高光谱数据降维与可分性准则

高光谱数据降维与可分性准则1第1页，课件共48页，创作于2023年2月第1节高光谱数据降维与可分性准则

武汉大学遥感信息工程学院

龚龑

《高光谱遥感》第四章高光谱数据处理第2页，课件共48页，创作于2023年2月一、高光谱数据的降维问题二、类别可分性准则三、基于几何距离的可分性准则四、基于类的概率密度的可分性准则第四章第1节高光谱数据降维与可分性准则第3页，课件共48页，创作于2023年2月高光谱分辨率的影响

在给定的波长区间内，高的光谱分辨率导致影像波段数众多、连续。

一方面，高光谱遥感的核心优势是反映光谱特征的细微差异；另一方面众多的波段数目给数据处理带来新的问题。一、高光谱数据的降维问题1.1高光谱数据的高维特征第4页，课件共48页，创作于2023年2月波谱空间与光谱空间波段数众多导致光谱空间维数的增多高光谱多光谱灰度值灰度值一、高光谱数据的降维问题1.1高光谱数据的高维特征波段数众多导致波谱曲线信息的丰富“维数”是指光谱空间的维数第5页，课件共48页，创作于2023年2月

高光谱影像属于高维空间数据，已有的研究结果表明，这种数据有许多不同于低维数据的分布特性，这些特性决定了人们在对高光谱影像分析时应采用不同策略和方法。一、高光谱数据的降维问题1.1高光谱数据的高维特征第6页，课件共48页，创作于2023年2月1.信息冗余大

波段数量多，但并非每个波段在任何时候都是有用信息。波段之间的相关性导致信息冗余很大，尤其是相邻波段之间的相关性很强。一、高光谱数据的降维问题1.2高维特征带来的新问题

例如：对于有N个波段的高光谱数据来讲，当前应用需求是区分w1类和w2类。

如果利用任意一个波段都能达到这个目的，那么，仅取一个波段就包含了足够信息，其余N-1维特征就是多余的。第7页，课件共48页，创作于2023年2月

根据超维立方体的体积公式，随着空间维数的增加，超立方体的体积急剧增加，并且向角部分布。一、高光谱数据的降维问题1.2高维特征带来的新问题2.超维几何体体积第8页，课件共48页，创作于2023年2月一、高光谱数据的降维问题1.2高维特征带来的新问题2.超维几何体体积伽马函数超立方体中内切求的体积与超立方体之比第9页，课件共48页，创作于2023年2月例如：密度分析GRID算法一、高光谱数据的降维问题1.2高维特征带来的新问题2.超维几何体体积

由于体积因素影响，高维空间中数据的分布呈现出稀疏、严重不规则等特点，使得常规的分析算法效果不佳。

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思考：既然不同波段包含了不同光谱信息，那么，在利用遥感影像分类时，是否波段越多，分类越精确？研究表明，事实并非如此一、高光谱数据的降维问题1.2高维特征带来的新问题3.“维数灾难”问题第11页，课件共48页，创作于2023年2月一、高光谱数据的降维问题1.2高维特征带来的新问题3.“维数灾难”问题第12页，课件共48页，创作于2023年2月

这说明高光谱数据区分地类之间的能力极大地受到训练样本的限制，在分析高光谱影像时，要获得好的分类精度就需要更多的训练样本。

如果训练样本不足时，往往会出现在样本点数目一定的前提下，分类精度随着特征维数的增加“先增后降”的现象，这就是所谓的Hughes”维数灾难”现象。一、高光谱数据的降维问题1.2高维特征带来的新问题3.“维数灾难”问题第13页，课件共48页，创作于2023年2月

随着空间维数的增加，要得到同样精度的估计值将需要更多的样本数。

研究表明，对于监督分类而言，若要得到比较满意的分类结果：一、高光谱数据的降维问题1.2高维特征带来的新问题4.高维空间中的参数估计问题

线性分类器需要的样本数与空间的维数呈线性关系。

对于基于二次估计量的分类器，所需的样本数与空间的维数呈平方关系。第14页，课件共48页，创作于2023年2月模式识别的类别统计信息向量均值和方差等根据训练样本估算出来训练样本的数目相对于特征空间的维数的比例参数估计不准确分类精度较低多光谱图像高高光谱图像低一、高光谱数据的降维问题1.2高维特征带来的新问题4.高维空间中的参数估计问题因此，“维数灾难”现象可以从样本数量与数据复杂度关系理论来解释分类精度较高参数估计较准确第15页，课件共48页，创作于2023年2月

