北大离散数学chap6-课件

第六章

几个典型的代数系统第一节

半群与群2020/10/281内容：半群，群，子群。重点：1、半群，可交换半群，独异点的定义，2、群，交换群

(阿贝尔群)的定义及性质，3、群的阶的定义，4、循环群，生成元的定义及例子，5、子群的定义及判定。2020/10/282精品资料2020/10/283一、半群。1、定义：满足结合律的代数系统称为半群。例1、(1)，，，，都是半群。(2)是半群。(3)是半群，其中表示集合的对称差运算。2020/10/284一、半群。1、定义：满足结合律的代数系统称为半群。(4)是半群，其中表示模，的加法。可交换半群2020/10/2852、独异点

(含幺半群)：记作如例1中除了不是独异点外，其余的均是独异点，分别记作，，，，，。2020/10/2863、半群中元素幂。定义运算的幂，，指的是：(为正整数)(

为非负整数)2020/10/2874、子半群。半群的子代数叫子半群，独异点的子代数叫子独异点。例如：，都是的子半群，且是的子独异点。2020/10/288二、群。1、定义。代数系统满足：①结合律，②有幺元，③任意元有逆元，则称为群。2020/10/289例2、(1)，，都是群，因任意元素的逆元存在，而，不是群，没有幺元，除0外，其余元素都没有逆元。(2)不是群，因不是所有的阶矩阵都可逆。2020/10/2810(3)是群，为幺元，，(4)是群，0为幺元，，2、交换群

(也称阿贝尔群)。如例2中的，，，都是阿贝尔群。，2020/10/2811例3、四元群。，运算由下表给出：2020/10/28123、群的阶。有限群的阶，记。例如：的阶为，四元群的阶为4。2020/10/28134、群中元素的幂。对于群，定义：则可以把独异点中的关于的定义扩充为：为非负整数)(为正整数)(有关幂的两个公式：2020/10/28145、群中元素的阶

(或周期)。群中元素的阶成立的最小正整数

——使。例如：四元群中，

的阶都是2，记。的阶为1，记。2020/10/2815例4、，求模6的加群中各元素的阶。解：因，即，所以。同理可得：，，，。2020/10/28166、群的性质。(1)，，。(2)若，则中无零元。(3)中消去律成立，即若，则，若，则。2020/10/28176、群的性质。(4)幺元是群中唯一的幂等元。不同行

(列)的排列不同。(5)，方程和在中有唯一解。(6)有限群的运算表中，每一行

(每一列)都是

中元素的一个排列。2020/10/2818例5、证明是阿贝尔群当且仅当对，。证明：设为阿贝尔群，则，有，故2020/10/2819例5、证明是阿贝尔群当且仅当对，。证明：反之，设，，即，即，由消去律，得

，故为阿贝尔群。2020/10/2820例6、如果中的每一个元素都满足，则是阿贝尔群。证明：，由题设知，，，从而，所以是阿贝尔群。2020/10/2821例7、设群不是阿贝尔群，则中存在两个非幺元的元素，，使得。证明：(1)先证存在，使。事实上，若，都有，即由例6知，是阿贝尔群，与题设矛盾。(2)再证结论成立。设，，令，则非幺元，且，但。2020/10/2822三、子群。1、定义：

设群，是的非空子集，若为群，则称为的子群，记作。例8、(1)群，令，则是的子群，同样，也是的子群。2020/10/2823三、子群。1、定义：

设群，是的非空子集，若为群，则称为的子群，记作。例8、(2)四元群，有5个子群：，，，，其余均为真子群。其中和是平凡子群，2020/10/28242、判定。定理：设为群，是的非空子集，若对任意，都有，则是的子群。2020/10/2825例9、设和都是群的子群，证明也是的子群。证明：(1)先证非空。因为的子群，故，，从而，因此，非空。2020/10/2826例9、设和都是群的子群，证明也是的子群。因都是的子群，故，从而，证明：(2)，则且，由判定定理知，为的子群。思考：若为群的子群，问是的子群吗？2020/10/28273、生成子群，中心。(1)生成子群：设为群，，记例10、，群中由2生成的子群同理，，，，。2020/10/28283、生成子群，中心。(1)生成子群：设为群，，记(2)中心：设为群，记，称为群的中心。2020/10/2829四、循环群。1、定义：群中若存在使得，则称为循环群，记，称为的生成元。在循环群中，生成元的阶与群的阶一样。循环群都是阿贝尔群。循环群的子群都是循环群。2020/10/28302、循环群的典型例子。例11、是循环群，其生成元为1和－1，因为任何整数都可由若干个1或者若干个－1相加而得到。是无限阶循环群，其子群除了外都是无限阶循环群，如，其中2020/10/2831例12、是阶循环群，，中与互质的数均可作为生成元。阶循环群的子群的阶都是

的正因子，对于的每个正因子，在中只有一个阶子群，就是由生成的子群。如：，其生成元有(均与12互质)。即2020/10/283212的正因子有，则的子群有：1阶子群2阶子群3阶子群2020/10/283312的正因子有，则的子群有：4阶子群6阶子群12阶子群2020/10/2834第二节

环与域

2020/10/2835内容：环，域。了解：环与域的定义及例子。一、环。定义：设是代数系统，为集合，为二元运算，若(1)为阿贝尔群。(2)为半群。(3)乘法对加法+适合分配律。则称是环。2020/10/2836例1、，，都是环。是环。是模的整数环。其中表示模的加法和乘法，，。2020/10/2837二、域。定义：环满足：(1)至少两个元素，(2)含有幺元，(3)是可交换的，(4)除加法幺元外，其余元素均有逆元，则称为域。2020/10/2838例2、，都是域，但不是域，因为不是除0外，其余元素都有逆元。不是域，因不是可交换的。是域，但不是域。，但不存在乘法的逆元，使()令，则为域。2020/10/2839第三节

