冀教版八年级数学上册 第十三章 总复习 练习题教学课件PPT初二公开课

第十三章全等三角形13.1命题与证明数学·冀教版·八年级上册1.[2021河北石家庄七中月考]给出下列说法:(1)“两直线平行,同位角相等”与“同位角相等,两直线平行”互为逆命题;(2)命题“如果两个角相等,那么它们都是直角”的逆命题为假命题;(3)命题“如果-a=5,那么a=-5”的逆命题为“如果-a≠-5,那么a≠-5”.其中正确的有(

)A.0个 B.1个 C.2个 D.3个知识点1逆命题答案1.B

【解析】

(1)“两直线平行,同位角相等”与“同位角相等,两直线平行”互为逆命题,故(1)正确;(2)命题“如果两个角相等,那么它们都是直角”的逆命题是“如果两个角都是直角,那么它们相等”,是真命题,故(2)错误;(3)命题“如果-a=5,那么a=-5”的逆命题为“如果a=-5,那么-a=5”,故(3)错误.所以正确的有1个.故选B.2.易错题给出下列命题:①若ab=0,则a=0;②如果a,b都是偶数,那么a+b是偶数;③两个锐角的和是钝角;④直角三角形的两个锐角互余.其中原命题与逆命题均为真命题的有(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个知识点1逆命题答案2.A

【解析】

①“若ab=0,则a=0”是假命题,例如a=3,b=0,满足ab=0,但a≠0,故不符合题意;②“如果a,b都是偶数,那么a+b是偶数”是真命题,它的逆命题是“如果a+b是偶数,那么a,b都是偶数”,该逆命题是假命题,例如a=1,b=3,满足a+b是偶数,但a,b都不是偶数,故不符合题意;③“两个锐角的和是钝角”是假命题,故不符合题意;④“直角三角形的两个锐角互余”是真命题,它的逆命题是“如果一个三角形的两个锐角互余,那么这个三角形是直角三角形”,该逆命题是真命题,故符合题意.故选A.3.写出下列命题的逆命题,并判断原命题和逆命题的真假性.(1)若m2≠n2,则m≠n;(2)如果一个三角形有一个内角是钝角,那么它的另外两个内角是锐角.知识点1逆命题答案3.【解析】

(1)逆命题:若m≠n,则m2≠n2.原命题是真命题,逆命题是假命题.(2)逆命题:如果一个三角形有两个内角是锐角,那么这个三角形的另一个内角是钝角.原命题是真命题,逆命题是假命题.4.[2019河北中考]下面是投影屏上出示的抢答题,需要回答横线上符号代表的内容.则回答正确的是(

)A.◎代表∠FEC

B.@代表同位角C.▲代表∠EFC

D.※代表AB知识点2证明答案4.C

【解析】

延长BE交CD于点F,则∠BEC=∠EFC+∠C(三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和).又∵∠BEC=∠B+∠C,∴∠B=∠EFC,故AB∥CD(内错角相等,两直线平行).故选C.5.如图,AB∥CD,∠ABD和∠BDC的平分线交于E,求证:BE⊥DE.知识点2证明答案5.【解析】

∵∠ABD和∠BDC的平分线交于E,∴∠ABD=2∠DBE,∠BDC=2∠BDE.∵AB∥CD,∴∠ABD+∠BDC=180°,即2∠DBE+2∠BDE=180°,∴∠DBE+∠BDE=90°.∴∠BED=90°,∴BE⊥DE.6.(1)如图,已知命题“如果DE∥BC,∠1=∠2,CD⊥AB,那么FG⊥AB.”试判断该命题是否正确,并说明理由.(2)若把(1)中的“DE∥BC”与“FG⊥AB”对调,所得命题是否为真命题?试说明理由.(3)若把(1)中的“∠1=∠2”与“FG⊥AB”对调呢?知识点2证明知识点2证明答案6.【解析】

(1)该命题正确.理由如下:∵DE∥BC,∴∠1=∠DCB.又∵∠1=∠2,∴∠DCB=∠2,∴CD∥FG,∴∠BFG=∠CDB.∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,∴∠BFG=90°,∴FG⊥AB.(2)所得命题是真命题.理由如下:∵CD⊥AB,FG⊥AB,∴CD∥FG,∴∠DCB=∠2,又∵∠1=∠2,∴∠1=∠DCB,∴DE∥BC.(3)所得命题是真命题.理由如下:∵CD⊥AB,FG⊥AB,∴CD∥FG,∴∠DCB=∠2.∵DE∥BC,∴∠1=∠DCB,∴∠1=∠2.7.下列定理中,有逆定理的是(

)①同旁内角互补,两直线平行;②对顶角相等;③相反数的绝对值相等;④两直线平行,同位角相等.A.①② B.①④ C.③④ D.①②③④知识点3逆定理答案7.B

【解析】

“同旁内角互补,两直线平行”的逆命题为“两直线平行,同旁内角互补”,该逆命题是真命题,所以①存在逆定理;“对顶角相等”的逆命题为“相等的两角是对顶角”,该逆命题是假命题,所以②不存在逆定理;“相反数的绝对值相等”的逆命题为“绝对值相等的两数互为相反数”,该逆命题是假命题,所以③不存在逆定理;“两直线平行,同位角相等”的逆命题为“同位角相等,两直线平行”,该逆命题是真命题,所以④存在逆定理.故选B.8.按要求完成下列各题.(1)请写出以下命题的逆命题:①相等的角是内错角;②如果a+b>0,那么ab>0.(2)判断(1)中①的原命题和逆命题是否为互逆定理.知识点3逆定理答案8.【解析】

