二次函数整章复习资料课件

二次函数

复习课2023/7/22一、二次函数概念及应用

1、二次函数的概念：函数y=

(a、b、c为常数，______)叫做二次函数。ax2+bx+ca

≠０

2、二次函数的图象是一条

。

抛物线3、二次函数y=x²-2x-3的a=_____,b=_____,c=____

1-2-34、二次函y=3x²+2x的a=___b=___c=___5、二次函数y=4x²-7的a=___b=___c=___32040-7即二次函数的标准式y=ax2+bx+c(a≠0)2023/7/221、下列函数哪些是二次函数？哪些不是为什么？复习训练√√××××2、下列函数中，哪些是二次函数？

(1)y=3x-1(2)y=3x2(3)y=3x3+2x2(4)y=2x2-2x+1(5)y=x-2+x(6)y=x2-x(1+x)是二次函数的有（2）、（4）2023/7/222、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a、b、c的值.y＝1-3x2(2)y＝x(x－5)(3)y＝x2－x＋1

(4)y＝3x(2－x)＋3x2

(5)y＝x4＋2x2－1(6)y＝ax2＋bx＋c是二次函数的有（1）、（2）、（3）a=-3,b=0,c=1a=1,b=-5,c=0a=,b=-1,c=1y=6x-3x2+3x2=6x没有a强调不能为02023/7/22例1:

关于x的函数是二次函数,求m的值.解:由题意可得注意:二次函数的二次项系数不能为零2023/7/22

1.若函数为二次函数，求m的值。解：因为该函数为二次函数，则解（1）得：m=2或-1解（2）得：所以m=2复习训练2023/7/22

2.若是二次函数，则m的值为

；-1复习训练3.若函数是二次函数，则的值为

；-22023/7/224.若是二次函数，则这个二次函数的解析式为

复习训练2023/7/22(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？(1)它是二次函数?思考2023/7/22二、函数的图象及性质抛物线开口方向对称轴顶点坐标最值增减性y=ax2y=ax2+ky=a(x–h)2y=a(x–h)2+ka＞0向上a＜0向下a＞0向上a＞0向上a＞0向上a＜0向下a＜0向下a＜0向下y轴直线x=h直线x=hy轴(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)2023/7/22y=ax2y=ax2+k

y=a(x–h)2y=a(x–h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移结论:一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同,位置不同。（a值决定抛物线的形状）各种形式的二次函数的关系2023/7/22二次函数y=a(x－h)2+ky=ax2+bx+c开口方向对称轴顶点坐标最值a＞0a＜0增减性a＞0a＜0二次函数的y=ax2+bx+c的性质a＞0开口向上a＜

0开口向下x=h(h,k)y最小=ky最大=ky最小=y最大=在对称轴左边，x↗y↘；在对称轴右边，x↗y↗

在对称轴左边，x↗y↗

；在对称轴右边，x↗y↘2023/7/22形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0

）的函数，叫做二次函数。二次函数的一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）二次函数顶点式：y=a（x-h)2+k（a≠0）二次函数的交点式：y=a（x-x1)(x-x2)（a≠0)二次函数的几种关系式2023/7/221、二次函数y=2(x-3)²+7的图象顶点坐标是

，对称轴是

；3、二次函数

图象的顶点坐标和对称轴方程为（）A、（1，-2），x＝1

B、（1，2)，x＝1C、（-1，-2），x＝-1D、（-1，2），x＝-1DA2、抛物线

的对称轴及顶点坐标分别是（

）A、y轴，（０，-4）

B、x＝３，（０，４）C、x轴，（０，０）D、y轴，（０，３）复习训练（3,7）x=32023/7/224、函数的开口方向

，顶点坐标是

，对称轴是

.当x

时.y随x的增大而减小。当x

时.y有最

为

.

