过此交点K作一直线KL平行于EF并与CD相交，即可满足要求。KLLK解题步骤实体建模并将UCS的XOY面贴于该平面上包含CD作一平面平行于EF利用点的过滤，将AB向平面投影，以求直线AB与平面CDG的交点K过K点作直线KL平行于EF并与CD相交计算机辅助图解法基本概念计算机辅助图解的基本工具计算机辅助图解的基本方法解题实例4.14.24.3上节4.4CAD链接第34页，课件共38页，创作于2023年2月4.4计算