微分方程模型课件(同名971)

微分方程模型皖西学院数学学院在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。求解微分方程有三种方法：1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。动态模型

描述对象特征随时间(空间)的演变过程

分析对象特征的变化规律

预报对象特征的未来性态

研究控制对象特征的手段根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律或用类比法建立微分方程建立微分方程模型的方法（1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。微分方程的建模步骤1、翻译或转化：在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率”、‘增长”(在生物学以及人口问题研究中)，“衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经济学中)等．

2、建立瞬时表达式：根据自变量有微小改变△t时，因变量的增量△W，建立起在时段△t上的增量表达式，令△t→0，即得到的表达式．二、微分方程模型3、配备物理单位：在建模中应注意每一项采用同样的物理单位．

4、确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。案例1：假设女士每天摄入2500cal食物，1200cal用于基本新陈代谢(即自动消耗)，并以每千克体重消耗16cal用于日常锻炼，其他的热量转变为身体的脂肪（设10000cal可转换成1kg脂肪）。星期天晚上，该女士的体重是57.1526kg，星期四那天她饱餐了一顿，共摄入了3500cal的食物，要求建立一个通过时间预测体重函数W(t)的数学模型，并用它估计：（1）星期六晚上该女士的体重？（2）为了不增重，每天她最多的摄入量是多少？（3）若不进食，N周后她的体重是多少？二、微分方程案例分析解1、翻译或转化：2、配备物理单位：3、建立表达式：4、确定条件：1、“每天”：体重的变化＝输入一输出其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量吸收；输出是进行健身训练时的消耗．2、上述陈述更好的表示结构式：取天为计时单位，记W(t)为t天时体重(kg)，则：每天的净吸收量＝2500–1200＝1300（cal)

每天的净输出量＝16(cal)×W＝16W(cal)

转换成脂肪量＝1300–16W（cal）3、体重的变化／天＝(千克／天)建立表达式积分后可求得其通解为：（1）当时，每天体重的变化：初始条件为：,代入解出则积分后可求得其通解为：（2）当时，每天体重的变化：初始条件为：，代入解出则积分后可求得其通解为：（2）当时，食物的摄入量恢复正常初始条件为：，代入解出则最后得到不同阶段的微分方程是：（1）代入对应方程，求得现回答上述问题（2）要满足体重不增，即所以因此每天总卡路里摄取量是1200+914＝2114cal(cal)（3）由于每天不摄取能量，所以解得因此，n周后的体重为一截面积为常数A，高为H的水池内盛满了水，由池底一横截面积为B的小孔放水。设水从小孔流出的速度为，求在任一时刻的水面高度和将水放空所需的时间。案例2流入--流出问题BA第一步列方程等量关系：水面1水面2设时刻的水面高度为时的水面高度为时间由水面1降到水面2所失去的水量等于从小孔流出的水量。是水在时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离初始条件可分离变量的方程。第二步解方程水面高度与时间的函数关系水流空所需时间为（令h=0）

如图所示一个容量为2000m3的小湖的示意图，通过小河A水以0.1m3/s的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。在上午11:05时，因交通事故一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，从图中A点处注入湖中。在采取紧急措施后，于11:35事故得到控制，但数量不详案例3湖泊污染问题的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在5~20m3之间。建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化并估计：（1）湖水何时到达污染高峰；（2）何时污染程度可降至安全水平(<0.05%)图3小湖示意图湖泊污染问题分析

