2022-2023学年湖南省衡阳市耒阳第七中学高三数学理测试题含解析

2022-2023学年湖南省衡阳市耒阳第七中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

“”是“”是的(

)w.w.w..c.o.m

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B2.已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，则下列四个命题正确的是（）①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β．A．②④ B．①② C．③④ D．①③参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接由空间中的点线面的位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：①∵l⊥平面α，直线m?平面β．若α∥β，则l⊥平面β，有l⊥m，①正确；②如图，由图可知②不正确；③∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，又m?平面β，∴α⊥β，③正确；④由②图可知④不正确．∴正确的命题为①③．故选：D．3.已知函数的部分图像如图，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C根据图像，解得，把点的坐标代入，得，结合得，故，，函数的最小正周期是，在一个周期内的各个函数值之和为，，。4.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为(

)A． B．

C．

D．参考答案：C略5.函数的定义域是A．

B．

C．

D．参考答案：D6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位

B．向右平移个单位C．向左平移个单位

D．向右平移个单位

参考答案：D7.若函数|(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R,则

(

）A

|(x)与g(x)均为偶函数

B

|(x)为偶函数,g(x)为奇函数C

|(x)与g(x)均为奇函数

D

|(x)为奇函数,g(x)为偶函数参考答案：B8.原创）定义在实数集函数满足，且为奇函数，现有以下三种叙述：（1）是函数的一个周期；（2）的图像关于点对称；（3）是偶函数.其中正确的是（

）A

（2）（3）

B（1）（2）

C（1）（3）

D（1）（2）（3）参考答案：D略9.某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示：收入x（亿元）2.22.64.05.35.9支出y（亿元）0.21.52.02.53.8根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+，依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为（）A．4.5亿元 B．4.4亿元 C．4.3亿元 D．4.2亿元参考答案：B【考点】线性回归方程．【分析】根据表中数据，计算、以及回归系数，写出回归方程，利用回归方程计算x=7时的值即可．【解答】解：根据表中数据，计算=×（2.2+2.6+4.0+5.3+5.9）=4，=×（0.2+1.5+2.0+2.5+3.8）=2，∴=2﹣0.8×4=﹣1.2，∴回归直线方程为=0.8x﹣1.2，计算x=7时=0.8×7﹣1.2=4.4（亿元），即2017年该公司收入为7亿元时的支出为4.4亿元．故选：B．10.不等式的解集是______.参考答案：略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知且，若函数在的最大值为，则

，

．参考答案：

12.参考答案：13.由直线与曲线所围成的封闭图形的两积为_____．参考答案：14.不等式组，表示的平面区域的面积是

.参考答案：15.设过曲线f（x）=﹣ex﹣x（e为自然对数的底数）上的任意一点的切线l1，总存在过曲线g（x）=mx﹣3sinx上的一点处的切线l2，使l1⊥l2，则m的取值范围为

．参考答案：[﹣2，3]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得f（x）的导数，设（x1，y1）为f（x）上的任一点，可得切线的斜率k1，求得g（x）的导数，设g（x）图象上一点（x2，y2）可得切线l2的斜率为k2，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，分别求y=m﹣3cosx2的值域A，y=值域B，由题意可得B?A，可得a的不等式，可得a的范围．【解答】解：f（x）=﹣ex﹣x的导数为f′（x）=﹣ex﹣1，设（x1，y1）为f（x）上的任一点，则过（x1，y1）处的切线l1的斜率为k1=﹣ex1﹣1，g（x）=mx﹣3sinx的导数为g′（x）=m﹣3cosx，过g（x）图象上一点（x2，y2）处的切线l2的斜率为k2=m﹣3cosx2．由l1⊥l2，可得（﹣ex1﹣1）?（m﹣3cosx2）=﹣1，即m﹣3cosx2=，任意的x1∈R，总存在x2∈R使等式成立．则有y=m﹣3cosx2的值域为A=[m﹣3，m+3]．y=的值域为B=（0，1），有B?A，即（0，1）?[m﹣3，m+3]．即，解得﹣2≤a≤3．故答案为：[﹣2，3]．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题．16.已知圆平面区域：，若圆心,且圆与轴相切，则的最大值为_____________参考答案：37【知识点】简单线性规划．E5

解析：作出不等式组对应的平面区域如图：∵圆与x轴相切，∴由图象知b=1，即圆心在直线y=1上，若a2+b2最大，则只需要|a|最大即可，由图象知当C位于直线y=1与x+y﹣7=0的交点时，|a|最大，此时两直线的交点坐标为（6，1），此时a=6，故a2+b2的最大值为62+12=37，故答案为：37【思路点拨】根据圆与x轴相切，得到b=1，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合进行判断即可．17.从等腰直角的底边上任取一点，则为锐角三角形的概率为

.参考答案：1/2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列的前n项和为，为常数，则称数列为“科比数列”。

（Ⅰ）等差数列的首项为1，公差不为零，若为“科比数列”，求的通项公式；

（Ⅱ）数列的各项都是正数，前n项和为，若对任意

都立，试推断数列是否为“科比数列”？并说明理由。参考答案：解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，，因为，则，即．整理得．

…………2分

因为对任意正整数上式恒成立，则，解得．……4分

故数列的通项公式是．

…………5分

（Ⅱ）由已知，当时，．因为，所以．当时，，．两式相减，得．因为，所以=．………8分

显然适合上式，所以当时，．于是．因为，则，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．…………10分所以不为常数，故数列不是“科比数列”．…12分略19.（本小题满分13分）已知函数同时满足：①函数有且只有一个零点；②在定义域内存在，使得不等式成立.设数列的前项和（）.

(Ⅰ)求函数的表达式；

(Ⅱ)求数列的通项公式；

(Ⅲ)在各项均不为零的数列中，所有满足的整数的个数称为数列的变号数.令，求数列的变号数.参考答案：（Ⅰ）有且只有一个零点，

解得

………………1分当时，函数上递减故存在，使得不等式成立

………………2分当时，函数上递增故不存在，使得不等式成立

………………3分综上，得，

…………4分(Ⅱ)由（Ⅰ）可知当时，

………………5分当时，

………………7分

…………8分(Ⅲ)由题设得

，

………………9分递增，

………………10分即时，有且只有1个变号数；又∴此处变号数有2个；

………………12分综上得数列的变号数为3.

………………13分

略20.某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都分为正品与次品．其中生产甲产品为正品的概率是，生产乙产品为正品的概率是；生产甲乙两种产品相互独立，互不影响．生产一件甲产品，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件乙产品，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．计算以下问题：（Ⅰ）记X为生产1件甲产品和1件乙产品所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）求生产4件产品甲所获得的利润不少于110元的概率．参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）根据随机变量X的所有取值，计算对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望EX；（Ⅱ）计算“生产4件芯片甲所获得的利润不少于110元”的概率值即可．【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15；P（X=90）=×=；P（X=45）=×=；P（X=30）=×=；P（X=﹣15）=×=．所以，随机变量X的分布列为：X904530﹣15PEX=90×+45×+30×+（﹣15）×=66；（Ⅱ）设“生产4件芯片甲所获得的利润不少于110元”为事件A，则．…21.(本小题满分12分）解关于x的不等式.参考答案：22.如图，四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面为正三角形且二面角为60°．（Ⅰ）设侧面与的交线为，求证：；（Ⅱ）设底边与侧面所成角的为，求的值．参考答案：解答：