(1)①“相等的角是内错角”的逆命题:如果两个角是内错角,那么这两个角相等.②“如果a+b>0,那么ab>0”的逆命题:如果ab>0,那么a+b>0.(2)因为定理首先是真命题,而(1)中①的原命题与逆命题都是假命题,故(1)中①的原命题和逆命题不是互逆定理.13.2全等图形1.如图所示的图形是全等图形的是(

)知识点1全等图形答案1.B

【解析】

观察选项可知,只有选项B中的一个图形旋转后与另一个图形完全相同.故选B.名师点睛判断全等图形的方法

(1)全等图形一定要形状和大小完全相同,两者缺一不可;(2)全等图形只和形状、大小有关,和摆放的位置无关.2.[2021河北邢台月考]嘉嘉想在图中再加一个正方形方格,使整个图形被直线l分成的两部分全等,这个方格可放的位置为(

)A.① B.②或③C.② D.③或④知识点1全等图形答案2.B

【解析】

如图,这个方格放在②或③的位置时,整个图形被直线l分成的两部分全等.故选B.3.下列说法中错误的是(

)A.能够完全重合的两个图形称为全等图形B.全等图形的面积一定相等C.所有正方形都是全等图形D.用一张底片冲洗出来的9张一寸照片是全等图形知识点1全等图形答案3.C

【解析】

边长不相等的正方形是不全等的,所以所有正方形不一定都是全等图形,C说法错误.故选C.4.[2020河北衡水实验学校月考]如图,△AOC与△BOD全等,点A和点B、点C和点D是对应顶点,则下列结论中错误的是(

)

A.∠A与∠B是对应角B.∠AOC与∠BOD是对应角C.OC与OB是对应边D.AC与BD是对应边知识点2全等三角形的概念答案4.C5.如图,已知△ABE≌△ACD,∠AEB=∠ADC,∠B=∠C,指出其他的对应边和对应角.知识点2全等三角形的概念答案5.【解析】

因为△ABE≌△ACD,所以这两个三角形的对应顶点分别是点A与点A、点B与点C、点E与点D,对应边为AB与AC,AE与AD,BE与CD,其他的对应角为∠BAE与∠CAD.知识点2全等三角形的概念答案找对应边、对应角时常见的几种方法

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角;(3)两个全等三角形中有公共边的,公共边是对应边;(4)两个全等三角形中有公共角的,公共角是对应角;(5)两个全等三角形中有对顶角的,对顶角是对应角;(6)两个全等三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).归纳总结6.[2020安徽合肥期中]如图,△ABC≌△DEF,则∠E的度数为(

)

A.80° B.40° C.62° D.38°知识点3全等三角形的性质答案6.D

【解析】

∵△ABC≌△DEF,∴∠E=∠B.∵∠B=180°-∠A-∠C=38°,∴∠E=38°.故选D.7.[2021河北张家口宣化区期中]如图,已知△ABC≌△DEF,若AC=2.2,CF=0.6,则CD的长是(

)A.2.2 B.1.6 C.1.2 D.0.6知识点3全等三角形的性质答案7.B

【解析】

∵△ABC≌△DEF,∴AC=DF=2.2,又∵CF=0.6,∴CD=DF-CF=2.2-0.6=1.6.故选B.8.[2020山东淄博中考]如图,若△ABC≌△ADE,则下列结论中一定成立的是(

)A.AC=DE B.∠BAD=∠CAEC.AB=AE D.∠ABC=∠AED知识点3全等三角形的性质答案8.B

【解析】

∵△ABC≌△ADE,∴AC=AE,AB=AD,∠ABC=∠ADE,∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.故选B.9.已知△ABC≌△DEF,BC=6cm,△ABC的面积是18cm2,则EF边上的高是

cm.

知识点3全等三角形的性质答案9.6

【解析】

因为△ABC≌△DEF,BC=6cm,△ABC的面积是18cm2,所以EF=BC=6cm,△DEF的面积是18cm2,由三角形的面积公式,得EF边上的高为6cm.10.[2021河北邯郸永年区期中]如图,△ABC≌△DEF,点B,F,C,E在直线l上.(1)请写出图中所有相等的线段;(2)请写出图中所有平行的线段,并说明理由.知识点3全等三角形的性质答案10.【解析】

(1)∵△ABC≌△DEF,∴AB=DE,AC=DF,BC=EF,∴BC-FC=EF-FC,即BF=CE.(2)∵△ABC≌△DEF,∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE,∴AB∥DE,AC∥DF.11.如图,△ACF≌△DBE,且点A,B,C,D在同一条直线上,∠A=50°,∠F=40°.(1)求△DBE各内角的度数;(2)若AD=16,BC=10,求AB的长.知识点3全等三角形的性质答案

1.易错题给出下列说法:(1)全等图形的形状相同,大小相等;(2)全等三角形的对应边相等;(3)全等图形的周长相等,面积相等;(4)面积相等的两个三角形全等.其中正确的是(

)A.(1)(3)(4) B.(2)(3)(4)C.(1)(2)(3) D.(1)(2)(4)答案1.C2.[2020河北石家庄期中]如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C的度数为(

)

A.15° B.20° C.25° D.30°答案2.D

【解析】

∵△ADB≌△EDB≌△EDC,∴∠A=∠BED=∠CED,∠ABD=∠EBD=∠C,∴∠ABC=2∠C.∵∠BED+∠CED=180°,∴∠A=∠BED=∠CED=90°.在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,∴∠C=30°.故选D.3.[2021河北沧州十三中月考]如图,已知△ABD≌△CDB,则下面四个结论中,不一定正确的是(

)

A.△ABD和△CDB的面积相等B.△ABD和△CDB的周长相等C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBDD.AD∥BC,且AD=BC答案3.C

【解析】

∵△ABD≌△CDB,∴△ABD和△CDB的面积相等,周长相等,故A,B项结论正确.∵△ABD≌△CDB,∴∠A=∠C,∠ABD=∠CDB,∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB,∵∠CDB与∠CBD不一定相等,∴∠A+∠ABD=∠C+∠CBD不一定成立,故C项结论不一定正确.∵△ABD≌△CDB,∴AD=BC,∠ADB=∠CBD,∴AD∥BC,故D项结论正确.故选C.

