2023届贵州省贵阳市清镇北大培文学校数学高二第二学期期末检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，，则()A． B． C． D．2．某单位为了了解用电量(度)与气温()之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温()101318－1用电量(度)38342464由表中数据得回归直线方程中的，预测当气温为时，用电量度数约为（）A．64 B．65 C．68 D．703．如图，在正四棱柱中，是侧面内的动点，且记与平面所成的角为，则的最大值为A． B． C． D．4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A．1盏 B．3盏C．5盏 D．9盏5．已知，则的大小关系为()A． B． C． D．6．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()A．0.12 B．0.42 C．0.46 D．0.887．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为（）A． B． C． D．8．设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则常数a－b的值为()A．21 B．－21C．27 D．－279．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．10．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为()A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.611．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：①－3是函数y＝f(x)的极值点；②－1是函数y＝f(x)的最小值点；③y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增；④y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零．以上正确命题的序号是()A．①② B．③④ C．①③ D．②④12．已知正方体的棱长为2，P是底面上的动点,，则满足条件的点P构成的图形的面积等于（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中含项的系数为_________．14．事件相互独立，若，，则____.15．随机变量X～B（3，p），P（X≤2），则E（X）＝__．16．已知4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设集合，如果存在的子集，，同时满足如下三个条件：①；②，，两两交集为空集；③，则称集合具有性质.（Ⅰ）已知集合，请判断集合是否具有性质，并说明理由；（Ⅱ）设集合，求证：具有性质的集合有无穷多个.18．（12分）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任意取出三个不同的数字.（Ⅰ）求取出的这三个数字中最大数字是8的概率；（Ⅱ）记取出的这三个数字中奇数的个数为，求随机变量的分布列与数学期望.19．（12分）已知函数，.（1）若在区间上单调，求的取值范围；（2）设，求证：时，.20．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，其中，且，，是的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.21．（12分）2018年双11当天，某购物平台的销售业绩高达2135亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次．（1）请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评140对商品不满意10合计200（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为X．①求随机变量X的分布列；②求X的数学期望和方差．附：K2P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）某超市为了解气温对某产品销售量的影响，随机记录了该超市12月份中天的日销售量(单位：千克)与该地当日最低气温(单位:)的数据，如下表所示:求关于的线性回归方程；（精确到）判断与之间是正相关还是负相关；若该地12月份某天的最低气温为，请用中的回归方程预测该超市当日的销售量.参考公式：，参考数据：，

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由指数函数及对数函数的性质比较大小,即可得出结论.【详解】故选:A.【点睛】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数和对数函数的性质的合理运用.2、C【解析】

先求解出气温和用电量的平均数，然后将样本点中心代入回归直线方程，求解出的值，即可预测气温为时的用电量.【详解】因为，所以样本点中心，所以，所以，所以回归直线方程为：，当时，.故选：C.【点睛】本题考查回归直线方程的求解以及利用回归直线方程估计数值，难度较易.注意回归直线方程过样本点的中心.3、B【解析】

建立以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，设点，利用，转化为，得出，利用空间向量法求出的表达式，并将代入的表达式，利用二次函数的性质求出的最大值，再由同角三角函数的基本关系求出的最大值．【详解】如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则、、，设点，则，，，，，则，得，平面的一个法向量为，所以，，当时，取最大值，此时，也取最大值，且，此时，，因此，，故选B．【点睛】本题考查立体几何的动点问题，考查直线与平面所成角的最大值的求法，对于这类问题，一般是建立空间坐标系，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的问题求解，考查运算求解能力，属于难题．4、B【解析】

设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，∴S7==181，解得a1=1．故选B．5、A【解析】分析：由，，，可得，，则，利用做差法结合基本不等式可得结果.详解：，，则，即，综上，故选A.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6、D【解析】由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1－0.6)(1－0.7)＝0.12.∴至少有一人被录取的概率为1－0.12＝0.88.故选D.考点：相互独立事件的概率.7、C【解析】

试题分析：抛物线焦点为，准线方程为，由得或所以，故答案为C．考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系．8、A【解析】

求出导数f′(x)．利用x＝－2与x＝4是函数f(x)两个极值点即为f′(x)＝0的两个根．即可求出a、b．【详解】由题意知，－2，4是函数f′(x)＝0的两个根，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以⇒所以a－b＝－3＋24＝21.故选A【点睛】f′(x)＝0的解不一定为函数f(x)的极值点．（需判断此解两边导数值的符号）函数f(x)的极值点一定是f′(x)＝0的解．9、D【解析】

利用奇函数性质，将a转化成，利用单调性比较函数值大小，先比较自变量的大小，再根据增函数，即可比较函数值的大小关系.【详解】根据题意，为奇函数，则，又由，又由在上是增函数，则有，故选：D.【点睛】比较指数值或对数值时可以跟1或0进行比较再排列出大小顺序.10、B【解析】区间[22,31)内的数据共有4个，总的数据共有11个，所以频率为1．4,故选B．11、C【解析】