向上＜－１＝－１小顶点坐标公式2023/7/225.将函数y=x2+6x+7进行配方正确的结果应为（）C2023/7/22练习1.抛物线y=x2向上平移2个单位，再向右平移3个单位可得到抛物线

。抛物线的平移规律：上加下减左加右减抛物线的平移一般都要写成顶点式y=a(x–h)2+k2023/7/222、将抛物线y=-3x2-1向上平移2个单位,再向右平移3个单位,所得的抛物线的表达式为

，

若把抛物线y=x2+bx+c向左平移3个单位,再向上平移2个单位,得抛物线y=x2-2x+2,则b=

，c=,-815思考题2023/7/22思考抛物线关于x轴对称的抛物线解析式是解题思路:①将原抛物线写成顶点式y=a(x-h)2+k②写出顶点(h,k)③写出顶点(h,k)关于x轴的点的坐标(h,-k)则关于x轴对称的抛物线解析式是y=-a(x-h)2-k关于x轴对称:关于y轴对称:①将原抛物线写成顶点式y=a(x-h)2+k②写出顶点(h,k)③写出顶点(h,k)关于y轴的点的坐标(-h,k)则关于x轴对称的抛物线解析式是y=a(x+h)2+k2023/7/22已知抛物线y＝－x2－2x＋m.(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m______0；

（填“＞”、“＝”或“＜”）(1)若抛物线经过坐标系原点，则m______0；

（填“＞”、“＝”或“＜”）(4)若抛物线与x轴有两个交点，则m______。(3)若抛物线与x轴有一个交点，则m_______.＞＝＞－1＝－12023/7/22三、二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象特征与a、b、c的关系。项目字母符号图象的特征a开口向上开口向下b对称轴是y轴对称轴在y轴左侧对称轴在y轴右侧c经过原点与y轴正半轴相交与y轴负半轴相交ab<0c=0c>0c<0b=0ab>0a>0a<02023/7/22

二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是____________1-10xy①abc<0②a+b+c<0③a+c>b④2a+b=0⑤开口方向:向上a>0;向下a<0对称轴:在y轴右侧a、b异号;在y轴左侧a、b同号与y轴的交点:在y轴正半轴c>0;在y轴负半轴c<0与x轴的交点:两个不同b2-4ac>0;唯一b2-4ac=0;没有b2-4ac<0a+b+c由当x=1时的点的位置决定;a-b+c由当x=-1时的点的位置决定例2023/7/22中考链接1.（北京）如果b＞0，c＞0，那么二次函数的图象大致是（

）

A.

B.

C.

D.D2023/7/222.如图，抛物线的顶点P的坐标是（1，－3），则此抛物线对应的二次函数有（）（A）最大值1（B）最小值－3（C）最大值－3（D）最小值1B中考链接2023/7/223.抛物线的图像如下，则满足条件a＞0,b＜0,c＜0的是（）

ADCBD中考链接2023/7/224.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①abc>0；②b2-4ac<0；③b+2a<0；④a+b+c>0.

其中所有正确结论的序号是（）A.③④ B.②③ C.①④ D.①②③a<0，b>0，c>0A中考链接2023/7/22

5.如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（）xyoABxyoCxyoDxyoD2023/7/22四、求二次函数解析式的方法已知顶点坐标、对称轴或最值已知任意三点坐标已知抛物线与x轴的交点坐标(x1,0)，(x2,0)2023/7/221.已知二次函数的顶点是（-1，2)且经过点（3，9）,求函数的解析式;2.已知二次函数经过点（0，-3）（1，-2）和点（3，0),求解析式;3.抛物线y＝x2－4x＋c的顶点在x轴，则c的值是（）

A、0 B、4 C、－4 D、24.已知二次函数的经过（0，1）、（2，1）和（3，4），求该二次函数的解析式。求函数的解析式解析式为y=2x2-7x-3B设二次函数解析式为y=kx2+bx+c;求得二次函数解析式为y=x2-2x+1;2023/7/22求函数的解析式

5.（2008云南）已知在同意个直角坐标系中，反比例函数与二次函数y=的图像交于点A(-1,m)（1）求m,c的值；（2）求二次函数的对称轴和顶点坐标。m=-5c=-22023/7/22二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，求此函数解析式。-632-2（1）方法一

（一般式）方法二

（顶点式）方法三

（交点式）（2）知识拓展练习2023/7/22一般式：解：依题意把点（2，0）（-6，0）（0，3）可得：

4a+2b+c=0c=336a-6b+c=0

解得：a=b=-1c=3所以二次函数的解析式为：2023/7/22顶点式：解：因为二次函数的对称轴为x=-2,所以可设函数的解析式为：y=a(x+2)2+k，把点（2，0）（0，3）代入可得：