答案4.C

【解析】

因为△ABC与△DEF全等,所以3x-2=5,2x-1=7或3x-2=7,2x-1=5.当3x-2=5,2x-1=7时,x不存在;当3x-2=7,2x-1=5时,x=3.故选C.5.[2020湖南长沙天心区期中]已知△ABC≌△DEF,且△ABC的周长为18.若AB=5,EF=6,则AC=

.

答案5.7

【解析】

因为△ABC≌△DEF,所以BC=EF=6,又因为△ABC的周长为18,AB=5,所以AC=18-AB-BC=18-5-6=7.6.下图是由全等的图形组成的,其中AB=3cm,CD=2AB,则AF=

cm.

答案6.27

【解析】

因为AB=3cm,所以CD=2AB=6cm,所以AF=3AB+3CD=3×3+3×6=27(cm).7.[2020浙江绍兴月考]如图,请沿图中的虚线,用三种方法将下列图形划分为两个全等图形.答案7.【解析】

如图所示.(答案不唯一)8.[2021河北邯郸二十三中期末]如图,A,D,E三点在同一直线上,且△BAD≌△ACE.(1)求证:BD=DE+CE.(2)当△ABD满足什么条件时,BD∥CE?并说明理由.答案8.【解析】

(1)因为△BAD≌△ACE,所以AD=CE,BD=AE.因为AE=DE+AD,所以BD=DE+CE.(2)当△ABD满足∠ADB=90°时,BD∥CE.理由如下:当∠ADB=90°时,易知∠BDE=90°,因为△BAD≌△ACE,所以∠CEA=∠ADB=90°,所以∠CEA=∠BDE,所以BD∥CE.答案名师点睛

对于探究条件的题目,可以猜想出条件后,由条件推出题目的结论,也可以将题目中的结论当作条件,这样推出的结论即题目要探究的条件.9.如图,点A,B,C在同一直线上,点E在BD上,且△ABD≌△EBC,AB=2cm,BC=3cm.(1)求DE的长;(2)判断AC与BD的位置关系,并说明理由;(3)判断直线AD与直线CE的位置关系,并说明理由.答案9.【解析】

(1)∵△ABD≌△EBC,∴BD=BC=3cm,BE=AB=2cm,∴DE=BD-BE=1cm.(2)AC与BD垂直.理由如下:∵△ABD≌△EBC,∴∠ABD=∠EBC,又∵点A,B,C在同一条直线上,∴∠EBC=90°,∴AC与BD垂直.(3)直线AD与直线CE垂直.理由如下:如图,延长CE交AD于点F.∵△ABD≌△EBC,∴∠D=∠C.在△ABD中,∠A+∠D=90°,∴∠A+∠C=90°,∴∠AFC=90°,即CE⊥AD.13.3全等三角形的判定课时1利用“边边边”判定两个三角形全等1.如图,下列三角形中,与△ABC全等的是(

)

A.① B.② C.③ D.④知识点1判定两个三角形全等的基本事实一“边边边(SSS)”答案1.C

【解析】

根据三边分别相等的两个三角形全等,可知与△ABC全等的是③.故选C.2.[2021吉林长春南关区期中]如图,在△ABC中,AB=AC,BE=EC,AE的延长线交BC于点D,直接使用“SSS”可判定(

)

A.△ABD≌△ACDB.△ABE≌△EDCC.△ABE≌△ACED.△BED≌△CED答案2.C

【解析】

因为AB=AC,BE=CE,AE=AE,所以△ABE≌△ACE(SSS).故选C.知识点1判定两个三角形全等的基本事实一“边边边(SSS)”3.如图,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等,给出下面4个条件:

①AE=FB;②AB=FE;③AE=BE;④BF=BE.其中可利用的是(

)A.①或② B.②或③ C.①或③ D.①或④答案3.A

【解析】

由题意可得,要用“SSS”进行△ABC和△FED全等的判定,需要AB=FE.若添加①AE=FB,则可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,故①可以;若添加②AB=FE,则可直接证明两三角形全等,故②可以;若添加③AE=BE,或④BF=BE,均不能得出AB=FE,故③④不可以.故选A.知识点1判定两个三角形全等的基本事实一“边边边(SSS)”4.如图,AB=AD,CB=CD,∠B=30°,∠BAD=46°,则∠ACD的度数是(

)A.120° B.125° C.127° D.104°答案

知识点1判定两个三角形全等的基本事实一“边边边(SSS)”5.如图,在四边形ABCD中,E是BC的中点,连接AC,AE.若AB=AC,AE=CD,AD=EC,则图中的全等三角形有(