设湖水在t时的污染程度为C=C(t)，即每立方米受污染的水中含有Cm3的化学物质和(1-C)m3的清洁水。用分钟作为时间t的单位。在0<t<30的时间内，污染物流入湖中小湖示意图的速率是Z/30(m3/min)，而排出湖外的污染物的速率是60×0.1C(m3/min)，因为每立方流走的水中含有Cm3的污染物，而湖水始终保持2000m3的容积不变，所以可列方程：由初始条件：，可得微分方程的特解为显然，t=30时，污染达到高峰，所以因污染源被截断，故微分方程变为它的解为：湖水中含污染物的瞬时变化率=污染物流入量－污染物排出量当达到安全水平，即C(t)=0.0005时，可求出此时的t即解得Z取不同值时的浓度C(30)和时间T51015200.002390.004780.007170.009565527389181014案例4在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带到实验室，作碳14年代测定。分析表明C14与C12的比例仅仅是活组织内的6.24％，此人生活在多少年前？（碳14年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性同位素C14。这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引起的，经过一系列交换过程进入活组织中，直到在生物体中达到平衡浓度。这意味着在活体中，C14的数量与稳定的C12的数量成定比。生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以每年八千分之一的速度减少）（1）问题分析与模型的建立1、放射性衰变的这种性质还可描述为“放射性物质在任意时刻的衰变速度都与该物质现存的数量成比例”。而C14的比例数为每年八千分之一。2、碳14年代测定可计算出生物体的死亡时间；所以，我们问题实际上就是：“这人死去多久了？”若设t为死后年数，y(t)为比例数，则y(t)=C14/C12(mgC14/mgC12)，则上文中最后一句话就给出了我们的微分方程，单位为mgC14/mgC12/yr(与关键词“速率”相当)（2）解微分方程的通解为：由初始条件，故有由问题，当，代入原方程确定连接两定点

A，B

的曲线，使质点在这曲线上用最短的时间由

A

滑至B

点（忽略摩擦力和阻力）。

五

最速降线问题1.模型分析：也许有人认为速降线应是连接A和B的直线段，其实不然。牛顿做过实验：在铅锤平面内，取同样的两个球，其中一个沿圆弧从A滑到B，另一个沿直线从A滑到B，结果发现沿圆弧的球先到B。伽利略也研究过该问题，他认为速降线是圆弧线。AoxyB2.模型建立：如上图取坐标系，并设想质点（象光线那样）能选择它从A滑到B的路径，使所需时间尽可能短，按照光学原理（史奈尔折射定律）得出（常数）据能量守恒原理，质点在一高度处的速度，完全由其到达该高度处所损失的势能确定，而与所经路线无关，设质点质量为，重力加速度为，质点从A下滑至点时速度为则或从这里的几何关系得AoxyBp这些方程分别来自光学、力学、微积分，结合起来，得到这就是速降线的数学模型。3.模型求解：我们要求解上面微分方程，将上式变形为AoxyBp令从而，故积分后得到这曲线过原点，故由上面第一式得，时，于是，。这样而若令，则联立上两式得这是摆线的标准参数方程，这种曲线是半径为的圆周上一点沿轴滚动产生的。见图。oyx需指出，使上图中摆线第一拱通过B点的值只有一个，因若让从0增到，这一拱弧就逐渐膨大，扫过整个第一象限，因而若适当选取，就能使它通过B。5.模型评价：这是伯努利对速降线问题的解法，非常奇妙，表现出惊人的想象能力。速降线问题除内在的价值外，还有巨大的意义。它是变分法的历史根源，变分法是近代分析的极有用的分支，它深刻揭示出物理世界核心里隐藏的简单性。4.结论：又由弧长微分得从而整个下降时间是的积分，故需取极小值的积分是这是泛函的极值问题，令6.模型的进一步思考：用变分法同样可以得到速降线的数学模型。以表示曲线从A点算起到的弧长，有即这可化简为这和伯努利解法的结果相同。由变分法理论知，上面极小值的积分方程的解所满足的欧拉方程为：以前，美国原子能委员会把浓缩的放射性废料装入密封的圆桶里，然后仍到水深为300英尺的海里。1问题（这是一场笔墨官司）:生态学家和科学家提出：圆桶是否会在运输过程中破裂而造成放射性污染？美国原子能委员会：不会破裂（用实验证明）。又有几位工程师提出：圆桶扔到海洋中时是否会因与海底碰撞而破裂？美国原子能委员会：决不会。六放射性核废料处理问题圆桶与海底的碰撞时的速度会不会超过40英尺/秒？若圆桶与海底碰撞时的速度超过40英尺/秒时，就会因碰撞而破裂。这几位工程师通过大量的实验证明:通过建立数学模型来解决这一问题。一些参数及假设：假设圆筒下沉时，所受海水的阻力与其速度成正比，即受力分析：xyGfo2建模与求解根据牛顿第二定理可解得：极限速度为：将速度v看成位置y的函数v(y)，由于代入：其解为：仍未解出v是y的显函数。由近似公式3结论：若圆桶与海底的碰撞速度超过40英尺/秒，会因碰撞而破裂。这一模型科学的论证了美国原子能委员会过去处理核废料的方法是错误的。现在美国原子能委员会条例明确禁止把低浓度的放射性废物抛到海里，改为在废弃的煤矿中修建放置核废料的深井。我国政府决定在甘肃、广西等地修建深井放置核废料，防止放射性污染。4注意：求解过程方程变形，近似计算讨论