16a+k=04a+k=3解得a=k=4所以二次函数的解析式为：2023/7/22交点式：解：因为抛物线与x轴相交的两个点的坐标为（2，0）（-6，0），可设该函数的解析式为：y=a(x+6)(x-2),把点（0，3）代入得：

3=-12a

解得：a=所以二次函数的解析式为：2023/7/2223-2-6拓展：若抛物线y1=a1x2+b1x+c1与以上抛物线关于x轴对称，试求y1=a1x2+b1x+c1的解析式。6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，求此函数解析式。练习2023/7/22中考链接：1.已知抛物线的部分图象如图,则抛物线的对称轴为直线x=

,满足y＜0的x的取值范围是

,将抛物线向

平移

个单位,则得到抛物线

31＜X＜5下12023/7/22中考链接：2.根据图1中的抛物线，当x

时，y随x的增大而增大，当x

时，y随x的增大而减小，当x

时，y有最大值。图1＜2＞2＝22023/7/223.如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F，则图中阴影部分的面积是

。中考链接：2023/7/22中考链接：4.张大伯准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈。请你求出张大伯矩形羊圈的面积；请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由。2023/7/22练习：5.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD组成，矩形的长BC为8米，宽AB为2米，以BC所在的直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系。y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点的距离为6米。（1）求抛物线的解析式；（2）现有一货车卡高4.2米，宽2.4米，这辆车能否通过该隧道？请说明理由。（3）若该隧道内设双行道，该辆车还能通过隧道吗？请说明理由。能通过能通过2023/7/22（2）现有一货车卡高4.2米，宽2.4米，这辆车能否通过该隧道？请说明理由。

解：把x=1.2代入中，解得y=5.64。∵4.2＜5.64∴这辆车能通过该隧道货车2023/7/22(3)若该隧道内设双行道，现有一货车卡高4.2米，宽2.4米，这辆车能否通过该隧道？请说明理由。

货车解：把x=2.4代入中，解得y=4.56。∵4.2＜4.56∴这辆车能通过该隧道2023/7/22二次函数y=2x²、的图象与二次函数y=x²

的图象有什么相同和不同？

a＞0二次函数的一个特性2023/7/22Oxy1234512345–5–4–3–2–1–5–4–3–2–1a＜02023/7/22课堂小结：1、二次函数的概念：二次函数的概念：函数y=(a、b、c为常数，其中)叫做二次函数。2、二次函数的图象：二次函数的图象是一条抛物线。3、二次函数的性质：包括抛物线的三要素，最值，增减性。4、二次函数的实践应用（数形结合）具体体现在解决一些实际应用题中。ax2+bx+ca

≠０2023/7/22二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是__________对称轴是_________。例1:（—，-—）125

24x=—12一般式

y=ax²+bx+c顶点式

y=a(x-h)²+k二次函数的解析式:y=ax²+bx+c(a≠0)对称轴:直线x=h顶点:(h,k)二次函数的图象:是一条抛物线二次函数的图象的性质:开口方向;对称轴;顶点坐标;

增减性;最值2023/7/22二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是__________对称轴是_________。例1:（—，-—）125

24x=—12画二次函数的大致图象:①画对称轴②确定顶点③确定与y轴的交点④确定与x轴的交点⑤确定与y轴交点关于对称轴对称的点⑥连线x=—12（—，-—）125

24(0,-6)(-2,0)(3,0)0xy(1,-6)2023/7/22二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是__________对称轴是_________。例1:（—，-—）125