)A.0对 B.1对 C.2对 D.3对答案

知识点1判定两个三角形全等的基本事实一“边边边(SSS)”6.如图,已知AD,BC相交于点O,AB=CD,AD=CB.试问∠A等于∠C吗?为什么?答案

知识点1判定两个三角形全等的基本事实一“边边边(SSS)”7.如图,AD=BC,AB=DC.求证:∠BAD+∠ADC=180°.答案

知识点1判定两个三角形全等的基本事实一“边边边(SSS)”8.下列图形中,具有稳定性的有(

)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个知识点2三角形的稳定性答案8.C

【解析】

观察题图可知,(1)(4)(6)都是由三角形构成,因此具有稳定性,而(2)(3)(5)都含有四边形,四边形不具有稳定性,所以具有稳定性的图形共有3个.故选C.9.[2021湖南长沙开福区月考]人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做的道理是(

)

A.两点之间,线段最短B.垂线段最短C.三角形具有稳定性D.两直线平行,内错角相等知识点2三角形的稳定性答案9.C

【解析】

人字梯中间设计“拉杆”是为了形成三角形,利用三角形具有稳定性来增加其稳定性.故选C.10.[2021山西吕梁期中]如图,建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料,而塔吊的上部是三角形结构,其中的数学原理是

.

知识点2三角形的稳定性答案10.三角形具有稳定性

1.[2020安徽六安裕安区期末]如图,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是四条边上的中点,为了使它稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条不应钉在(

)A.A,C两点之间 B.E,G两点之间C.B,F两点之间 D.G,H两点之间答案1.B

【解析】

根据三角形具有稳定性,知这根木条不应钉在E,G两点之间(没有构成三角形).故选B.2.[2021河北邯郸期末]如图,OA=OB,OC=OD,AD=BC,则图中全等三角形有(

)A.1对 B.2对 C.3对 D.4对答案

3.如图,B,C,E三点在同一直线上,且AB=AD,AC=AE,BC=DE,若∠1+∠2+∠3=94°,则∠3的度数为(

)A.49° B.47° C.45° D.43°答案

4.[2021重庆江津区期中]如图,在△ACD和△BCE中,AC=BC,AD=BE,CD=CE,∠ACE=55°,∠BCD=155°,AD与BE相交于点P,则∠BPD的度数为(

)

A.110° B.125° C.130° D.155°答案

5.[2021甘肃庆阳期中]如图,点C,E分别在△ABD的边BD,AB上,且AE=AD,CE=CD,∠D=70°,∠ECD=150°,求∠B的度数.答案

答案

7.如图,已知△ABE和△ACD,C为BE上一点,AB=AC,BE=CD,O为AE与CD的交点.(1)请补充条件,并用“SSS”证明△ABE≌△ACD;(2)在(1)的条件下,若∠BAC=40°,求∠DAE的度数;(3)在(1)的条件下,求证:∠DCE=∠BAC.答案

13.3全等三角形的判定课时2利用“边角边”判定两个三角形全等1.如图中的三角形全等的是(

)

A.③④ B.②③ C.①② D.①④知识点

判定两个三角形全等的基本事实二“边角边(SAS)”答案1.C

【解析】

根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等,可知①②两个三角形全等.故选C.2.[2020江苏南通崇川区期末]如图,已知方格纸中是4个完全相同的正方形,则∠1与∠2的和为(

)A.45° B.60° C.90° D.100°答案

知识点

判定两个三角形全等的基本事实二“边角边(SAS)”3.嘉淇用某种材料制成的金属框架如图所示,已知∠B=∠E,AB=DE,BF=EC,其中△ABC的周长为24cm,CF=3cm,则制成整个金属框架所需这种材料的长度为(

)A.51cm B.48cm C.45cm D.54cm答案

知识点

判定两个三角形全等的基本事实二“边角边(SAS)”4.如图,AD是△ABC的中线,E,F分别是AD和AD延长线上的点,且DE=DF,连接BF,CE.给出下列说法:①CE=BF;②△ABD和△ACD的面积相等;③BF∥CE;④△BDF≌△CDE.其中正确的有(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案4.D

【解析】

∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,又∵∠BDF=∠CDE,DF=DE,∴△BDF≌△CDE,故④正确;由△BDF≌△CDE,可知CE=BF,故①正确;∵AD是△ABC的中线,∴△ABD和△ACD等底同高,∴△ABD和△ACD的面积相等,故②正确;由△BDF≌△CDE,可知∠FBD=∠ECD,∴BF∥CE,故③正确.故选D.知识点

判定两个三角形全等的基本事实二“边角边(SAS)”5.[2019江苏南通中考]如图,有一池塘,要测池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D,使CD=CA.连接BC并延长到点E,使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A,B的距离.为什么?答案

知识点

判定两个三角形全等的基本事实二“边角边(SAS)”6.易错题如图,已知AB⊥BC,DC⊥BC,垂足分别是B,C,DE交AC于点M,BC=CD,AB=EC,DE与AC有什么关系?请说明理由.答案

知识点

判定两个三角形全等的基本事实二“边角边(SAS)”7.[2021河北石家庄石门实验学校月考]如图,点C是线段AB的中点,CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,CD=CE.(1)求证:△ACD≌△BCE.(2)若∠D=47°,求∠B的度数.知识点

判定两个三角形全等的基本事实二“边角边(SAS)”答案

知识点

判定两个三角形全等的基本事实二“边角边(SAS)”1.[2021山西吕梁期中]如图,已知AD=AE,BE=CD,∠1=∠2=100°,∠BAE=60°,则∠CAE的度数为(