1972年发掘长沙市东郊马王堆一号汉墓时，对其棺外主要用以防潮吸水用的木炭分析了它含碳-C14的量约为大气中的0.7757倍，据此，你能推断出此女尸下葬的年代吗？已知碳-C14的半衰期为5730年。

第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。

Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所有的油画都是自己伪造的，为了证实这一切，在狱中开始伪造Vermeer的画《耶稣在学者中间》。当他的工作快完成时，又获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留下罪证。七范.梅格伦（VanMeegren）

伪造名画案为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最先进的科学方法，动用了X-光线透视等，对颜料成份进行分析，终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝的痕迹。这样，伪造罪成立，Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。

但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为，

Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都不能使怀疑者满意。直到20年后，1967年，卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。原理著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：

物质的放射性正比于现存物质的原子数。设时刻的原子数为，则有为物质的衰变常数。初始条件半衰期碳-14铀-238镭-226铅-210能测出或算出，只要知道就可算出这正是问题的难处，下面是间接确定的方法。断代。油画中的放射性物质白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和更少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时，Pb210的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。铀238镭226铅210钋210铅206（放射性）（无放射性）假设（1）镭的半衰期为1600年，我们只对17世纪的油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭至少还有原量的90%以上，所以每克白铅中每分钟镭的衰变数可视为常数，用表示。（2）钋的半衰期为138天容易测定，铅210的半衰期为22年，对要鉴别的300多年的颜料来说，每克白铅中每分钟钋的衰变数与铅210的衰变数可视为相等。建模设时刻每克白铅中含铅210的数量为，为制造时刻每克白铅中含铅210的数量。为铅210的衰变常数。则油画中铅210含量求解均可测出。可算出白铅中铅的衰变率，再于当时的矿物比较，以鉴别真伪。矿石中铀的最大含量可能2~3%，若白铅中铅210每分钟衰变超过3万个原子，则矿石中含铀量超过4%。测定结果与分析画名钋210衰变原子数镭226衰变原子数Emmaus的信徒们8.50.82洗足12.60.26读乐谱的妇人10.30.3弹曼陀林的妇人8.20.17做花边的人1.51.4欢笑的女孩5.26.0若第一幅画是真品，铅210每分钟每克衰变不合理，为赝品。同理可检验第2，3，4幅画亦为赝品，而后两幅画为真品。某大楼人员的安全疏散问题1大楼所容纳的人数全部走出所用的时间？2两大因素：人走出的速度？出口的设置？八人口模型

简单模型Malthus

模型Logistic模型

人口问题问题的提出人口、工业化的资金、粮食、不可再生资源、环境污染是人类在地球上生存所面临的五大问题，而人口问题是这五大问题之首。人口在不断的增长，其增长有无规律可循？目标：预测人口发展趋势；控制人口增长。建模准备

资料报告，公元前世界人口已接近3亿（粗略估计）。近一千年人口统计比较精细。看下图。180010人口（亿）

年1930201960301974401987501999602033100我国人满为患的情况更令人担忧。据资料记载：17602人口（亿）年19004195361974计划生育9.2199011.6200513联合国从1988年起，把7月11日定为世界人口日。198911199512三建立模型1简单模型要预报未来若干年的人口数，两个重要因素：当前的人口数，今后这些年的增长率（出生率-死亡率）一年后，人数增加到k年后，人口数为若想知道任何时刻的人口数，怎么办？对时间连续化！两年后，2Malthus

