2023届广东省佛山一中、石门中学、顺德一中、国华纪中四校高二数学第二学期期末统考模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是()A．B．C．D．2．若|x﹣1|≤x|x+1|，则（）A．x1 B．x≤1 C．x1 D．x3．设函数f（x）＝，若函数f（x）的最大值为﹣1，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2） B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣2]4．在中，为边上一点，且，向量与向量共线，若，，，则（）A．3 B． C．2 D．5．的展开式中的系数为A．10 B．20 C．40 D．806．关于x的不等式的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．（4,5）7．已知为虚数单位，则复数的虚部是A． B．1 C． D．8．已知三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，则球的表面积为（）A． B． C． D．9．已知，那么“”是“且”的A．充分而不必要条件 B．充要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件10．复数（为虚数单位）的虚部是（）．A． B． C． D．11．定义运算＝ad－bc，若复数z满足＝－2，则（）A．1－i B．1＋i C．－1＋i D．－1－i12．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在正项等比数列中，，则公比__________．14．已知向量的夹角为，且，则________.15．若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆短轴长为____________.16．在区间上随机取一个数，若使直线与圆有交点的概率为，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设集合，如果存在的子集，，同时满足如下三个条件：①；②，，两两交集为空集；③，则称集合具有性质.（Ⅰ）已知集合，请判断集合是否具有性质，并说明理由；（Ⅱ）设集合，求证：具有性质的集合有无穷多个.18．（12分）已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离．(Ⅰ)试判断点的轨迹的形状，并写出其方程；(Ⅱ)若曲线与直线相交于两点，求的面积.19．（12分）已知函数在与时都取得极值．（1）求的值；（2）求函数的单调区间.20．（12分）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人．①记表示选取4人的成绩的平均数，求；②记表示测试成绩在80分以上的人数，求的分布和数学期望．21．（12分）在中，角所对的边分别为,其中（1）求;（2）求边上的高，22．（10分）（1）解不等式:（2）设，求证：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据导数与函数单调性的关系，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，根据图像即可判断函数的单调性，然后结合图像判断出函数的极值点位置，从而求出答案。【详解】根据导数与函数单调性的关系，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，由导函数的图象可知，图像先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，故排除A,C且第二个拐点（即函数的极大值点）在轴的右侧，排除B故选D【点睛】本题考查函数的单调性与导函数正负的关系，属于一般题。2、A【解析】

对按照，，进行分类讨论，分别解不等式，然后取并集，得到答案.【详解】①当时，，即，解得所以②当时，，即解得或所以③当时，，即解得所以综上所述，故选A项.【点睛】本题考查分类讨论解不含参的绝对值不等式，属于简单题.3、D【解析】

考虑x≥1时，f（x）递减，可得f（x）≤﹣1，当x＜1时，由二次函数的单调性可得f（x）max＝1+a，由题意可得1+a≤﹣1，可得a的范围．【详解】当x≥1时，f（x）＝﹣log1（x+1）递减，可得f（x）≤f（1）＝﹣1，当且仅当x＝1时，f（x）取得最大值﹣1；当x＜1时，f（x）＝﹣（x+1）1+1+a，当x＝﹣1时，f（x）取得最大值1+a，由题意可得1+a≤﹣1，解得a≤﹣1．故选：D．【点睛】本题考查分段函数的最值求法，注意运用对数函数和二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．4、B【解析】取BC的中点E，则与向量共线，所以A、D、E三点共线，即中边上的中线与高线重合，则.因为，所以G为的重心，则所以本题选择B选项.5、C【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得令,则所以故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。6、A【解析】

不等式等价转化为，当时，得，当时，得，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出的取值范围。【详解】关于的不等式，不等式可变形为，当时，得，此时解集中的整数为2，3，4，则；当时，得，，此时解集中的整数为-2，-1，0，则故a的取值范围是，选：A。【点睛】本题难点在于分类讨论解含参的二次不等式，由于二次不等式对应的二次方程的根大小不确定，所以要对和1的大小进行分类讨论。其次在观察的范围的时候要注意范围的端点能否取到，防止选择错误的B选项。7、A【解析】试题分析：根据题意，由于为虚数单位，则复数，因此可知其虚部为-1，故答案为A.考点：复数的运算点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题。8、D【解析】

根据题意画出图形，结合图形把三棱锥补充为长方体，则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，计算长方体的对角线，求出外接球的直径和表面积．【详解】根据题意画出图形，如图所示，

以AB、BD和CD为棱，把三棱锥补充为长方体，

则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，

且长方体的对角线是外接球的直径；

，

外接球O的表面积为．

故选：D．【点睛】本题考查了三棱锥外接球表面积计算问题，将三棱锥补成长方体，是求外接球直径的关键，属于中档题．9、C【解析】

先利用取特殊值法判断x•y＞0时，x＞0且y＞0不成立，再说明x＞0且y＞0时，x•y＞0成立，即可得到结论．【详解】若x＝﹣1，y＝﹣1，则x•y＞0，但x＞0且y＞0不成立，若x＞0且y＞0，则x•y＞0一定成立，故“x•y＞0”是“x＞0且y＞0”的必要不充分条件故选：C．【点睛】本题考查的知识点是充要条件的定义，考查了不等式的性质的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10、A【解析】