)A.20° B.30° C.40° D.50°答案1.C

【解析】

∵∠1=∠2=100°,∴∠ADE=∠AED=80°,∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=20°.∵AE=AD,∠AEB=∠ADC,BE=CD,∴△AEB≌△ADC(SAS),∴∠BAE=∠CAD=60°,∴∠CAE=∠CAD-∠DAE=40°.故选C.2.[2021福建龙岩期中]如图,OA=OC,OB=OD且OA⊥OB,OC⊥OD.给出下列结论:①△AOD≌△COB;②CD=AB;③∠CDA=∠ABC.其中正确的结论是(

)A.①② B.①②③ C.①③ D.②③答案

3.如图,在△ABC中,AB=6,BC=5,AC=4,AD平分∠BAC交BC于点D,在AB上截取AE=AC,则△BDE的周长为(

)A.8 B.7 C.6 D.5答案

4.如图,在四边形ACBD中,AB,CD交于O点,且互相平分,则图中全等三角形有(

)A.2对 B.3对 C.4对 D.5对答案4.C

【解析】

∵OA=OB,OC=OD,∠AOC=∠BOD,∴△AOC≌△BOD(SAS),∴AC=BD.同理可证△AOD≌△BOC(SAS),∴BC=AD.∵AC=BD,AD=BC,CD=DC,∴△ADC≌△BCD(SSS).同理可证△ABD≌△BAC(SSS).故图中全等三角形有△AOC≌△BOD,△AOD≌△BOC,△ABD≌△BAC,△ADC≌△BCD,共4对.故选C.5.如图,已知在△ABC中,BD,CE分别是AC,AB边上的高,BQ=AC,点F在CE的延长线上,CF=AB.求证:AF⊥AQ.答案

6.如图,在△ABC中,AB>AC,P是∠BAC的平分线AD上任一点.求证:AB-AC>PB-PC.答案

答案

7.易错题如图1,在长方形ABCD中,AB=CD=6cm,BC=10cm,点P从点B出发,以2cm/s的速度沿BC向点C运动,设点P的运动时间为t(0≤t≤5)s.(1)PC=

cm.(用含t的代数式表示)

(2)当t为何值时,△ABP≌△DCP?(3)如图2,点P从点B开始运动,同时,点Q从点C出发,以vcm/s的速度沿CD向点D运动,是否存在这样的v值,使得△ABP与△PQC全等?若存在,请求出v的值;若不存在,请说明理由.答案

答案

13.3全等三角形的判定课时3利用“角边角”和“角角边”判定两个三角形全等1.[2021河北衡水期中]下列选项中能判定△ABC≌△DEF的是(

)A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠DB.AB=DE,BC=EF,∠C=∠EC.∠A=∠D,∠C=∠F,∠B=∠ED.∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E知识点1

判定两个三角形全等的基本事实三“角边角(ASA)”答案

2.[2020河北承德期中]如图,聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分,他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形,那么聪聪画图的依据是

.

答案2.ASA

知识点1

判定两个三角形全等的基本事实三“角边角(ASA)”3.如图,在△ABC中,∠C=90°,CB=4,延长CB至点D,使BD=AC,作∠BDE=90°,∠DBE=∠A,BE与DE相交于点E,则DE的长为

.

答案

知识点1

判定两个三角形全等的基本事实三“角边角(ASA)”4.[2021河北张家口宣化区期中]如图,AB∥CD,∠B=∠D,O是CD的中点,连接AO并延长,交BC的延长线于点E.(1)试判断AD与BE有怎样的位置关系,并说明理由.(2)试说明△AOD≌△EOC.答案

知识点1

判定两个三角形全等的基本事实三“角边角(ASA)”5.[2020河北石家庄月考]如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是(

)A.甲和乙 B.乙和丙C.只有乙 D.只有丙知识点2全等三角形的判定定理“角角边(AAS)”答案5.B

【解析】

图乙与△ABC符合“SAS”,即图乙和△ABC全等;图丙与△ABC符合“AAS”,即图丙和△ABC全等.故选B.6.如图,小明站在点C处看甲、乙两楼楼顶上的点A和点E,恰好C,E,A三点在同一条直线上,若B,C相距20米,D,C相距40米,乙楼高BE为15米,小明身高忽略不计,EF∥BC,EF⊥AD,则甲楼高AD为(

)A.20米 B.30米 C.40米 D.45米答案6.B

【解析】

根据题意,得AD∥BE,所以∠DAE=∠BEC.因为EF∥BC,所以∠AEF=∠ECB.易知EF=DB=DC-BC=20米,所以EF=BC,所以△AEF≌△ECB(AAS),所以FA=BE=15米.易知FD=BE=15米,所以AD=FA+FD=30米.故选B.知识点2全等三角形的判定定理“角角边(AAS)”7.如图,已知∠ABC=∠EBD,AB=EB,使△ABC≌△EBD,若以“ASA”为依据,则要添加的一个条件为

;若以“AAS”为依据,则要添加的一个条件为

.