24x=—12x=—12（—，-—）125

24(0,-6)(-2,0)(3,0)0xy(1,-6)增减性:当时,y随x的增大而减小当时,y随x的增大而增大最值:当时,y有最值,是小函数值y的正负性:当

时,y>0当

时,y=0当

时,y<0x<-2或x>3x=-2或x=3-2<x<32023/7/22例6:施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,yxoPBCADM(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标(2)求出这条抛物线的函数关系式(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD,使A、D两点在抛物线上,B、C两点在地面OM上,为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少?请你帮忙计算一下.解:(1)点M的坐标是(12,0),点P的坐标是(6,6)(2)设此抛物线解析式为y=a(x-6)2+6又因为它经过(0,0),则0=a(0-6)2+62023/7/22例6:施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,yxoPBCADM(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标(2)求出这条抛物线的函数关系式(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD,使A、D两点在抛物线上,B、C两点在地面OM上,为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少?请你帮忙计算一下.(3)设点A的横坐标为m,则点A的纵坐标是∴AD=BC=12-2m,AB=CD=∴AB+AD+DC=当m=3时,即OB=3米时,3根木杆长度之和的最大值为15米.2023/7/22例6:施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,yxoPBCADM如果现有一辆宽4米,高4米的卡车准备要通过这个隧道,问它能顺利通过吗?解:当x=4时,即当这个隧道在中心两旁4米宽时的顶的高度达到了5米多,而车的高度只有4米,所以这两卡车能顺利通过.2023/7/224、二次函数

图象的顶点坐标和对称轴方程为（）A、（1，-2），x＝1

B、（1，2)，x＝1C、（-1，-2），x＝-1D、（-1，2），x＝-1DA3、抛物线

的对称轴及顶点坐标分别是（

）A、y轴，（０，-4）

B、x＝３，（０，４）C、x轴，（０，０）

D、y轴，（０，３）2023/7/228、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系内的大致图象是（）xyoxyoxyoxyo(C)(D)(B)(A)C2023/7/22-29、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例：1）、当x=1时，2）、当x=-1时，3）、当x=2时，4）、当x=-2时，y=

y=y=y=6）、2a+b

0.

xyo1-12＞０

＜０＞０

＜０＞5）、b²-4ac

0.

＞a+b+ca-b+c4a+2b+c4a-2b+c2023/7/22

选择合适的方法求二次函数解析式：

10、抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三点11、抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴的一个交点的横坐标是8。2023/7/22三种思路:已知顶点坐标、对称轴或最值已知任意三点坐标已知抛物线与x轴的交点坐标(x1,0).(x2,0)2023/7/2212.已知抛物线

y＝x²-mx+m-1.(1)若抛物线经过坐标系原点，则m______；

=1(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m______；

(3)若抛物线的对称轴为y轴，则m______。(4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_______.＞1=2=02023/7/2214、求抛物线①与y轴的交点坐标;②与x轴的两个交点间的距离.③x取何值时，y＞0?13、不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远为正的条件是_

___a>0,b²-4ac<0

-316(-1,8)-12023/7/2215

、如图①，已知抛物线y=ax²+bx+3

（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(4)如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．2023/7/2215.如图①，已知抛物线y=ax²+bx+3

（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.Q(1,0)(-3,0)(0,3)y=-x²-2x+3Q(-1,2)2023/7/22(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．以M为圆心，MC为半径画弧，与对称轴有两交点;以C为圆心，MC为半径画弧，与对称轴有一个交点（MC为腰）。作MC的垂直平分线与对称轴有一个交点（MC为底边）。(1,0)(-3,0)(0,3)(-1,0)2023/7/22(4)如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．EF(1,0)(0,3)(-3,0)(m,-m²-2m+3

)2023/7/22函数复习小结2023/7/22一、本章知识结构图实际问题二次函数实际问题的答案利用二次函数的图象和性质求解目标2023/7/22二、回顾与思考1.举例说明，一些实际问题中变量之间的关系可以用二次函数表示，列出函数表达式并画出图象．例1如图，矩形的长是4厘米、宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，那么面积增加y平方厘米．试写出y与x的关系式．4cm3cmx2023/7/22例2如图，一块矩形草地长100米、宽80米，要在中间修筑两条互相垂直的宽为x米的小路，这时草地的面积为y平方米．试写出y与x的关系式．小路小路2023/7/222.结合二次函数的图象回顾二次函数的性质，例如根据抛物线的开口方向、顶点坐标，说明二次函数在什么情况下取得最大（小）值．解析式图象顶点坐标对称轴开口方向a>0a<0经过（0，c）的一条抛物线开口向上开口向下2