模型马尔萨斯(Malthus1766--1834)是英国的人口学家。他根据百余年的人口统计资料，于1798年提出著名的

人口指数增长模型。基本假设：人口净相对增长率为常数。净相对增长率是单位时间内的人口的增长量占当时的人口总数的比例。设净相对增长率为，时刻人口总数为。经时间后人口总数为Malthus

模型求解otNN0分析数据表明，在1700—1961年期间，世界人口吻合较好。在此期间，人口约35年增长一倍。按模型计算，取问题：利用此模型能预测未来吗？1）1960年世界人口总数为30亿，按Malthus

模型计算，到2692年人口总数将增至地表面积为平方英尺，其中只有28%的陆地表明给每人1平方英尺（约为9.3平方分米）的站立面积，那么，能容纳总人口必须把人堆放3层以上。2）资源能否提供保证如此多人口的需要？以上两点说明，Malthus

模型只适用于人口相对少时的情形，当人口增多时与实际不吻合。其原因，随着人口的增加，自然资源、环境等因素对人口的继续增长的阻滞作用愈来愈明显。如果当人口较少时（相对资源而言）人口相对增长率可以视为常数，那么当人口增加到一定数量后，增长率就会随人口的继续增加而减少。为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改Malthus

模型中的人口相对增长率为常数的假设。3Logistic模型（阻滞增长模型）假设人口相对增长率随人口的增加而线性减少。r表示人口的自然增长率。令Nm为人口的最大容纳量，那么即阻滞因子Logisitic模型求解oNtNoN0NmNm/2tm人口增长最快点结论：在人口总数达到极限值Nm的一半以前是加速生长期，过了这一点以后，生长率逐渐减小，并且趋于零。

---Logisitic模型调整，可使阻滞因子变大或缩小。更复杂的人口模型

Gompertz模型人口模型的推广放射性元素的衰变规律（检验名画的真伪，考古年代的判断）经济领域（通货膨胀，利率，新产品的销售，广告宣传等）动植物生长规律（96年的全国大学生数学建模竞赛题）浓度的扩散（人体内药物的吸收，传染病的传播与流行等）Malthus

模型和Logistic模型都是确定性模型，只考虑人口总数的连续时间模型。在研究过程中还发展了随机性模型，考虑人口年龄分布的模型等。Usher模型

生物种群模型1简介种群(Population)：是指在特定时间里占据一定空间的同一物种的有机体集合。种群生态学：主要研究种群的时间动态及调节机理。种群分为单种群和多种群。单种群的数学模型：1)马尔萨斯(Malthus)模型表示时刻的种群数量，称为内禀增长率。2)罗杰斯特(Logistic)模型表示该种群的最大容纳量。应用广泛：细菌繁殖，元素的放射性，岩石的剥蚀与沉积，高山的隆升，新产品的推销，流行病的传播，谣言的传播等问题。