答案7.∠A=∠E

∠C=∠D

【解析】

因为∠ABC=∠EBD,AB=EB,所以当∠A=∠E时,△ABC≌△EBD(ASA);当∠C=∠D时,△ABC≌△EBD(AAS).知识点2全等三角形的判定定理“角角边(AAS)”8.原创题如图,在△BCE中,EB=EC,过点B作BA⊥CE交CE的延长线于点A,过点C作CD⊥BE交BE的延长线于点D.求证:BA=CD.答案8.【解析】

∵BA⊥CE,CD⊥BE,∴∠A=∠D=90°.又∵EB=EC,∠AEB=∠DEC,∴△ABE≌△DCE.∴BA=CD.知识点2全等三角形的判定定理“角角边(AAS)”9.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是AB边上的一点,DM⊥AB,且DM=AC,过点M作ME∥BC交AB于点E.(1)求证:△ABC≌△MED.(2)若∠M=30°,求∠B的度数.知识点2全等三角形的判定定理“角角边(AAS)”答案

知识点2全等三角形的判定定理“角角边(AAS)”1.如图,已知∠1=∠2,AC=AD,添加下列条件之一:①AB=AE;②BC=ED;③∠C=∠D;④∠B=∠E.其中能使△ABC≌△AED成立的有(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案1.C

【解析】

∵∠1=∠2,∴∠CAB=∠DAE,又∵AC=AD,∴当AB=AE时,可根据“SAS”判定△ABC≌△AED;当BC=ED时,由已知条件不能判定△ABC≌△AED;当∠C=∠D时,可根据“ASA”判定△ABC≌△AED;当∠B=∠E时,可根据“AAS”判定△ABC≌△AED.故选C.2.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B,下列结论不成立的是(

)A.PA=PB B.PO平分∠APBC.OA=OB D.OA=OP答案2.D

【解析】

因为PA⊥OA,PB⊥OB,所以∠OAP=∠OBP=90°.因为OP平分∠AOB,所以∠AOP=∠BOP,又因为OP=OP,所以△AOP≌△BOP(AAS),所以PA=PB,OA=OB,∠APO=∠BPO,即PO平分∠APB,所以A,B,C项均成立,D项不成立.故选D.3.[2020江苏无锡锡山区期中]如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,以B为圆心,BC长为半径画弧,与AD相交于点E,连接BE,过点C作CF⊥BE,垂足为F.若AE=8,BC=10,则EF的长为

.

答案

4.[2021江苏镇江期中]如图,在△ABC中,CP平分∠ACB,AP⊥CP于点P,已知△ABC的面积为2cm2,则阴影部分的面积为

cm2.

答案

5.[2020辽宁大连沙河口区期末]如图,点B,C,D在同一条直线上,点A和点E在BD的同侧,且AB=CD,∠ACE=∠B=∠D.若BC=2,AB=3,求BD的长.答案

6.如图,已知点E在△ABC的边AC上,且∠AEB=∠ABC.(1)求证:∠ABE=∠C.(2)若∠BAE的平分线AF交BE于点F,FD∥BC交AC于点D,设AB=5,AC=8,求DC的长.答案

7.问题情境:如图1,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,可知∠BAD=∠C(不需要证明).特例探究:如图2,∠MAN=90°,射线AD在∠MAN的内部,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,且AB=AC,BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F.证明:△ABE≌△CAF.归纳证明:如图3,点B,C在∠MAN的边AM,AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF.拓展应用:如图4,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,则△ACF与△BDE的面积之和为

.

答案

答案

13.3全等三角形的判定课时4具有特殊位置关系的全等三角形1.如图,B,E,C,F四点在一条直线上,EB=CF,∠A=∠D,再添一个条件不能得到△ABC≌△DEF的是(

)A.AB=DE B.DF∥ACC.∠DEF=∠B D.AB∥DE答案1.A

【解析】

选项A,“SSA”无法判定△ABC≌△DEF.故选A.2.如图,点A在DE上,点F在AB上,且AC=CE,∠1=∠2=∠3,则DE的长等于(

)A.AC B.BC C.CD D.AB答案2.D

【解析】

∵∠AFD=∠BFC,∠2=∠3,∴∠D=∠B.∵∠1=∠3,∴∠ECD=∠ACB.在△ACB和△ECD中,∠ACB=∠ECD,∠B=∠D,AC=EC,∴△ACB≌△ECD,∴DE=AB.故选D.3.如图,△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC上的点,已知DF∥BC,EF∥AB,增加下列条件之一:①F为AC的中点;②DF=EC;③AD=FE;④∠A=∠EFC.能使△ADF≌△FEC的有(

)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案3.C

【解析】

若添加F为AC的中点,即AF=FC,由已知DF∥BC,EF∥AB,得出∠ADF=∠ABC=∠FEC,∠AFD=∠C,可以根据“AAS”得出△ADF≌△FEC.添加DF=EC,可以利用“ASA”来判定△ADF≌△FEC.添加AD=FE,可以利用“AAS”来判定△ADF≌△FEC.添加条件∠A=∠EFC,不能判定△ADF≌△FEC.故选C.4.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC=∠D=∠BAD=90°,四边形ABCD的面积是16,将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点,两条直角边分别与CD交于点F,与CB的延长线交于点E.则四边形AECF的面积是(

)

A.13 B.14 C.15 D.16答案4.D

【解析】

∵∠ABC=∠D=90°,∴∠ABE=∠D=90°.∵∠BAD=90°,∠EAF=90°,即∠DAF+∠BAF=90°,∠BAE+∠BAF=90°,∴∠DAF=∠BAE.在△AEB与△AFD中,∠ABE=∠D=90°,AB=AD,∠BAE=∠DAF,∴△AEB≌△AFD,∴S△AEB=S△AFD,∴S四边形AECF=S△AEB+S四边形ABCF=S△AFD+S四边形ABCF=S四边形ABCD,可得四边形AECF的面积为16.故选D.5.[2020山东临沂河东区期中]如图,已知∠BAC=∠DAM,AB=AN,AD=AM,∠ANM=60°,则∠B=

.