在高维数据空间中，除了数据点分布的绝对位置以外，数据分布的形状和方向对于分类具有更加重要的影响作用。一、高光谱数据的降维问题1.2高维特征带来的新问题5.高阶统计特性第16页，课件共48页，创作于2023年2月一、高光谱数据的降维问题1.2高维特征带来的新问题5.高阶统计特性第17页，课件共48页，创作于2023年2月

在低维空间，只使用均值向量进行分类的结果比只使用方差信息得到的结果的精度高，说明在此种情况下，在分类过程中数据分布的位置比分布的形状和方向作用要大的多，这也是人们通常遇到的情况。

但是，当维数增加时，只考虑均值信息进行分类的精度并不再增加，而考虑方差信息的分类精度却随着特征维数的增加而继续增加。一、高光谱数据的降维问题1.2高维特征带来的新问题5.高阶统计特性第18页，课件共48页，创作于2023年2月综上所述，高维特征引起了多种问题

因此，在高光谱数据应用的特定阶段，可以对高维数据进行降维处理，得到具有代表意义的低维光谱特征，并在低维光谱空间中进行相应分析（聚类分析）。

信息冗余大超维几何体体积“维数灾难”问题高维空间中的参数估计问题高阶统计特性一、高光谱数据的降维问题1.2高维特征带来的新问题第19页，课件共48页，创作于2023年2月

若为D维空间中的一个容量为N的数据集合，假设其来自于维数为D的某一数据集的采样。降维的目标是探求数据集合适的低维坐标描述，将原数据集合投影到低维空间，获得原数据集合的低维简洁表示。一、高光谱数据的降维问题1.3高光谱降维

方法：波段选择特征变换第20页，课件共48页，创作于2023年2月

注意不要走向另一个极端：降维绝对不是对高维光谱信息的舍弃，而是立足于高维数据，针对不同的使用目的得到相应低维数据。

图书馆的书种类繁多，不同专业的同学各取所需，只选一小部分，但并不意味着其它的书是多余的。一、高光谱数据的降维问题1.3高光谱降维第21页，课件共48页，创作于2023年2月高光谱数据降维的方法

波段选择特征变换具体内容在下一讲中介绍

降维后得到的低维特征空间是否有效进行类别区分？一、高光谱数据的降维问题1.3高光谱降维第22页，课件共48页，创作于2023年2月一、高光谱数据的降维问题二、类别可分性准则三、基于几何距离的可分性准则四、基于类的概率密度的可分性准则第四章第1节高光谱数据降维与可分性准则第23页，课件共48页，创作于2023年2月降维得到低维特征形成特征空间分布不同可分性存在差异衡量可分性？可分性判据定量化的指标指导降维二、类别可分性准则2.1高光谱数据降维与类别可分性判据的关系第24页，课件共48页，创作于2023年2月概念：从高维数据中得到了一组用来分类的特征，需要一个定量的标准来衡量特征对分类的有效性。2.2可分性准则基本概念

可分性准则二、类别可分性准则可分性准则的主要类型：

基于几何距离的可分性准则基于概率密度的可分性准则特点：通过已知类别先验知识，衡量当前特征空间对类别的区分效果。第25页，课件共48页，创作于2023年2月一、高光谱数据的降维问题二、类别可分性准则三、基于几何距离的可分性准则四、基于类的概率密度的可分性准则第四章第1节高光谱数据降维与可分性准则第26页，课件共48页，创作于2023年2月