2两种群的一般模型

两种群生活在同一自然环境下，存在下面三种情形，相互竞争、相互依存、弱肉强食。设甲、乙两种群在时刻的数量为，则线性化，得表示甲（乙）种群的自然生长率；表示甲（乙）种群为非密度制约，表示甲（乙）种群为密度制约；表示甲、乙种群相互竞争；4)表示甲、乙种群相互依存；5)表示甲、乙种群为弱肉强食（捕食与被捕食）。3三种群的一般模型三种群相互之间的作用要比两种群更复杂，但建立模型的思想和方法是相同的。在三种群中每两个种群之间的关系仍可归结为：相互竞争、相互依存、弱肉强食。三种群两两关系不同的组合就得到种类繁多的数学模型。这些模型用方程组表示，或用图形表示。记三个种群分别为123并约定1）种群供食于种群表示为12122）种群为密度制约可表示为113）种群不主要靠吃本系统（1，2，3个种群组成的系统）为生，114）种群与种群相互竞争：12125）种群与种群互惠共存：1212）如，设A，B，C三种群为捕食与被捕食关系，则三者关系有三种：两个食饵种群，一个捕食者种群。一个食饵种群，两个捕食者种群。捕食链。CBACBACBA下面对于食饵种群增长是线性密度制约，两种群间的影响都是线性的，建立其相互作用的数学模型（Volterra模型）（1）两个食饵种群A，B，一个捕食者种群C。设A，B，Ct时刻的密度分别为假设：C种群主要以A，B种群为食饵，A，B不存在时，C要逐渐绝灭，C不是密度制约的；A，B种群不靠本系统为生，它们为密度制约且相互竞争。图示如下：CBA（）（2）一个食饵种群A，两个捕食者种群B，C。ACB（）ACB）ACB）））（2）捕食链：A是B的食饵，B是C的食饵。ACB）））ACB）））ACB）））

3竞争系统问题：甲、乙两种群，生活在同一自然环境下，争夺有限的同一种食物。试建立数学模型，预测演变的最后结局。假设甲、乙两种群服从Logistic规律，则其模型为分别表示甲、乙两种群的最大容纳量，表示一个乙（甲）消耗的资源相当于个甲（乙）所消耗的资源。令，若表明竞争非常激烈。4分析讨论（用定性理论方法）1)易求得奇点为2)考察对应的线性系统

的特征值为均大于零，是不稳定的结点；的特征值为，所以，当即，为稳定的结点；当，为鞍点；的特征值为，所以，当为稳定的结点，，为鞍点。o鞍点稳定结点不稳定结点奇点的性态和轨线走向奇点的性态和轨线走向o不稳定结点鞍点稳定结点综合考虑，当时，当时，3)考虑原竞争系统(1)

由一次近似理论的定理，系统(1)与其线性系统在奇点的性态相同。结论：当两种生物在同一生存环境中相互竞争时，且其结果必是一种生物灭绝，而另一种趋于环境容许的最大数量，具体结果则取决于的大小，条件表明：在一个乙的存在对资源的消耗相当于个甲的条件下，资源所能供养的甲的最大数量大于能供养乙的最大数量的倍，即甲对资源的竞争能力超过乙时，甲占优势，最终获胜。

思考题1对于竞争系统讨论的情形。天然草原的生息繁衍，已形成自身特有的生物链，且对人类生存起着重要作用。长期以来，人为破坏（如过度放牧、猎杀动物及采挖草药等）使草原生态每况愈下，日渐衰竭。据2000年8月6日《北京晚报》载：“……受利益驱使，有些人不顾国家法律和当地政府禁令，在呼伦贝尔草原大肆采挖中草药，致使草原严重受损。据此，有关专家推断，10年之内，该草原将变成荒漠。”2

草原命运为了天然草原的生息繁衍和可持续发展，完成以下工作：（1）建立草原自然生长规律模型，描述人为破坏对草原生长的影响过程;（2）论证或驳斥报载消息中专家的推断，如果立即停止对草原的一切破坏，10年后的情形如何？（3）寻找导致草原消失的临界条件，给出草原生长的挽救方案，并对挽救效果进行预测。一问题的提出第一次世界大战期间，战争给人们带来了许多灾难。一场战争的结局怎样，是人们关心的问题，同样也引起了数学家们的注意，能用数量关系来预测战争的胜负吗？

F.W.Lanchester

首先提出了一些预测战争结局的数学模型，后来人们对这些模型作了改进和进一步的解释，用以分析历史上一些著名的战争，如二次世界大战中的美日硫黄岛之战和1975年结束的越南战争。

Lanchester作战模型虽然比较简单，对局部战争还是有参考价值，为研究社会科学领域中的实际问题提供了借鉴的示例。八兰彻斯特（Lanchester）作战模型分析：影响战争的因素：兵员的多少，武器的配备，指挥员的艺术，地理位置的优劣，士气的高低，兵员素质的高低，后勤供应充分与否等。抓