答案

6.[2020河北邯郸期中]如图,点A,D,C,F在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.(1)求证:△ABC≌△DEF.(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度数.答案

7.[2021河北衡水实验学校期末]如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,AD与CE交于点F,且AD=CD.(1)求证:△ABD≌△CFD.(2)已知BC=7,AD=5,求AF的长.答案

8.如图,△ABC和△DBE都是等腰三角形,BA=BC,BD=BE,且∠ABC=∠DBE.(1)求证:AD=CE.(2)若∠ABC=90°,请你判断AD所在直线与CE的位置关系,并说明理由.答案

答案∵∠CFH=∠AFB,∴∠BCE+∠CFH=90°,∴∠FHC=90°,∴AH⊥CE,即AD所在直线与CE垂直.专项1全等三角形的六大常考模型1.已知:如图,点C为AB的中点,CD=BE,AD=CE.求证:△ACD≌△CBE.答案

类型1平移模型2.如图,点B,C,E,F在同一直线上,BC=EF,AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,AC=DF.求证:(1)△ABC≌△DEF;(2)AB∥DE.答案

类型1平移模型3.[2020甘肃张掖期末]如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE.求证:AE=DE.答案

类型2对称(翻折)模型4.[2021河北邯郸永年区期中]如图,在四边形ACBD中,点P在对角线AB上,连接PC,PD.已知∠1=∠2,∠3=∠4.求证:(1)△BDP≌△BCP;(2)AD=AC.答案

类型2对称(翻折)模型答案

类型2对称(翻折)模型5.[2019山东临沂中考]如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB.若AB=4,CF=3,则BD的长是(

)

A.0.5 B.1 C.1.5 D.2答案

类型3自旋转模型6.[2019湖南益阳中考]如图,已知AB=AE,AB∥DE,∠ECB=70°,∠D=110°,求证:△ABC≌△EAD.答案

类型3自旋转模型7.已知,如图,点A,D,C,B在同一条直线上,AD=BC,AE=BF,CE=DF.求证:AE∥FB.答案

类型3自旋转模型8.如图,∠BAE=∠CAF=90°,EC,BF相交于点M,AE=AB,AC=AF.(1)求证:EC=BF.(2)求证:EC⊥BF.(3)若∠BAE=∠CAF=m°(m≠90),则(1)(2)中的结论还成立吗?请说明理由.类型4手拉手模型答案

类型4手拉手模型答案

类型4手拉手模型9.[2021河北邯郸永年区期中](1)如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°.求证:EF=BE+FD.(2)如图2,四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E,F分别在边BC,CD上,当∠EAF与∠BAD满足什么关系时,仍有EF=BE+FD?说明理由.类型5半角模型答案

类型5半角模型答案

类型5半角模型答案

类型5半角模型10.[2021河北承德期中]在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE.(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,直接写出DE,AD,BE之间的数量关系:

.

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE,AD,BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明.类型6一线三等角模型答案

类型6一线三等角模型答案

类型6一线三等角模型专项2全等三角形的构造方法1.如图,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点.求证:DE=2AM.答案

类型1“倍长中线法”构造全等三角形答案

类型1“倍长中线法”构造全等三角形2.[2021河北邢台期中]某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动,请你来加入.【探究与发现】(1)如图1,AD是△ABC的中线,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE.证明:△ACD≌△EBD.【理解与应用】

(2)如图2,EP是△DEF的中线,若EF=5,DE=3,设EP=x,则x的取值范围是

.

(3)如图3,AD是△ABC的中线,E,F分别在AB,AC上,且DE⊥DF.求证:BE+CF>EF.类型1“倍长中线法”构造全等三角形答案

类型1“倍长中线法”构造全等三角形答案

类型1“倍长中线法”构造全等三角形3.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,试判断AB,AC,CD三者之间的数量关系,并说明理由.答案3.【解析】

AB=AC+CD.理由如下:如图,延长AC到点F,使CF=CD,连接DF.

因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠FAD.由CF=CD,易得∠CDF=∠F.因为∠ACB+∠BCF=180°,∠CDF+∠F+∠BCF=180°,所以∠ACB=∠CDF+∠F,所以∠ACB=2∠F,类型2“截长补短法”构造全等三角形答案

类型2“截长补短法”构造全等三角形4.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD,CE交于点O.试判断BE,CD,BC之间的数量关系,并说明理由.答案

类型2“截长补短法”构造全等三角形答案

类型2“截长补短法”构造全等三角形易错疑难集训1.在△ABC和△A'B'C'中,已知∠A=∠A',AB=A'B',在下列说法中,错误的是(

)A.如果增加条件AC=A'C',那么△ABC≌△A'B'C'(SAS)B.如果增加条件BC=B'C',那么△ABC≌△A'B'C'(SAS)C.如果增加条件∠B=∠B',那么△ABC≌△A'B'C'(ASA)D.如果增加条件∠C=∠C',那么△ABC≌△A'B'C'(AAS)易错点1误用全等三角形的判定方法答案1.B

【解析】

B中,增加条件BC=B'C',因为边BC与B'C'不是∠A与∠A'的邻边,所以不能推出两个三角形全等,说法错误.故选B.