格与布尔代数

2020/10/2840内容：格，格的性质，布尔代数。重点：格与布尔代数的有关概念及例子。一、格的概念。定义：设是偏序集，如果对，都有最小上界

(记)和最大下界

(记)，则称关于构成一个格。格也记作。2020/10/2841例1、设为正整数，

表示的所有正因子的集合，表示整除关系，则构成格。的最小公倍数的最大公约数如：，2020/10/2842下图给出了格，，，2020/10/2843下图给出了格，，，2020/10/2844例2、判断下图中的偏序集是否构成格，并说明理由。2020/10/2845二、格的性质。1、对偶原理：设是含有格中的元素以及符号的命题，令是将中的分别改写成所得到的命题，称为切格为真。也对一对一切格为真，则的对偶命题。若2020/10/28462、性质：设为格，则运算和适合交换律，结合律，幂等律和吸收律，即，有(1)交换律，(2)结合律，2020/10/28472、性质：设为格，则运算和适合交换律，结合律，幂等律和吸收律，即，有(3)幂等律，(4)吸收律，2020/10/2848三、分配格，有界格，有补格。1、分配格——满足分配律的格。2、有界格——有全上界，全下界的格。

全上界记为1，全下界记为0，有界格也记为2020/10/2849三、分配格，有界格，有补格。4、有补分配格——有补格且是分配格。3、有补格——有界格，若对存在的补元(记)，使，，则称为有补格。2020/10/2850例3、所有的有限格

(指格中的元素有限个)都是有界格。如例1中，格中的全上界为，全下界为1。但和不是有补格

(思考：为什么？)是有补格，互为补元，互为补元。是有补格，互为补元，2与15，3与10，5与6互为补元。2020/10/2851例4、判断下图中所表示的格是否有补格。不是有补格是有补格是有补格2020/10/28525、有补分配格中任意元素的补元是唯一的。四、布尔代数。1、定义：有补分配格称布尔代数，记为，其中“”表示求补运算。例5、(1)开关代数是布尔代数，其中为与运算，为或运算，为非运算。

2020/10/2853例5、(2)集合代数是布尔代数。以下分别是的图2020/10/28542、性质。设为布尔代数，则(1)，，(2)，，德摩根律2020/10/28553、有限布尔代数的表示定理。对每个有限布尔代数，都存在一个有限集合，使得与其同构。由这个定理知，有限布尔代数的元素只能是个，即。2020/10/2856不是布尔代数是布尔代数2020/10/2857第六章

小结与例题2020/10/2858一、半群与群。1、基本概念。半群，可换半群，独异点；群，阿贝尔群，循环群；有限群，无限群；群的阶；子群。2、运用。(1)判断一个代数系统是否为半群，独异点，群。(2)判断群

(半群，独异点)的一个子集是否构成子群

(子半群，子独异点)。2020/10/2859一、半群与群。1、基本概念。半群，可换半群，独异点；群，阿贝尔群，循环群；有限群，无限群；群的阶；子群。2、运用。(3)求一个群的所有子群。2020/10/2860二、环与域。基本概念：环；域。三、格与布尔代数。1、基本概念。格；分配格，有界格，有补格；布尔代数。判断一个代数系统是否为格，布尔代数。2、运用。2020/10/2861例1、为正整数集，，定义，问是半群吗？是独异点吗？是群吗？解：因是上的二元运算，且满足结合律，故是半群；1是的幺元，故是独异点，

但中除1外其余元素均无逆元，故不是群。2020/10/2862例2、设是半群，且，求证：。证明：因为，由于是半群，运算封闭，因此或若，则若，则故不论怎样，都有。2020/10/2863例3、举两个是独异点，但不是群的例子。解：(1)，其中是实数集，为数的乘法，是半群，且1为幺元，故为独异点，但，0无逆元，故不是群。(2)，其中为全体有理数矩阵的集合，为矩阵的乘法运算。显然对封闭，满足结合律，幺元是阶单位矩阵，因此是独异点。2020/10/2864例3、举两个是独异点，但不是群的例子。解：(1)，其中是实数集，为数的乘法，是半群，且1为幺元，故为独异点，但，0无逆元，故不是群。(2)，其中为全体有理数矩阵的集合，为矩阵的乘法运算。但中行列式值为0的矩阵都无逆矩阵，故不是群。2020/10/2865例4、定义上的二元运算如下：其中+是实数集

上的普通加法。(1)是半群吗？解：运算封闭，且满足结合律，

故是半群。(2)是独异点吗？解：是幺元，故是独异点。2020/10/2866例4、定义上的二元运算如下：其中+是实数集

上的普通加法。(3)是群吗？解：，故是的逆元，所以是群。2020/10/2867例4、定义上的二元运算如下：其中+是实数集

上的普通加法。(4)是阿贝尔群吗？解：满足交换律，是阿贝尔群。2020/10/2868例5、对以下定义的集合和运算判断它们是不是代数系统，若是，再判断是不是半群，独异点，

群，布尔代数？(1)为普通乘法。，解：因为对乘法不封闭，故不构成代数系统。2020/10/2869例5、对以下定义的集合和运算判断它们是不是代数系统，若是，再判断是不是半群，独异点，

群，布尔代数？(2)，，，，有。解：是代数系统，且可结合，故是半群。但无幺元，不是独异点。20