利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部．【详解】，因此，该复数的虚部为，故选A．【点睛】本题考查复数的除法，考查复数的虚部，对于复数问题的求解，一般利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部进行求解，考查计算能力，属于基础题．11、D【解析】分析：直接利用新定义，化简求解即可.详解：由＝ad－bc，则满足＝－2，可得：，，则.故选D.点睛：本题考查新定义的应用，复数的除法运算法则的应用，以及共轭复数，考查计算能力.12、B【解析】

根据已知条件可以把转化为即为函数在为和对应两点连线的斜率，且，是分别为时对应图像上点的切线斜率，再结合图像即可得到答案.【详解】，是分别为时对应图像上点的切线斜率，，为图像上为和对应两点连线的斜率，（如图）由图可知，故选：B【点睛】本题考查了导数的几何意义以及斜率公式，比较斜率大小，属于较易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：利用等比数列的通项公式把等式改写成含有和的式子，联立方程组求解即可.详解：由题意得：，两式相除消去并求解得：，，.故答案为：.点睛：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．14、3【解析】

运用向量的数量积的定义可得⃑⃑⃑⃑，再利用向量的平方即为模的平方，计算可得答案.【详解】解：⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，相对简单.15、【解析】

由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆的短轴长度.【详解】不妨设椭圆方程为：，由题意可得，解得，则椭圆的短轴长度为：.故答案为：．【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，方程的数学思想，椭圆短轴的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16、【解析】

分析：先根据直线与圆相交的关系得出不等式得b的取值范围，然后由概率为建立等式求解即可.详解：圆心到直线的距离：故答案为：点睛：考查直线与圆的位置关系，然后再结合几何概型求解即可.属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）不具有，理由见解析；（Ⅱ）证明见解析【解析】

（Ⅰ）由条件易得集合具有性质，对集合中的进行讨论，利用题设条件得出集合不具有性质；（Ⅱ）利用反证法，假设具有性质的集合有限个，根据题设条件得出矛盾，即可证明具有性质的集合有无穷多个.【详解】解：(Ⅰ)具有性质，如可取；不具有性质；理由如下：对于中的元素，或者如果，那么剩下个元素，不满足条件；如果，那么剩下个元素，也不满足条件．因此，集合不具有性质.（Ⅱ）证明：假设符合条件的只有有限个，设其中元素个数最多的为.对于，由题设可知，存在，满足条件.构造如下集合由于所以易验证，，对集合满足条件，而也就是说存在比的元素个数更多的集合具有性质，与假设矛盾．因此具有性质的集合有无穷多个.【点睛】本题主要考查了集合的应用，涉及了反证法的应用，属于较难题.18、（Ⅰ）点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根据抛物线的定义得知点的轨迹为抛物线，确定抛物线的焦点和准线，于此得出抛物线的方程；（Ⅱ）设点、，将直线与曲线的方程联立，利用抛物线的定义求出，并利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，然后利用三角形的面积公式计算出的面积.【详解】（Ⅰ）因点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为；（Ⅱ）设,联立，得,,直线经过抛物线的焦点,点到直线的距离，【点睛】本题考查抛物线的定义、以及直线与抛物线中的三角形面积的计算，考查韦达定理设而不求思想的应用，解题关键在于利用相关公式计算弦长与距离，这类问题计算量较大，对计算要求较高，属于中等题．19、（1）；（2）增区间是和，减区间是．【解析】

⑴求出，并令其为得到方程，把与代入求出的值⑵求出，分别令，，求出的范围，即可得到函数的单调区间【详解】⑴，由解得⑵由⑴可知令，解得令，解得或的增区间是和，减区间为【点睛】本题考查的是函数在某点取得极值的条件以及利用导数研究函数的单调性，较为基础，只要运用法则来求解即可。20、（1）；（2）①，②.【解析】试题分析：（1）众数为，中位数为，抽取的人中，分以下的有人，不低于分的有人，从而求出从该校学生中任选人，这个人测试成绩在分以上的概率，由此能求出该校这次测试成绩在分以上的人数；（2）①由题意知分以上的有，，，，，，，，当所选取的四个人的成绩的平均分大于分时，有两类：一类是：，，，，共1种；另一类是：，，，，共3种．由此能求出；②由题意得的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．试题解析：(1)众数为76，中位数为76.抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为，故该校这次测试成绩在70分以上的约有（人）(2)①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94.当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类.一类是82，88，93，94，共1种；另一类是76，88，93，94，共3种.所以.②由题意可得，的可能取值为0，1，2，3，4,,,,.的分别列为01234.21、（1）；（2）【解析】

（1）利用同角三角函数的基本关系求出，再由正弦定理求出，即可得解；（2）首先由两角和的正弦公式求出，过作交于点，在中，，即可求出；【详解】解：（1）因为且，，，由正弦定理可得，即解得，因为，（2）如图，过作交于点，在中如图所示，在中，故边上的高为【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理解三角形以及三角恒等变换的应用，属于中档题.22、（1）（2）见解析【解析