不同的类别不同的分布区域

类别可分性区域可分性

区域可分性通过几何距离来度量三、基于几何距离的可分性准则3.1基本思想第27页，课件共48页，创作于2023年2月1.点与点的距离在维特征空间中，特征点与特征点之间的欧氏距离为：3.2几何距离可分性准则原理三、基于几何距离的可分性准则第28页，课件共48页，创作于2023年2月当前点与点集中每个点逐个计算距离2.点与点集的距离3.2几何距离可分性准则原理三、基于几何距离的可分性准则第29页，课件共48页，创作于2023年2月总体的均值矢量类内的均值矢量3.类内及总体的均值矢量3.2几何距离可分性准则原理三、基于几何距离的可分性准则第30页，课件共48页，创作于2023年2月类内均方欧氏距离定义为：类内均方距离也可定义为：3.2几何距离可分性准则原理4.类内距离先求出各自到类心的距离的平方，再求和两两运算，不涉及类心三、基于几何距离的可分性准则第31页，课件共48页，创作于2023年2月

类内离差矩阵，反映类内部样本在均值周围的散布情况。（矩阵的迹）与类内均方欧氏距离的关系：3.2几何距离可分性准则原理5.类内离差矩阵三、基于几何距离的可分性准则第32页，课件共48页，创作于2023年2月两类样本之间的距离X1X2X3Y1Y2A类B类两两之间3.2几何距离可分性准则原理6.两类之间的距离三、基于几何距离的可分性准则第33页，课件共48页，创作于2023年2月取欧氏距离时，总的均方距离为总的样本距离两类样本之间的距离类与类两两求和3.2几何距离可分性准则原理7.各类总的均方距离三、基于几何距离的可分性准则第34页，课件共48页，创作于2023年2月第i类的离差矩阵第i类的比例A.总的类内离差矩阵3.2几何距离可分性准则原理7.多类情况离差矩阵三、基于几何距离的可分性准则第35页，课件共48页，创作于2023年2月第i类样本均值总体样本均值每一类只有一个代表B.类间离差矩阵3.2几何距离可分性准则原理7.多类情况离差矩阵三、基于几何距离的可分性准则第36页，课件共48页，创作于2023年2月任一样本

实质是样本总体的协方差矩阵不涉及类的概念总体样本均值C.总体离差矩阵3.2几何距离可分性准则原理7.多类情况离差矩阵三、基于几何距离的可分性准则第37页，课件共48页，创作于2023年2月点与点的距离点到点集类内的均值矢量类内距离类内均方距离类内离差矩阵总体的均值矢量两类之间的距离总体离差矩阵各类模式之间总的均方距离如何通过几何距离衡量可分性？三、基于几何距离的可分性准则3.3判据构造1.离差矩阵分析第38页，课件共48页，创作于2023年2月样本的散布程度样本越分散矩阵数值越大

类的内部越紧密越好类之间越分散越好降维方案1降维方案2样本的类别信息已知越小越好越大越好情况复杂三、基于几何距离的可分性准则3.3判据构造1.离差矩阵分析第39页，课件共48页，创作于2023年2月原则：数值的大小直接体现降维后特征空间的类别可分性。常见判据：3.3判据构造2.依据可分性准则构造判据三、基于几何距离的可分性准则第40页，课件共48页，创作于2023年2月一、高光谱数据的降维问题二、类别可分性准则三、基于几何距离的可分性准则四、基于类的概率密度的可分性准则第四章第1节高光谱数据降维与可分性准则第41页，课件共48页，创作于2023年2月

先验概率后验概率条件概率在样本集中，预先已知的某一类出现的概率P(Wi)对于样本集中的某一模式x，它属于某类Wi的概率P(Wi|x)在某一类Wi中，模式x出现的概率P(x|Wi)4.1基本概念回顾四、基于概率密度的可分性准则第42页，课件共48页，创作于2023年2月W1

W2

P(x|W1)P(x|W2)P100%0%W2W1100%W1

W2

P(x|W1)P(x|W2)P0%W1W2

各类的条件概率密度函数P(x|Wi)重叠度越低，特征可分性越好。四、基于概率密度的可分性准则4.2概率密度分析第43页，课件共48页，创作于2023年2月可分性判据的设定衡量概率密度重叠度立足于基本性质：

Jp>=0;

当两类概率密度完全不重叠时，Jp取最大值;

当两类概率密度完全重叠时，Jp等于0;

两类概率密度具有“对称性”。四、基于概率密度的可分性准则4.3基本性质第44页，课件共48页，创作于2023年2月

进行相关性运算，实际上是对两个概率