试题分析：根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．根据导函数图象可知：当x∈（-∞，-3）时，f'（x）＜0，在x∈（-3，1）时，∴函数y=f（x）在（-∞，-3）上单调递减，在（-3，1）上单调递增，故③正确；则-3是函数y=f（x）的极小值点，故①正确；∵在（-3，1）上单调递增∴-1不是函数y=f（x）的最小值点，故②不正确；∵函数y=f（x）在x=0处的导数大于0∴切线的斜率大于零，故④不正确.故选C.考点：利用导数研究曲线上某点切线斜率；函数的单调性与导数的关系；函数极值的判定.12、A【解析】

P是底面上的动点，因此只要在底面上讨论即可，以为轴建立平面直角坐标系，设，根据已知列出满足的关系．【详解】如图，以为轴在平面内建立平面直角坐标系，设，由得，整理得，设直线与正方形的边交于点，则点在内部（含边界），易知，，∴，．故选A．【点睛】本题考查空间两点间的距离问题，解题关键是在底面上建立平面直角坐标系，把空间问题转化为平面问题去解决．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解析】

计算出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，再将参数的值代入二项展开式通项可得出项的系数.【详解】的展开式通项为，令，得，因此，的展开式中含项的系数为，故答案为：.【点睛】本题考查二项式指定项的系数的计算，解题的关键就是利用二项展开式通项进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.14、【解析】

由于事件为对立事件，故，代入即得解.【详解】由于事件为对立事件，，且，故故答案为：【点睛】本题考查了互斥事件的概率求法，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.15、1．【解析】

推导解得，再根据二项分布的数学期望公式，可得的值.【详解】因为随机变量，所以解得所以.【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16、【解析】解：从4张卡片中任意抽取两张，则所有的情况有种，那么取出的2张卡片上的数字之和为奇数，说明奇数=奇数+偶数，故有，因此利用古典概型可知概率为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）不具有，理由见解析；（Ⅱ）证明见解析【解析】

（Ⅰ）由条件易得集合具有性质，对集合中的进行讨论，利用题设条件得出集合不具有性质；（Ⅱ）利用反证法，假设具有性质的集合有限个，根据题设条件得出矛盾，即可证明具有性质的集合有无穷多个.【详解】解：(Ⅰ)具有性质，如可取；不具有性质；理由如下：对于中的元素，或者如果，那么剩下个元素，不满足条件；如果，那么剩下个元素，也不满足条件．因此，集合不具有性质.（Ⅱ）证明：假设符合条件的只有有限个，设其中元素个数最多的为.对于，由题设可知，存在，满足条件.构造如下集合由于所以易验证，，对集合满足条件，而也就是说存在比的元素个数更多的集合具有性质，与假设矛盾．因此具有性质的集合有无穷多个.【点睛】本题主要考查了集合的应用，涉及了反证法的应用，属于较难题.18、；（Ⅱ）见解析.【解析】分析：（Ⅰ）取出的这三个数字中最大数字是8，其余两个从1，2，3，4，5，6，7中取．（Ⅱ）取出的这三个数字中奇数的个数为0、1、2、3，求出相应的概率，即可求得分布列及期望．；（Ⅱ）ξ的所有可能取值为：0、1、2、3则所以随机变量的分布列为0123P所以的数学期望.点睛：（1）本题主要考查古典概型和离散型随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)……为的均值或数学期望，简称期望．19、（1）或（2）见解析【解析】

（1）在区间上单调且是增函数，所以或，进而得到答案．（2）令，，由的导函数研究的单调性并求出最小值，则可知在时是增函数，从而证得答案．【详解】解：（1）∵是增函数．又∵在区间上单调，∴或．∴或（2）令．∵，．∴时，是减函数，时，是增函数，∴时，．∵，∴．∴在时是增函数．∴，即．【点睛】本题考查函数的单调性以及利用导函数证明不等式问题，解题的关键是令，属于偏难题目．20、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】

（1）根据已知可得，可证平面，从而有，再由已知可得，可证平面，即可证明结论；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出坐标，再求出平面法向量坐标，根据空间向量的线面角公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）因为底面，底面，所以.又因为，，所以平面.又因为平面，所以.因为，是的中点，所以.又因为，所以平面.而平面，所以.（Ⅱ）因为两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，于是.设平面的一个法向量为.，.由得，令，则，得.设与平面所成的角为，则.故与平面所成角的正弦值是.【点睛】本题考查空间线面位置关系，考查直线与平面垂直的证明、用空间向量法求直线与平面所成的角，注意空间垂直间的相互转化，意在考查逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.21、（1）详见解析（2）①详见解析②E(X)=2110【解析】

(1)补充列联表，根据公式计算卡方值，进行判断；（2）（ⅰ）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为710，且X的取值可以是0，1，2，3，x符合二项分布，按照二项分布的公式进行计算即可得到相应的概率值