本题出现错误的原因是混淆了“两边的夹角”与“其中一边的对角”的区别,因而误认为只要有两边与一角对应相等的两个三角形一定全等.如图所示,在△ABC和△DEF中,AC=DF,∠A=∠D,BC=EF,但△ABC和△DEF显然不全等,其原因就是相等的两角是其中一组对边BC,EF的对角而不是两组等边的夹角.易错分析易错点1误用全等三角形的判定方法2.已知△ABC和△DEF全等,AB与DE是对应边,AB=2,BC=4.若△DEF的周长为奇数,则DF=(

)A.3 B.4C.3或5 D.3,4或5易错点2三角形全等问题中的分类讨论答案2.D

【解析】

因为△ABC和△DEF全等,所以△ABC和△DEF的周长相等,所以△ABC的周长为奇数,又因为AB=2,BC=4,所以AC的长为奇数.根据三角形的三边关系,得4-2<AC<4+2,即2<AC<6,所以AC=3或5.因为AB与DE是对应边,所以DF的对应边是AC或BC,当DF的对应边是AC时,DF=3或5;当DF的对应边是BC时,DF=4.综上,DF=3,4或5.故选D.

本题的易错之处是没有进行分类讨论,虽然AB与DE是对应边,但另外两边的对应关系不明确,因此需要分类讨论求解.“全等“与“≌”意义不一样,“≌”表示对应关系已经确定,而“全等”中的对应关系不确定,因此,当题中出现“全等”时,应通过分类讨论进行解答,否则容易漏解.易错分析3.已知,在△ABC中,∠B=∠C,AB=12cm,BC=10cm,点D是AB的中点,点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动,同时点Q在线段CA上以相同的速度由点C向点A运动,当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动.当△BPD和△CQP全等时,求点P运动的时间.易错点2三角形全等问题中的分类讨论易错点2三角形全等问题中的分类讨论答案

1.如图,点E在线段BD上,已知AB=AC,AD=AE,BE=CD.(1)求证:∠BAC=∠EAD.(2)写出∠1,∠2,∠3之间的数量关系,并加以证明.疑难点1全等三角形的判定和性质的综合运用疑难点1全等三角形的判定和性质的综合运用答案

2.[2021吉林长春南关区期末]如图,是小朋友荡秋千的侧面示意图,静止时秋千位于铅垂线BD上,转轴B到地面的距离BD=3m.小亮在荡秋千的过程中,当秋千摆动到最高点A时,测得点A到BD的距离AC=2m,点A到地面的距离AE=1.8m.当他从A处摆动到A'处时,有A'B⊥AB.(1)求点A'到BD的距离;(2)求点A'到地面的距离.疑难点2构造全等三角形解决实际问题疑难点2构造全等三角形解决实际问题答案

疑难点2构造全等三角形解决实际问题答案(2)由(1)知△ACB≌△BFA',∴BF=AC=2m.如图,过点A'作A'H⊥DE,垂足为H.∵A'F∥DE,∴A'H=FD,∴A'H=BD-BF=3-2=1(m),即点A'到地面的距离是1m.13.4三角形的尺规作图1.[2021河北张家口期中]回顾尺规作图法作一个角等于已知角的过程(如图)不难发现,其实质是我们首先作一个三角形与另一个三角形全等,再根据全等三角形的对应角相等完成的.那么这两个三角形全等的理论依据是(

)

A.SSS B.SAS

C.ASA

D.AAS知识点

用尺规作三角形答案

2.[2021河北邢台期末]如图是作△ABC的作图痕迹,则此作图的已知条件是(

)A.已知两边及夹角B.已知三边

C.已知两角及夹边D.已知两边及一边对角知识点

用尺规作三角形答案2.C3.根据下列已知条件,能画出唯一的△ABC的是(

)A.AB=3,BC=4,AC=8B.∠A=100°,∠B=45°,AB=5C.AB=3,BC=5,∠A=75°D.∠C=90°,∠A=30°,∠B=60°知识点

用尺规作三角形答案3.B

【解析】

A中,∵3+4<8,∴不能画出三角形,故选项A不符合题意;B中,根据∠A=100°,∠B=45°,AB=5,符合判定三角形全等的基本事实“ASA”,故能画出唯一的三角形,故选项B符合题意;C中,AB=3,BC=5,∠A=75°,属于“SSA”,因此不能判定三角形全等,故不能画出唯一的三角形,故选项C不符合题意;D中,∠C=90°,∠A=30°,∠B=60°,“AAA”不能判定三角形全等,故不能画出唯一的三角形,故选项D不符合题意.故选B.4.[2020广东佛山南海区期末]尺规作图:如图,已知△ABC,请根据基本事实“SAS”作出△DEF,使△DEF≌△ABC.(只保留作图痕迹,不要求写出作法)知识点

用尺规作三角形答案4.【解析】

如图,△DEF即所求.5.如图,△ABC被墨迹污染了,请你重新作一个△A1B1C1,使△A1B1C1≌△ABC.(要求:用尺规作图,不写作法,但要保留作图痕迹)知识点

用尺规作三角形答案5.【解析】

如图,△A1B1C1即所求.6.如图,已知线段c和∠α.求作:等腰三角形ABC,使其底角∠B=∠α,腰长AB=c.知识点

用尺规作三角形答案6.【解析】

作法:(1)作射线BP,再作∠PBQ=∠α;(2)在射线BQ上截取BA=c;(3)以点A为圆心,线段c为半径作弧交BP于点C;(4)连接AC,则所求作的等腰三角形ABC如图所示.

对于作图题,要知道作图的工具、依据是什么,不能盲目作图,关键是分清相关三角形中的边与角的关系.名师点睛7.已知∠α和线段a,如图,用直尺(没有刻度)和圆规作△ABC,使∠A=∠α,AB=a,AC=2a.(不必写作法,但要保留作图痕迹)知识点

用尺规作三角形答案7.【解析】

如图,△ABC即所求.学科素养拓训

本章知识主要围绕数