同济版大一高数第九章习题课课件

高等数学第十三讲1标题添加点击此处输入相关文本内容点击此处输入相关文本内容前言点击此处输入相关文本内容标题添加点击此处输入相关文本内容第八章习题课一、基本概念

二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用多元函数微分法3一、基本概念1.多元函数的定义、极限、连续

定义域及对应规律

判断极限不存在及求极限的方法

函数的连续性及其性质2.几个基本概念的关系连续性偏导数存在方向导数存在可微性4平面点集和区域多元函数的极限多元函数连续的概念极限运算多元连续函数的性质多元函数概念一、主要内容5全微分的应用高阶偏导数隐函数求导法则复合函数求导法则全微分形式的不变性微分法在几何上的应用方向导数多元函数的极值全微分概念偏导数概念62、多元函数概念定义类似地可定义三元及三元以上函数．73、多元函数的极限8说明：（1）定义中（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．4、极限的运算的方式是任意的；95、多元函数的连续性10在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理6、多元连续函数的性质117、偏导数概念121314８、高阶偏导数纯偏导混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.15９、全微分概念16多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导1711、复合函数求导法则以上公式中的导数称为全导数.181912、全微分形式不变性无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.20多元函数微分法显示结构隐式结构1.分析复合结构(画变量关系图)自变量个数=变量总个数–方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号3.利用全微分形式不变性21隐函数的求导公式13、隐函数的求导法则222314、微分法在几何上的应用切线方程为法平面方程为(1)空间曲线的切线与法平面24(２)曲面的切平面与法线切平面方程为法线方程为2515、方向导数记为26三元函数方向导数的定义27梯度的概念28梯度与方向导数的关系2916、多元函数的极值定义30多元函数取得极值的条件

定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.极值点注意驻点313233体会二元函数的一些基本概念之间的关系1、函数可微，偏导数不一定连续；2、当和不存在时，也不能断定和不存在。这只能说明偏导数在点（0，0）处不连续。在点处四个基本概念之间的关系连续性偏导数方向导数可微性可微性条件增强由它可以推出其它三个概念，反之不一定存在。34例1.

已知求出的表达式.即解

且35例236解例337例4讨论二重极限解取38例539例6

讨论函数在解因为沿时,随k变化而变化，即不存在，所以在处的不连续。处的连续性。40例7设求解方程两边同时微分41例8.

(11考研)设函数其中f具有二阶连续偏导数，函数可导，且在处取到极值，求解由题意得，因为所以42解例943例10.且求解：求导方程组对44P131题12设求提示:①②利用行列式解出du,dv：45代入①即得代入②即得①②46提示:利用故f在(0,0)连续;得在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.例11证明:47而所以f

在点(0,0)不可微!48提示:利用故f在(0,0)连续;知在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.例11证明:49而所以f

在点(0,0)不可微!偏导数存在,但不可微.例11证明:50例12、研究函数(1)在点(0,0)处是否连续;(2)在点(0,0)处偏导数是否存在和连续;(3)在点(0,0)处沿任意方向的方向导数是否存在;(4)在点(0,0)处是否可微;提示:对于分段函数在分界点处的讨论,通常情况下,用定义讨论51为()(P490例4(1))2)

由平面曲线绕y轴旋转一周所成曲面在点处指向外侧的单位法向量提示:旋转曲面方程为在M点的外侧法向量为设52由夹逼准则可知故连续2、偏导数极限不存在故不连续1、连续性53故在点(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在。3、方向导数54而故可微4、可微55例13求下列函数的偏导数证明设证明：因此同理56练习题1.设函数f二阶连续可微,求下列函数的二阶偏导数2.同济(下)P131题1257解答提示:第1题求58三、多元函数微分法的应用1.在几何中的应用求曲线的切线及法平面(关键:抓住切向量)

求曲面的切平面及法线(隐式方程,显式方程)2.极值与最值问题

极值的必要条件与充分条件

求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法)

求解最值问题(参数方程，一般方程)(关键:抓住法向量)59例1.在球面上找一点，使函数沿到的方向导数具有最大值点。提示：由于问题转化为求：在条件下的极值，利用拉格朗日判别法.60经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMor