吉林省长春市农安县三盛玉中学高二数学理月考试题含解析

吉林省长春市农安县三盛玉中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a1等于

(

)A.－4 B.－6 C.－8 D.－10参考答案：C2.抛物线的焦点到准线的距离为(

)A.8

B.2

C.

D.参考答案：D3.△的内角的对边分别为，且成等比数列，，则＝(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B4.把十进制数15化为二进制数为（C）A．1011

B．1001(2）

C．1111（2）

D．1111参考答案：C5.参考答案：C6.已知正项等比数列{an}满足：a8﹣a7﹣2a6=0，若存在两项am，an，使得=4a2，则+的最小值为(

)A．2 B．3 C．4 D．1参考答案：A【考点】基本不等式；数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】设正项等比数列{an}的公比为q：由a8﹣a7﹣2a6=0，化为q2﹣q﹣2=0，q＞0．解得q．存在两项am，an，使得=4a2，化为：m+n=8，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q：∵a8﹣a7﹣2a6=0，∴=0，化为q2﹣q﹣2=0，q＞0．解得q=2，∵存在两项am，an，使得=4a2，∴=4a1q，q=2．化为：m+n=8，则+==≥（10+2）=2，当且仅当n=3m=6时取等号．∴+的最小值为2．故选：A．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、指数幂的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.已知直线方程，则这条直线经过的已知点和倾斜角分别为

A．和 B．和 C．和 D．和参考答案：A略8.由下表格数据得到的线性回归方程为，那么表格中的为（

）x3456y2.5m44.5

A．4

B．3.15

C．4.5

D．3参考答案：D9.抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A．（0，1） B．（1，0） C． D．参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．【解答】解：抛物线y=4x2的标准方程为

x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选C．10.若函数f(x)＝x3＋f′(1)x2－f′(2)x＋3，则f(x)在点(0，f(0))处切线的倾斜角为()参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知O为椭圆中心，F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上一点，若PF1⊥F1A，PO∥AB，则该椭圆的离心率为．参考答案：

【考点】椭圆的简单性质．【分析】画出图形，利用已知条件列出方程，求解即可．【解答】解：O为椭圆中心，F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上一点，若PF1⊥F1A，PO∥AB，如图：可得：，==，可得b=c，a=c，所以椭圆的离心率为：．故答案为：．12.已知函数f（x）=有且仅有三个极值点，则a的取值范围是

．参考答案：（0，）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】需要分类讨论，当a=0时，当a＜0时，当a＞0时三种情况，其中当a＞0，若x＞0，则f（x）=xlnx﹣ax2，求导，构造函数g（x）=lnx+1﹣2ax，求出函数g（x）的最大值，要让（x）=xlnx﹣ax2有2个极值点，须让g（x）=f'（x）有两个零点，即只须让g（x）max＞0，解得即可．【解答】解：①当a=0时，f（x）=，此时f（x）在（﹣∞，0）上不存在极值点，在（0，+∞）上有且只有一个极值点，显然不成立，②当a＜0时，若x＜0，则f（x）=x2+ax，对称轴，在（﹣∞，0）上不存在极值点，若x＞0，则f（x）=xlnx﹣ax2，f'（x）=lnx+1﹣2ax，令g（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0），则，即g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）有且仅有1个零，即f'（x）有且仅有一个零点，即f（x）只有一个极值点，显然不成立，③当a＞0时若x＜0，则f（x）=x2+ax，对称轴x=﹣＜0，在（﹣∞，0）存在1个极值点若x＞0，则f（x）=xlnx﹣ax2，∴f′（x）=lnx+1﹣2ax，令g（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0），则g′（x）=﹣2a=﹣由g'（x）＞0可得，由g′（x）＜0可得x＞，∴g（x）在上单调递增，在（，0）上单调递减，则，要让（x）=xlnx﹣ax2有2个极值点，须让g（x）=f'（x）有两个零点，即只须让g（x）max＞0，即g（x）max=﹣ln2a＞0，解得得综上所述a的取值范围为（0，）．故答案为：．【点评】本题考查了分段函数的问题，以及导数和函数的单调性最值的关系，培养了学生的分类讨论思想化归思想，属于中档题．13.函数的单调减区间是

▲

．参考答案：函数的定义域为，，令，得函数的单调递减区间是，故答案为.

14.给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；⑥所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．其中正确命题的序号是

．参考答案：①⑤【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据正方体中取对应的对角线构成的四面体是正四面体．②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥；③当有两个侧面垂直于底面时，该四棱柱不一定为直四棱柱；④一个棱锥不能有两条侧棱和底面垂直；⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；⑥所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体．【解答】解：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点正确，如图四面体B1﹣ACD1是正四面体；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，如图所示，若AB=BC=AC=VA，且VA⊥平面ABC，但三棱锥V﹣ABC表示正三棱锥，∴②错误；③当有两个侧面垂直于底面时，该四棱柱不一定为直四棱柱，如两个侧面不是相邻的时，侧棱与底面不一定垂直，∴③错误；④一个棱锥不能有两条侧棱和底面垂直，否则，这两条侧棱互相平行，∴④错误；⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直，如②中图形，∴⑤正确；⑥所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体，∵各相邻侧面并不一定都互相垂直，∴⑥错误．故答案为：①⑤15.如图,在△中,,是边上一点,,则=

.参考答案：略16.若“”是“”的必要不充分条件，则m的取值范围是__________参考答案：(－∞,－2]【分析】解出的等价条件，根据必要不充分的定义得到关于的不等式，求解即可。【详解】等价于或由于“”是“”的必要不充分条件，即“”“或”，故，故若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断与应用，考查学生的逻辑思维能力，属于基础题17.已知直线y=x+b与圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0相交于A，B两点，O为坐标原点，若?=0，则实数b的值为．参考答案：1或﹣4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】将直线方程代入圆的方程，利用韦达定理，及以AB为直径的圆过原点，可得关于b的方程，即可求解，注意方程判别式的验证．【解答】解：由直线y=x+b与圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，消去y，得2x2+（2+2b）x+b2+4b﹣4=0①设直线l和圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是①的两个根．∴x1x2=，x1+x2=﹣b﹣1．

②由题意有：OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（x1+b）（x2+b）=0，即2x1x2+b（x1+x2）+b2=0③将②代入③得：b2+3b﹣4=0．

解得：b=1或b=﹣4，b=1时，方程为2x2+4x+1=0，判别式△=16﹣8＞0，满足题意b=﹣4时，方程为2x2﹣6x﹣4=0，判别式△=36+32＞0，满足题意所以满足条件的b为：b=1或b=﹣4．故答案为1或﹣4．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分13分）如图7，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）设，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三

棱柱内的概率为．（i）

当点C在圆周上运动时，求的最大值；（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值．参考答案：（Ⅰ）因为平面ABC，平面ABC，所以，

因为AB是圆O直径，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面．

………3分

（Ⅱ）（i）有AB=AA1=2，知圆柱的半径，其体积

三棱柱的体积为，

又因为，所以，

当且仅当时等号成立，从而，

故当且仅当，即时等号成立，

所以的最大值是．

…………8分

(ii）方法一：延长A1A，B1O交于G，取AC中点H，连OH，则OH∥BC，且，OH⊥平面，过H作HK⊥CG，连OK，则，在Rt中，作，则有，则，在Rt中，，

方法二：取AC中点H，可用射影面积法

方法三：由（i）可知，取最大值时，，于是以O为坐标原点，

建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），B（0，1，0），（0，1，2），

因为平面，所以是平面的一个法向量，

设平面的法向量，由，故，

取得平面的一个法向量为，因为，

所以．

………13分19.如图,正方体中．(Ⅰ)求与所成角的大小；(Ⅱ)求二面角的正切值．参考答案：解(Ⅰ)在正方体中,

--------------------1∴A1B1CD为平行四边形,∴,---------------------------------2所以∠ACB1或其补角即异面直线与所成角………………3

(Ⅱ)连结BD交AC于O,连结B1O,…….7∵O为AC中点,B1A=B1C,BA=BC∴B1O⊥AC,BO⊥AC………………….9∴∠B1OB为二面角的平面角.---------------------------10在中,B1B=,BO=---------------------------------------1220.（本题12分）如图，在三棱锥中，底面,为的中点,.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离。参考答案：（1）因为平面，平面，所以

--------2分又因为在中，，为的中点，所以

--------4分又平面，平面，且，所以平面

------------------------------------------6分（2）法一：因为平面且平面，所以平面平面，

又因为平面平面，所以点到的距离即为点到平面的距离，

--------8分在直角三角形中，由

得

所以点到平面的距离为.

--------12分法二：设点到平面的距离为，据

--------8分即，得

所以点到平面的距离为.

--------12分21.（本小题15分）已知圆，若焦点在轴上的椭圆过点，且其长轴长等于圆的直径．（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线与，与圆交于、两点，交椭圆于另一点，（Ⅰ）设直线的斜率为，求弦长；（Ⅱ）求面积的最大值．参考答案：解：（1）由题意得，，所以椭圆C的方程为．（2）设，由题意知直线的斜率存在，不妨设其为，则直线的方程为，又圆O：，故点O到直线的距离，所以．（3）因为，故直线的方程为，由消去，整理得，故，所以，设的面积为S，则，所以，当且仅当时取等号．

略22.已知p：方程表示焦点在x轴上的椭圆；q：双曲线的实轴长大于虚轴长.若